北师大版数学八下 图形的平移和旋转知识点

 §3.1 生活中的平移

一、新知要点
(1)平移的概念 （2）平移的特点 (3)平移的基本性质

火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的，那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中,哪些没有发生改变? 哪些发生了变化?这种运动就叫做什么？

1.图形的平移
例1:下图中的图形A向右平移了6格得到图形A′





















































































A′
A










(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。

（2）平移的特点：
①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点。经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。
②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

例2、观察下图△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF。找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。



















(3) 平移的基本性质：
经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

二、新知巩固（练习）

1.平移改变的是图形的 （ ）
A 位置 B 大小 C 形状 D 位置、大小和形状
2.经过平移，对应点所连的线段 （ ）
A 平行 B 相等 C 平行且相等 D 既不平行,又不相等
3.经过平移,图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是（ ）
A 不同的点移动的距离不同 B 既可能相同也可能不同
C 不同的点移动的距离相同 D 无法确定
4.如图，四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH，
填空（1）CD=______， （2）∠ F＝______
（3）HE= ，（4）∠D=_____，
（5）DH=_________。

5.如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的，
则线段CD、AB关系是__________.




6.试着做一做：
（1）把图形向右平移7格后得到 （2）把图形向左平移5格后到的图形涂上颜色。 的图形涂上颜色。






（3）画出小船向右平移6格后的图形 (4)画出向右平移6格后的图形







三、归纳小结
●通过本节课的学习，我们明白了什么叫平移。（在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。）
●总结出了平移的性质。（平移不改变图形的形状和大小。经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。）

四、课外作业：
1.将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ）
A 3cm B 23cm C 20cm D 17cm
2.关于平移的说法，下列正确的是（ ）
A 经过平移对应线段相等； B 经过平移对应角可能会改变
C 经过平移对应点所连的线段不相等； D 经过平移图形会改变、
3.把可以平移到黑色位置的涂上颜色。

4. 把图中的三角形ABC（可记为△ABC）向右平移６个格子，画出所得的△。




§3.2 简单的平移作图
一、 知识回顾
1.平移的概念
2.平移的性质
二、 新知要点
1.平移图形的规律，作图的顺序；
2.平行线的作法及对应点的连结；
3.平移三要素：原图形位置，平移方向，平移距离。

例1：观察理解平移后的图形。


 

例2： 把图中的三角形ABC（可记为△ABC）向右平移8个格子，画出所得的△。









度量△ABC与△的边，角的大小，你发现什么呢？
解：（1）、经过平移的图形与原来的图形的对应线段 ，对应角 ，图形的形状和大小都 。
（2）、平移的对应点所连线段 。
（3）、其中BC与B′C′的关系是 （位置关系和数量关系）。
线段AB与A′B′的关系是 （位置关系和数量关系）。
若AC=5，则A′C′= ，若∠BAC=60°，则∠B′A′C′= 。
若△ABC周长为30，则△A′B′C′周长为 。
若△ABC面积为S，则△A′B′C′面积为 。

例3：画出平移后的图形。


通过操作我们发现：
1．在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，不是指原图形和平移后得到的新图形两个图形之间的空格有几格，而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了几格。
2．在方格纸上平移图形时，可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置，先分别描出各点，再把各点按原来的顺序连接起来，成为按要求平移后得到的新图形。
3．用平移的方式画一排或一列图形时，可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或竖线，以这条横线或竖线为基准，画出的图形就是平移得到的。
4．平移图形或物体时，可以一次平移，也可以两次平移，物体的方向都不会改变。

例4：如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。
分析：因为A与D是对应点，而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD，平移距离——线段AD的长，
作法：
1.分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF，使它们与AD平行且相等
2.顺次连结D、E、F
则△DEF即为所求。








参考图
三、 新知巩固

1.分别画出将□向下平移4格，向左平移8格后得到的图形。

分析：要分别画出将□向下平移4格、向左平移8格后得到的图形，先要分别描出□四个顶点向下平移4格、向左平移8格后的新位置上的四个顶点，再把四个顶点顺次连接起来，就得到符合题意要求的图形。

2.画出花瓶向上平移4格后的图形，再 3.画出三角形向右平移6格后的图形，
画出它继续向左平移7格后的图形。 再画出梯形向下平移5格后的图形










四、 归纳小结
●通过本节课的学习我们学会了平移作图。
●确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离。

