高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.2 直线上向量的坐标及其运算导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.2 直线上向量的坐标及其运算导学案，共8页。学案主要包含了直线上向量的坐标，直线上向量的坐标运算，数轴上两点间的距离等内容，欢迎下载使用。


知识点 直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
2.直线上向量的坐标运算
1．单位向量e的长度为1.( √ )
2．直线上0的坐标不存在．( × )
3．直线上向量的坐标就是终点的坐标．( × )
4．直线上向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标就是B点坐标减去A点坐标．( √ )
一、直线上向量的坐标
例1 已知在数轴上点A，B，C的坐标分别为1,7，－3.
(1)求eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))的坐标；
(2)若CD＝4，求D点的坐标．
解 (1)∵点A，B，C的坐标分别为1,7，－3，
∴eq \(OA,\s\up6(→))的坐标为1，eq \(OB,\s\up6(→))的坐标为7，eq \(OC,\s\up6(→))的坐标为－3，
又∵eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，∴eq \(BA,\s\up6(→))的坐标为1－7＝－6.
同理，eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为－4，eq \(CB,\s\up6(→))的坐标为10.
(2)设D点的坐标为x，则
CD＝x－(－3)＝x＋3＝4，
解得x＝1，即D点的坐标为1.
反思感悟 直线上向量的坐标的两种求法
(1)将向量用单位向量表示出来．
(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标．
跟踪训练1 如图所示，求出直线上向量a，b的坐标．
解 因为a的始点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为3.
因为b＝－5e，所以b的坐标为－5.
二、直线上向量的坐标运算
例2 直线上向量a的坐标为5，b的坐标为－eq \f(1,3)，求下列向量的坐标：
(1)－3b；(2)a－b；(3)2a＋3b；(4)－a－6b.
解 (1)－3b的坐标为(－3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝1.
(2)a－b的坐标为5－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝eq \f(16,3).
(3)2a＋3b的坐标为2×5＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝9.
(4)－a－6b的坐标为－5－6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－3.
反思感悟 直线上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．
跟踪训练2 已知直线上的向量a与向量b，向量a的坐标为－10，向量a与向量b满足关系2a－3b＝4，求：
(1)向量b的坐标；
(2)a＋2b的坐标．
解 (1)设直线上向量b的坐标为x，
由题意可得2×(－10)－3x＝4，解得x＝－8，即向量b的坐标为－8.
(2)a＋2b＝－10＋2×(－8)＝－26，
所以a＋2b的坐标为－26.
三、数轴上两点间的距离、中点坐标
例3 已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，点C是线段AB的中点，求下列条件下eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))的坐标及A，B两点间的距离．
(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.
解 (1)∵x1＝2，x2＝－5.3，∴eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为－5.3－2＝－7.3，eq \(BA,\s\up6(→))的坐标为2－(－5.3)＝7.3，
由A，B两点的坐标分别为2，－5.3，得点C的坐标为eq \f(2＋－5.3,2)＝－1.65，故eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为－1.65－2＝－3.65，
A，B两点间的距离为|x2－x1|＝|－5.3－2|＝7.3.
(2)∵x1＝10，x2＝20.5，∴eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为20.5－10＝10.5，eq \(BA,\s\up6(→))的坐标为10－20.5＝－10.5，
由A，B两点的坐标分别为10,20.5，得点C的坐标为eq \f(10＋20.5,2)＝15.25，故eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为15.25－10＝5.25，
A，B两点间的距离为|x1－x2|＝|10－20.5|＝10.5.
反思感悟 求数轴上向量长度的方法：要先求数轴上向量的坐标，再根据距离公式求长度．
跟踪训练3 已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－1,6,10.求向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))的长度．
解 eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为(－1)－(－4)＝－1＋4＝3，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3.|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|－1－6|＝7.
|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|10－(－1)|＝11.
1．已知数轴上两点A，B的坐标分别是0，－1，则eq \(AB,\s\up6(→))的坐标是( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
答案 A
解析 eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为－1－0＝－1.
2．已知直线上向量a，b的坐标分别为－2,2，则向量a＋eq \f(1,2)b的坐标为( )
A．1 B．－1 C．0 D．4
答案 B
解析 因为向量a，b的坐标分别为－2,2，所以向量a＋eq \f(1,2)b的坐标为－2＋2×eq \f(1,2)＝－1.
