人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步本章综合与测试学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步本章综合与测试学案，共8页。学案主要包含了向量的线性运算，平面向量基本定理的应用，向量的坐标运算，向量在平面几何中的应用等内容，欢迎下载使用。


一、向量的线性运算
1．向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间联系密切．
2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养．
例1 在△ABC中，若点D满足eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \f(5,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
答案 D
解析 示意图如图所示，
由题意可得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
反思感悟 此类平面向量的线性运算问题．求解的关键是结合图形，正确运用平面向量加减运算的三角形法则，通过对向量的逐步分解即可求得答案．
跟踪训练1 如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))，则λ＋μ等于( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(15,8) D．2
答案 B
解析 因为eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))
＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))＋μ(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))＋μ(－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝(λ－μ)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AD,\s\up6(→))，
且eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))
所以λ＋μ＝eq \f(5,3)，故选B.
二、平面向量基本定理的应用
1．平面向量基本定理的引入为向量的加、减、数乘的坐标运算提供了有力的理论依据，利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底，常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题．
2．通过平面向量基本定理的应用，培养逻辑推理素养．
例2 如图，在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.
(1)用a，b表示eq \(OM,\s\up6(→))；
(2)过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F.设eq \(OE,\s\up6(→))＝peq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OF,\s\up6(→))＝qeq \(OB,\s\up6(→))，求eq \f(1,p)＋eq \f(2,q)的值．
解 (1)设eq \(OM,\s\up6(→))＝xa＋yb，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝xa＋yb－a＝(x－1)a＋yb，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)b，
因为A，M，D三点共线，所以eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))共线，
从而eq \f(1,2)(x－1)＝－y，①
又C，M，B三点共线，所以eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))共线，
同理可得eq \f(1,3)(y－1)＝－x，②
联立①②，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(2,5)，))故eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(2,5)b.
(2)因为eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(2,5)b－pa
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－p))a＋eq \f(2,5)b.
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))＝qb－pa.
因为eq \(EM,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))共线，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－p))q＝－eq \f(2,5)p，
整理得eq \f(1,p)＋eq \f(2,q)＝5.
反思感悟 运用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练2 在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，试用基底{a，b}表示eq \(DN,\s\up6(→)).
解 因为M为BC的中点，
所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(b－a)，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(a＋b)．
因为DN∥BM，AN与AM共线，
所以存在实数λ，μ使得eq \(DN,\s\up6(→))＝λeq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)λ(b－a)，
eq \(AN,\s\up6(→))＝μeq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)μ(a＋b)＝eq \f(μ,2)a＋eq \f(μ,2)b.
所以eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)λ(b－a)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(λ,2)))a＋eq \f(λ,2)b，
所以根据平面向量基本定理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(λ,2)＝\f(μ,2)，,\f(λ,2)＝\f(μ,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,4)，,μ＝\f(1,4)，))所以eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \f(1,8)(b－a)＝－eq \f(1,8)a＋eq \f(1,8)b.
三、向量的坐标运算
1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示，是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题．
2．通过向量的坐标运算，培养数学运算素养．
例3 已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，试求当λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
解 设点P的坐标为(x，y)，
则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5＋5λ，,y＝4＋7λ.))
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝eq \f(1,2).
(2)若点P在第三象限内，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＋5λ<0，,4＋7λ<0，))∴λ<－1.
反思感悟 解决向量问题时，把题中向量用坐标形式表示出来，运用坐标运算方法来解决是一种重要途径．
跟踪训练3 平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，连接DC并延长至E，使|eq \(CE,\s\up6(→))|＝eq \f(1,4)|eq \(ED,\s\up6(→))|，则点E的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，－7))
解析 因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))．
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(3，－6)，
所以点C坐标为(3，－6)．
由|eq \(CE,\s\up6(→))|＝eq \f(1,4)|eq \(ED,\s\up6(→))|，且E在DC的延长线上，
所以eq \(CE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(ED,\s\up6(→)).设E(x，y)，
则(x－3，y＋6)＝－eq \f(1,4)(4－x，－3－y)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－1＋\f(1,4)x，,y＋6＝\f(3,4)＋\f(1,4)y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,3)，,y＝－7，))即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，－7)).
四、向量在平面几何中的应用
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思想都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2．借助向量在平面几何中的应用，提升数学抽象和数学运算素养．
例4 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq \f(1,2)AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
(1)证明 以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，m)，B(n,0)．
因为D为AB的中点，所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)，\f(m,2)))，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)eq \r(n2＋m2)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(m2＋n2)，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|，
即CD＝eq \f(1,2)AB.
(2)解 因为E为CD的中点，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，\f(m,4)))，
设F(x,0)，则eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq \(AF,\s\up6(→))＝(x，－m)．
因为A，F，E三点共线，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))，
即(x，－m)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,x＝\f(n,3)，))
所以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,3)，0))，所以|eq \(AF,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)eq \r(n2＋9m2)，
即AF＝eq \f(1,3)eq \r(n2＋9m2).
反思感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．
跟踪训练4 如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2).求证：点E，O，F在同一直线上．
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))＝m，eq \(AD,\s\up6(→))＝n.
由eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以eq \(FO,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)m＋eq \f(1,2)(m＋n)＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n.eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(m＋n)－eq \f(1,3)m＝eq \f(1,6)m＋eq \f(1,2)n，所以eq \(FO,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→)).
又O为eq \(FO,\s\up6(→))和eq \(OE,\s\up6(→))的公共点，所以点E，O，F在同一直线上．
1．(2020·新高考全国Ⅱ)若D为△ABC的边AB的中点，则eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A．2eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)) B．2eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))
C．2eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)) D．2eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))
答案 A
解析 如图所示，
∵D为△ABC的边AB的中点，
∴eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝2eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \(CB,\s\up6(→))＝2eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)).
2．(2019·全国Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于( )
A.eq \r(2) B．2 C．5eq \r(2) D．50
答案 A
解析 ∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝eq \r(－12＋12)＝eq \r(2).
3．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析 作出示意图如图所示．
eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).故选A.
4．(2014·全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
答案 C
解析 eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
5．(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由题意得，2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝eq \f(1,2).