2022年高中数学新教材人教B版必修第二册学案综合检测试卷

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册全册综合学案，共9页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．函数f(x)＝eq \f(lnx＋1,x－2)的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．(－1,2)∪(2，＋∞)
C．(－1,2) D．[－1,2)∪(2，＋∞)
答案 B
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x－2≠0，))所以x>－1且x≠2，即定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)，故选B.
2．为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001,002，…，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据：
82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59
16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07
44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82
52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为( )
A．217 B．206 C．245 D．212
答案 B
解析 由题意，根据简单随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，依次为217,157,245,217,206，由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206.
3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg21－x，x<0，,4x，x≥0，))则f(－3)＋f(lg23)的值为( )
A．9 B．11 C．13 D．15
答案 B
解析 由题意知，f(－3)＋f(lg23)＝lg24＋
＝2＋9＝11.
4．已知a＝lg52，b＝lg0.91.1，c＝20.9，则( )
A．aC．a答案 B
解析 因为020＝1，所以b5．已知随机事件A和B互斥，且P(A＋B)＝0.5，P(B)＝0.3.则P(eq \x\t(A))等于( )
A．0.5 B．0.2 C．0.7 D．0.8
答案 D
解析 ∵A与B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(A)＝0.5－0.3＝0.2，∴P(eq \x\t(A))＝1－P(A)＝1－0.2＝0.8.
6．设a，b是不共线的两个向量，已知eq \(BA,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝4a－4b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－a＋2b，则( )
A．A，B，D三点共线
B．B，C，D三点共线
C．A，B，C三点共线
D．A，C，D三点共线
答案 D
解析 ∵eq \(BA,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝4a－4b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－a＋2b，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝3a－6b＝－3(－a＋2b)＝－3eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，又它们有公共点C，
∴A，C，D三点共线．故选D.
7．函数f(x)＝(x3＋2x)ln |x|的部分图像大致为( )
答案 C
解析 由题意可知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以排除A，B；当01时，f(x)>0，排除D.故选C.
8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，满足eq \(BE,\s\up6(→))＝4eq \(EA,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FD,\s\up6(→))，连接EF交AC于点M，若eq \(AM,\s\up6(→))＝2λeq \(AB,\s\up6(→))－3μeq \(AC,\s\up6(→))，则5λ－eq \f(19,2)μ等于( )
A．－eq \f(3,2) B．1 C.eq \f(1,2) D．－3
答案 C
解析 因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝2λeq \(AB,\s\up6(→))－3μeq \(AC,\s\up6(→))＝2λeq \(AB,\s\up6(→))－3μ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝(2λ－3μ)eq \(AB,\s\up6(→))－3μeq \(AD,\s\up6(→)).
因为eq \(BE,\s\up6(→))＝4eq \(EA,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FD,\s\up6(→))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝5(2λ－3μ)eq \(AE,\s\up6(→))－4μeq \(AF,\s\up6(→)).
因为E，F，M三点共线，所以5(2λ－3μ)－4μ＝1，
即10λ－19μ＝1，
所以5λ－eq \f(19,2)μ＝eq \f(1,2).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养．为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是( )
(注：雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)
A．甲的数据分析素养高于乙
B．甲的数学建模素养等于数学抽象素养
C．乙的六大素养中逻辑推理最差
D．乙的六大素养整体水平优于甲
答案 BD
解析 根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误．
根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B正确．
根据雷达图得乙的六大素养中数学建模、数学运算和数学抽象最差，所以C错误．
根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，故乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确．
10．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝x2＋2
C．y＝e－x D．y＝lg |x|
答案 BD
解析 A中y＝eq \f(1,x)为奇函数，故排除A；B中y＝x2＋2的图像关于y轴对称，故为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增；C中y＝e－x＝eq \f(1,ex)，既不是奇函数也不是偶函数，故排除C；D中y＝lg |x|为偶函数，在x∈(0，＋∞)时，函数为y＝lg x，函数单调递增．故选BD.