3．已知数轴上两点A，B的坐标分别为－5,4，则A与B的距离为( )
A．1 B．－1 C．9 D．－9
答案 C
解析 AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|4－(－5)|＝9.
4．如图，向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标为________．
答案 3
解析 因为向量eq \(OA,\s\up6(→))的始点在原点，因此终点A的坐标就是向量的坐标，故向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标为3.
5．设数轴上A，B的坐标分别是2,6，则AB的中点C的坐标是________．
答案 4
解析 因为xA＝2，xB＝6.所以AB的中点C的坐标为xC＝eq \f(xA＋xB,2)＝eq \f(2＋6,2)＝4.
1．知识清单：
(1)直线上向量的坐标表示．
(2)直线上向量的坐标运算．
(3)数轴上两点间的距离、中点坐标．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常用误区：混淆向量的起点和终点，导致求解向量坐标出错．
1．已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则eq \(AB,\s\up6(→))的坐标与|eq \(AB,\s\up6(→))|分别是( )
A．－3,3 B．3,3 C．3，－3 D．－6,6
答案 B
解析 eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为－1－(－4)＝3，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3.
2．已知数轴上两点M，N，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝4.若xM＝－3，则xN等于( )
A．1 B．2 C．－7 D．1或－7
答案 D
解析 |eq \(MN,\s\up6(→))|＝|xN－(－3)|＝4，∴xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.
3．(多选)数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则( )
A．AB＝－3 B．BC＝3
C.eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为6 D.eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为3
答案 BCD
4．已知直线上向量a，b的坐标分别为－1,3，则下列向量与a同向的是( )
A．a＋b B．a－b C．a＋2b D．3b
答案 B
解析 由题意，a＋b的坐标为2，a＋2b的坐标为5,3b的坐标为9，都与a反向，a－b的坐标为－4，与a同向．
5．(多选)数轴上点A和点B的坐标分别为－1和3，若P是数轴上一点，且|eq \(PA,\s\up6(→))|＋|eq \(PB,\s\up6(→))|＝6，则点P的坐标为( )
A．－3 B．5 C．－2 D．4
答案 CD
解析 ∵|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|3－(－1)|＝4，|eq \(PA,\s\up6(→))|＋|eq \(PB,\s\up6(→))|＝6，设点P的坐标为xP，当点P在点A的左边时，－1－xP＋3－xP＝6，得xP＝－2；当点P在点B的右边时，xP－3＋xP－(－1)＝6，得xP＝4，综上所述，点P的坐标为－2或4.
6．在数轴x上，已知eq \(OA,\s\up6(→))＝－3e(e为x轴上的单位向量)，且点B的坐标为3，则向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为________．
答案 6
解析 由eq \(OA,\s\up6(→))＝－3e，得点A的坐标为－3，则eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为3－(－3)＝6.
7．数轴上三点A，B，C的坐标分别为1，－1，－5，则eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))的坐标为________，|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|＝________.
答案 －10 10
解析 eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))的坐标为－6＋(－4)＝－10，|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6＋4＝10.
8．已知数轴上点A的坐标为2，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6，C是AB的中点，则向量eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为________．
答案 －3或3
解析 ∵数轴上点A的坐标为2，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝6，则点B的坐标为－4或8.而C是AB的中点，则点C的坐标为eq \f(2－4,2)或eq \f(2＋8,2)，即－1或5，故eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为－3或3.
9．数轴上点A，B，C的坐标分别为4，－6，x，线段AB的中点为D.
(1)求向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标及A与B的距离；
(2)求点D的坐标；
(3)若|eq \(AC,\s\up6(→))|＝8，求x的值．
解 (1)由A，B的坐标分别为4，－6，得eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为－6－4＝－10，A与B的距离AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10.
(2)由A，B的坐标分别为4，－6且D为AB的中点，得点D的坐标为eq \f(4－6,2)＝－1.
(3)当点C在点A的左侧时，4－x＝8，x＝－4；
当点C在点A的右侧时，x－4＝8，x＝12.
故x的值为－4或12.
10．已知A，B，C为数轴上三点，且xA＝－2，xB＝6.试求符合下列条件的点C的坐标．
(1)eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为10；(2)|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10；(3)|eq \(AC,\s\up6(→))|＝3|eq \(BC,\s\up6(→))|.
解 (1)∵eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为10，∴xC－xA＝10.
∴xC＝xA＋10＝8.