五、课外作业
1.下列说法正确的是（ ）
A 由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等
B 我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方
向的平移”
C 小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！”
D 在图形平移过程中，图形上可能会有不动点

2.画画做做想想
（1）移6格后得到的涂上颜色。

（2）分别画出将向下平移5格、向右平移10格后得到的图形。

（3）画出小旗向右平移3格再向下 （4）分别画出将图形向上平移3格、
平移2格后的图形 向左平移8格后得到的图形。








3.如图，已知△ABC，画出△ABC沿 PQ方向平移
2cm后的△A′B′C′．









4.二年级同学表演节目，11个男同学排成一排，每两个男生之间安排一个女生，表演节目的男女生一共有多少人？







§ 3.3 生活中的旋转
一、 知识回顾
下列现象哪些是平移?

平移的特点有哪些？
①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点.经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。
②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。

日常生活中，我们经常见到（钟表、风扇、汽车方向盘，摩天轮，旋转木马……）钟表指针的转动、风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动等情景。（1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动呢？

二、 新知要点
1.旋转
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。
注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。

例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？　　　　

解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．
（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的置。
2．旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前、后的图形全等；
（4）图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。

三、 新知巩固
1. 如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
（2）经过旋转，点A、B分别移到什么位置？
（3）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？
（4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？

2.在正方形ABCD中，∠1＝∠2＝30°，
试把ΔADE绕点A顺时针旋转90°，
观察整个图形中角与角之间，线段
与线段之间，存在哪些相等的关系？
探索DE，BF，AF之间的关系。

四、 归纳小结
●认识了旋转的图形；
●旋转图形的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向；
●旋转图形的性质。

五、课外作业

1.平移不改变图形的________，只改变图形的位置。故此若将线段AB向右平移3cm，得到线段CD，如果AB=5㎝，则 CD=___________
2.下列关于旋转和平移的说法正确的是（ ）
A旋转使图形的形状发生改变
B由旋转得到的图形一定可以通过平移得到
C平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小
D对应点到旋转中心距离相等
3.如图，正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的，其旋转
中心为______点，旋转角度依次为________，________，________。


4．下列现象哪些是平移，哪些是旋转。

 
5．会变的头像

左图中的头像，是一个顽皮的小孩，正在嬉皮笑脸地开玩笑。
倒过头来仔细看看，再说一说这是个什么人？他是什么样的表情？
 


























§3.4简单的旋转作图

一、知识回顾
1.旋转的概念
2.旋转的三要素
3.旋转的性质

如图，在方格上作出“小旗子”绕O点按顺时针方向旋转90 度后的图案，并简述理由。     







O





二、新知要点
简单图形的旋转作图
两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；
②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点。

作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；
②顺次连接各点得到旋转后的图形。

例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．
解：（1）连结CD
（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD
（3）在射线CE上截取CB′=CB
则B′即为所求的B的对应点．
（4）连结DB′
则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形。
例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=，△ABF是△ADE的旋转图形．
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）AF的长度是多少？
（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？
分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到。△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．
解：（1）旋转中心是A点
（2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的
∴B是D的对应点
∴∠DAB=90°就是旋转角
（3）∵AD=1，DE=
∴AE==
∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点
∴AF=
（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE
∴△EAF是等腰直角三角形．

三、新知巩固
1．平面图形的旋转一般情况下改变图形的（　　）
A 位置 B 大小 C 形状 D 性质
2．9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（　　）
A 30° B 45° C 60° D 90°
3．将平行四边形ABCD旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，下列结论错误的是（　　）
A．AB=A′B′ B．AB∥A′B′ C．∠A=∠A′ D．△ABC≌△A′B′C′
4．做一做
在图1中，将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度，请作出旋转后的图案．

图1


四、归纳小结
●图形的旋转
●图形旋转的性质
●简单图形的旋转作图步骤
五、课外作业
1．钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______。
2．菱形ABCD绕点O沿逆时针方向旋转到四边形，则四边形是__________。
3．△ABC绕一点旋转到△A′B′C′，则△ABC和△A′B′C′的关系是_______。
4．钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度。
5．图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______。
6．在图中，将大写字母H绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案。


7．将一个等腰直角三角形ABC（如图2∠A是直角）绕着它的一个顶点B逆时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形。
（1）45°　　　（2）90°　　　（3）135°　　　（4）180°

图2
8．将下面的图案绕点O顺时针方向旋转90度，作出旋转后的图形。

图3


对比平移、轴对称两种图形变换,旋转变换与它们有哪些共性和区别?