11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计表如表所示，有以下四种说法：
甲
乙
①甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数；②甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数；③甲成绩的方差小于乙成绩的方差；④甲成绩的极差小于乙成绩的极差．
其中正确的说法是( )
(注：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]，其中eq \x\t(x)为数据x1，x2，…，xn的平均数)
A．① B．② C．③ D．④
答案 AC
解析 因为甲五次成绩的平均数为：(4＋5＋6＋7＋8)÷5＝6，乙五次成绩的平均数为：(5＋5＋5＋6＋9)÷5＝6，所以①正确；因为甲的中位数是6，乙的中位数是5，所以②错误；因为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×(1＋1＋1＋0＋9)＝eq \f(12,5)，所以③正确；因为甲的极差为8－4＝4，乙的极差为9－5＝4，所以④错误．综上知，选AC.
12.如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A.eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
答案 ABD
解析 因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，所以A正确；因为eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，所以B正确；因为eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，所以C错误；因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，所以D正确．故选ABD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知当a>0且a≠1时，函数f(x)＝a2x－4＋3必过一个定点A，则A的坐标是________．
答案 (2,4)
解析 由题意知当2x－4＝0，即x＝2时，函数f(x)必过一定点，因为f(2)＝a2x－4＋3＝4，所以A(2,4)．
14．已知向量a＝(m，－6)，b＝(－4,3)，若a∥b，则|a|＝________.
答案 10
解析 因为a∥b，所以3m＝24，即m＝8，所以|a|＝eq \r(64＋36)＝10.
15．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案 eq \f(1,6) eq \f(1,3)
解析 从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法，取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为eq \f(1,6)，若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
16．设函数f(x)＝lg2(eq \r(1＋x2)－x)，若对任意的x∈(－1，＋∞)，不等式f(x－ln a)＋f(2x＋4)<0恒成立，则a的取值范围是________．
答案 (0，e]
解析 因为f(－x)＝lg2(eq \r(1＋x2)＋x)
＝lg2(eq \r(1＋x2)－x)－1＝－f(x)，且定义域为R，
所以f(x)为奇函数．
又因为函数g(x)＝eq \r(1＋x2)＋x在[0，＋∞)上为增函数，
所以f(x)＝－lg2(eq \r(1＋x2)＋x)在[0，＋∞)上为减函数，
从而f(x)在R上为减函数．于是f(x－ln a)＋f(2x＋4)<0等价于f(x－ln a)<－f(2x＋4)＝f(－2x－4)，
所以x－ln a>－2x－4，即ln a<3x＋4.
因为x∈(－1，＋∞)，所以3x＋4>1，
所以ln a≤1，解得0四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某校从高一一班和二班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示(试卷满分为100分)．
(1)试计算这12份成绩的中位数；
(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平，哪个班更稳定一些？
解 (1)从茎叶图中可以看到，这12份成绩按从小到大排列，第6个是78，第7个是82，
所以中位数为eq \f(78＋82,2)＝80.
(2)由表中数据得，一班的6份成绩的平均数eq \x\t(x1)＝80，二班的6份成绩的平均数eq \x\t(x2)＝80，
所以一班的6份成绩的方差为seq \\al(2,1)＝eq \f(1,6)[(－13)2＋(－4)2＋(－2)2＋22＋52＋122]＝eq \f(181,3)；二班的6份成绩的方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,6)[(－12)2＋(－8)2＋(－7)2＋52＋92＋132]＝eq \f(266,3).
所以有seq \\al(2,1)18．(12分)地震是一种自然现象，地震的震级是由震波的最大振幅来确定的．震级的单位是“里氏”，通常用字母M表示，其计算公式为：M＝lg eq \f(A,A0)，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)，例如：用A8.0和A9.0分别表示震级为8.0和9.0的最大振幅．
(1)若一次地震中的最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级；(精确到0.1)
(2)试计算9.0级地震的最大振幅是8.0级地震的最大振幅的多少倍？(以下数据供参考：lg 2≈0.301 0)
解 (1)M＝lg eq \f(50,0.001)＝lg 50 000＝lg eq \f(100 000,2)＝5－lg 2≈4.7，
因此，这次地震的震级约为里氏4.7级．
(2)由M＝lg eq \f(A,A0)可得，A＝A0·10M，
当M＝8.0时，地震的最大振幅为A8.0＝A0·108.0，
当M＝9.0时，地震的最大振幅为A9.0＝A0·109.0，
所以，两次地震的最大振幅之比是：eq \f(A9.0,A8.0)＝eq \f(A0·109.0,A0·108.0)＝10.
所以9.0级地震的最大振幅约为8.0级地震的最大振幅的10倍．
19．(12分)某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为eq \f(2,5)，且各场比赛互不影响．
(1)若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；
(2)若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．
解 设Ai(i＝1,2,3,4,5)表示甲队在第i场比赛获胜．
(1)所求概率为P(A1A2)＋P(A1eq \x\t(A)2A3)＋P(eq \x\t(A)1A2A3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2×2＝eq \f(44,125).
(2)所求概率为P(A1eq \x\t(A)2eq \x\t(A)3eq \x\t(A)4)＋P(eq \x\t(A)1A2eq \x\t(A)3eq \x\t(A)4)＋P(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2A3eq \x\t(A)4)＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))3×3＝eq \f(162,625).
20．(12分)在直角坐标系xOy中，记函数f(x)＝lg3(8－2x)的图像为曲线C1，函数g(x)＝eq \r(x－3)的图像为曲线C2.
(1)比较f(2)和1的大小，并说明理由；
(2)当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；
(3)证明：曲线C1和C2没有交点．
(1)解 因为f(2)＝lg3(8－22)＝lg34，
又函数y＝lg3x是(0，＋∞)上的增函数，
所以f(2)＝lg34>lg33＝1.
(2)解 因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f(x)<1”，所以lg3(8－2x)<1＝lg33.
因为函数y＝lg3x是(0，＋∞)上的增函数，
所以0<8－2x<3，即5<2x<8，
所以x的取值范围是(lg25,3)．
(3)证明 因为当且仅当8－2x>0时f(x)有意义，
解得x<3.
所以f(x)的定义域为D1＝(－∞，3)．
因为当且仅当x－3≥0时g(x)有意义，
解得x≥3.
所以g(x)的定义域为D2＝[3，＋∞)．
因为D1∩D2＝∅，
所以曲线C1和C2没有交点．
21．(12分)某地举办水果观光采摘节，并推出配套旅游项目，统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
(2)从(1)中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加配套旅游项目，请列出所有的可能结果，并求这2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
(3)为吸引顾客，该地特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折．
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案．
解 (1)样本中“水果达人”的频率为(0.007 5＋0.005)×20＝0.25，所以样本中“水果达人”人数为100×0.25＝25.
由图可知，消费金额在[80,100)与[100,120]的人数比为3∶2，所以消费金额不低于100元的人数为25×eq \f(2,5)＝10，所以，抽取的这5人中消费金额不低于100元的人数为2.
(2)抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为A，B，C，消费金额不低于100元的有2人，记为a，b，所有可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10个样本点，其中满足题意的有7个样本点，所以所求概率为eq \f(7,10).
(3)由题意得，方案一：需支付(80－8)＋30＝102元．
方案二：需支付50＋(80－50)×0.9＋(100－80)×0.8＋(110－100)×0.7＝100元．
所以应该选择方案二．
22．(12分)已知函数f(x)＝(t2－2t－2)ex－eq \f(1,ex)是定义域为R的奇函数．
(1)求t的值，并写出f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；
(3)若函数g(x)＝e2x＋eq \f(1,e2x)－2kf(x)在[0，＋∞)上的最小值为－2，求k的值．
解 (1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，即f(0)＝t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1，
所以f(x)＝ex－eq \f(1,ex)，
又此时满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝ex－eq \f(1,ex).
(2)f(x)在R上单调递增．
证明如下：设x1f(x1)－f(x2)＝

因为x1所以
可得f(x1)－f(x2)<0，
因为当x1所以f(x)在R上单调递增．
(3)由(1)可知g(x)＝e2x＋eq \f(1,e2x)－2keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(1,ex)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(1,ex)))2－2keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－\f(1,ex)))＋2，
令u＝f(x)＝ex－eq \f(1,ex)，则h(u)＝u2－2ku＋2，
因为f(x)在R上是增函数，且x≥0，所以u≥f(0)＝0.
因为g(x)＝e2x＋eq \f(1,e2x)－2kf(x)在[0，＋∞)上的最小值为－2，
所以h(u)在[0，＋∞)上的最小值为－2.
因为h(u)＝u2－2ku＋2＝(u－k)2＋2－k2，
所以当k≥0时，h(u)min＝h(k)＝2－k2＝－2，
解得k＝2或k＝－2(舍去)；
当k<0时，h(u)min＝h(0)＝k2＋2－k2＝2≠－2，不合题意，舍去．
综上可知，k＝2.
环数
4
5
6
7
8
频数
1
1
1
1
1
环数
5
6
9
频数
3
1
1