(2)∵|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝10或eq \(AC,\s\up6(→))＝－10，
当eq \(AC,\s\up6(→))＝10时，xC－xA＝10，xC＝xA＋10＝8；
当eq \(AC,\s\up6(→))＝－10时，xC－xA＝－10，xC＝xA－10＝－12.
(3)∵|eq \(AC,\s\up6(→))|＝3|eq \(BC,\s\up6(→))|，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))或eq \(AC,\s\up6(→))＝－3eq \(BC,\s\up6(→)).
当eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))时，xC－xA＝3(xC－xB)．
∴xC＝eq \f(1,2)(3xB－xA)＝10；
当eq \(AC,\s\up6(→))＝－3eq \(BC,\s\up6(→))时，xC－xA＝－3(xC－xB)，
∴xC＝eq \f(1,4)(3xB＋xA)＝4.
11．(多选)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－eq \f(3,2)e，b＝eq \f(2,3)e，则下列说法正确的是( )
A．a＝－b B．b＝－eq \f(4,9)a
C．a＋b的坐标为0 D．|a||b|＝1
答案 BD
解析 因为a＝－eq \f(3,2)e，b＝eq \f(2,3)e，所以|a|＝eq \f(3,2)，|b|＝eq \f(2,3)；|a||b|＝eq \f(2,3)×eq \f(3,2)＝1，b＝－eq \f(4,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)e))＝－eq \f(4,9)a，a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)＋\f(2,3)))e＝－eq \f(5,6)e，a＋b的坐标为－eq \f(5,6).
12．已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，且a＝2e，b＝－5e，则|2a－b|为( )
A．4 B．9 C．－7 D．1或－7
答案 B
解析 2a－b的坐标为2×2－(－5)＝9，
所以|2a－b|＝9.
13．若e是直线l上的一个单位向量，向量a＝2e，b＝－eq \f(1,2)×4e是这条直线上的向量，则|a|＋|b|＝________.
答案 4
解析 因为a＝2e，b＝－eq \f(1,2)×4e＝－2e，所以|a|＋|b|＝2＋2＝4.
14．已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，eq \(MP,\s\up6(→))的坐标为2，eq \(MN,\s\up6(→))的坐标为8，则点N的坐标为________．
答案 11
解析 设点M，N的坐标分别为x1，x2，∵点P的坐标是5，eq \(MP,\s\up6(→))的坐标为2，eq \(MN,\s\up6(→))的坐标为8，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x1＝2，,x2－x1＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝3，,x2＝11.))故点N的坐标为11.
15．如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B两点的坐标分别为m,2m＋1，B，O两点间的距离等于A，B两点间的距离，则|2eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 由题意得，0－(2m＋1)＝2m＋1－m，得m＝－eq \f(2,3)，故点A的坐标为－eq \f(2,3)，点B的坐标为－eq \f(2,3)×2＋1＝－eq \f(1,3)，eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝eq \f(1,3)，故2eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))的坐标为2×eq \f(1,3)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)，故|2eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3).
16．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.
(1)若eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为5，求c的值；
(2)若|eq \(BD,\s\up6(→))|＝6，求d的值；
(3)若eq \(AC,\s\up6(→))＝－3eq \(AD,\s\up6(→))，求证：3eq \(CD,\s\up6(→))＝－4eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)解 ∵eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1.
(2)解 ∵|eq \(BD,\s\up6(→))|＝6，∴|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
∴d＝4或d＝－8.
(3)证明 ∵eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为c＋4，eq \(AD,\s\up6(→))的坐标为d＋4，
又eq \(AC,\s\up6(→))＝－3eq \(AD,\s\up6(→))，∴c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16.
3eq \(CD,\s\up6(→))的坐标为3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，
－4eq \(AC,\s\up6(→))的坐标为－4c－16＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，
∴3eq \(CD,\s\up6(→))＝－4eq \(AC,\s\up6(→)).名称
定义
数轴
在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴
a在轴l上的坐标
如果a＝xe, 则x叫做向量a在轴l上的坐标
法则(或公式)
文字语言
符号语言
直线上两个向量相等
直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等
设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔x1＝x2
直线上求两个向量的和
直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和
设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝(x1＋x2)e
直线上两点间的距离
设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|x2－x1|
数轴上的中点坐标公式
设A(x1)，B(x2)，M(x)是线段AB的中点，则x＝eq \f(x1＋x2,2)