§3.5 他们是怎样变过来的
一、知识回顾
1.平移的概念:
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，
这样的图形运动称为平移
2.平移的性质：
1.平移不改变图形的大小和形状。
2.对应点所连的线平行且相等。
对应线段平行且相等。
对应角相等。
3.旋转的概念：
4.旋转的性质
5.轴对称的概念
6.轴对称的性质
观察下列图形是怎么变过来的？

二、新知要点
例1：下图由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其它方式吗？






解析：(1) 整个图形可以看做是由一个“十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成；
(2) 整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的；
(3) 整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左右四个“十”字组成的图形，然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成；
(4) 整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。
……
通过上述问题的讨论，我们看到图形的平移、旋转，轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方式，它们是今后设计图案的主要手段。
例2：“想一想”你能将下面的左图，通过平移或旋转得到右图吗？








三、新知巩固

1.怎样将下图中的甲图变成乙图案？










2.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．








如果一个图形沿一条直线折叠后，
直线两旁的部分能够重合，
那么这个图形叫做轴对称图形

对称轴

对称轴








例： 怎样将下图中的甲图变成乙图案？










2、下图是由三个正三角形拼成的，它可以看作由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的？



看一看：
下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的？
1．
2．
3．
试一试：
怎样将下图中的甲图变成乙图？

做一做：
如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB，
（1）求证：△ABE≌△ADF．


（2）阅读下列材料：如图②，把△ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．

　　　图①　　　　　　　 图②　　　　　　　　　图③　　　　 图④
请回答下列问题：
（1）在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？
（2）指出图①中线段BE与DF之间的关系．





1. 旋转的三要素
（1）旋转中心；
（2）旋转方向；
（3）旋转角度。

三、解答题
9．下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度．

11．如图，菱形A′B′C′D′是菱形ABCD绕点O顺时针旋转90°后得到的，你能作出旋转前的图形吗？

12．Rt△ABC，绕它的锐角顶点A分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°，

（1）试作出Rt△ABC旋转后的三角形；

（2）将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？

13．如图，将右面的扇形绕点O按顺时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形：

（1）90°；（2）180°；（3）270°．
你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？
14．如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案．



§3.6 简单的图案设计
图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。其中中心对称是旋转变换的一种特例。
2. 中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
3. 中心对称图形
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。
4. 中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

5.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o后不变的字是_______
在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是____

3.如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作0○～90o的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的（ ）



（图1） （图2）
4.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．





5.如图是跷跷板示意图，模板AB通过点O，且可以绕点O上下转动，如果∠OCA＝90○，∠CAO= 25○，
（1）画出在空中划过的线；
（2）上下最多可以转动多少角度？




三：【课后训练】

5.如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时
针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．4
6.△ABC是等腰直角三角形，如图，AB=AC，∠BAC＝90°，
D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则
其旋转角的度数为（ ）
A．90° B．120° C．60° D．45°
7.如图，先将方格纸中“猫头”分别向左平移6格、12格，然后分析所画三个图案的关系．



8.如图，已知∠AOB，要求把其往正东方向平移3cm，要求留画痕，写作法
．



9.已知边长为 1个单位的等边三角形ABC，
（1）将这个三角形绕它的顶点C按顺时针方向旋转30○ 作出这个图形；
（2）再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60○、90○、120○，作出这些图形．



10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，请你用对称和旋转的知识回答下列问题：
（l）△ADE和△DFA关于直线AD对称吗?为什么？
（2）把△BDE绕点D顺时针旋转160○后能否与△CDF重合？为什么？
（3）把△BDE绕点D旋转多少度后，此时的△BDE和△CDF关于直线BC对称？









（二）：【课前练习】





3.4 简单的旋转作图

四、应用拓展
例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．
分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．
解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形
∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°
∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的
∴BK=DM