初中数学人教版九年级下册27.2 相似三角形综合与测试练习题

2021年人教版数学九年级下册

《相似三角形》同步培优卷

一、选择题

1.若=，则的值为(　　)

A.1     B.     C.     D.

2.如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（　　）

A.7.2          B.4.8        C.7.5          D.4.5[来源:~中教

3.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（　　）

（1）菱形都相似；

（2）等腰直角三角形都相似；

（3）正方形都相似；

（4）矩形都相似；

（5）正六边形都相似.

A.1个        B.2个           C.3个          D.4个

4.如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(　　)

A.P1                                            B.P2                                            C.P3                                            D.P4

5.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形(　　)

A.1对      B.2对      C.3对       D.4对

6.如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AE，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG=(　 　)

A.1∶3          B.3∶1        C.1∶9          D.9∶1

7.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为(　 　)

A.1                   B.       C.－1                      D.＋1

8.如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，

若S△DOE∶S△COA=1∶25，则BE∶CE=(　　)

A.1∶3                       B.1∶4           C.1∶5              D.1∶25

9.如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连接AF并延长交射线BM于点C.设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式为(　　)

A.－      B.－      C.－     D.－

10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为(　　)

A.2.5     B.1.6     C.1.5     D.1

11.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，

已知S△AEF=4.

则下列结论：①AF:FD=1:2；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD.

其中一定正确的是（　　）

A.①②③④                   B.①④         C.②③④     D.①②③

12.锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN.设MN的长为x，矩形MPQN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是(　　)

A.     B.    C.   D.

二、填空题

13.已知=，则=________.

14.如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM=1，MB=2，BC=3，则MN长为     .

15.如图，在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM.当AM⊥BM时，则BC的长为        .

16.一副三角板叠放如图所示，则△AOB与△DOC的面积之比为　 　.

17.在△ABC中，AB=9，AC=6.点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上.当AN=____时，△AMN与原三角形相似.

18.如图，正方形ABCD内有两点E、F满足AE=1，EF=FC=3，AE⊥EF，CF⊥EF，则正方形ABCD的边长为　   　.

三、解答题

19.若,且2a－b+3c=21.试求a∶b∶c.

20.如图所示，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF=90°.

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)若AB=4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长.

21.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，

求CD的长.

22.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？

23.如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.

(1)求证：直线CD是⊙O的切线；

(2)若DE=2BC，AD=5，求OC的值.

24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值.

25.如图所示，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.

(1) 求证：△BDG∽△DEG；

(2) 若EG·BG=4，求BE的长.

26.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.

(1) 求证：△AEF∽△ABC；

(2) 求这个正方形零件的边长；

(3) 如果把它加工成矩形零件如图②，问这个矩形的最大面积是多少？

参考答案

1.答案为：D

2.答案为：B

3.答案为：C

4.答案为：C.

5.答案为：C

6.答案为：C

7.答案为：C

8.答案为：B.

9.答案为：A

10.答案为：B

11.答案为：D.

12.答案为：B.

13.答案为：－.

14.答案为：1.

15.答案为：8.

16.答案为：1∶3

17.答案为：2或4.5.

18.答案为：.

19.答案为：a:b:c=4:8:7；

20.解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A=∠D=90°.

∴∠ABE＋∠AEB=90°.

∵∠BEF=90°，∴∠AEB＋∠DEF=90°.

∴∠ABE=∠DEF.∴△ABE∽△DEF.

(2)∵AB=AD=4，E为AD的中点，

∴AE=DE=2.

由(1)知，△ABE∽△DEF，

∴=，即=.

∴DF=1.∴CF=3.

∵ED∥CG，

∴△EDF∽△GCF.

∴=，即=.

∴GC=6.

∴BG=BC＋GC=10.

21.解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，

∵∠APD=60°，

∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，

∴∠APB=∠PDC，

又∵∠B=∠C=60°，

∴△ABP∽△PCD，

∴，即，

∴CD=.

22.解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，
∵AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
∴或，
解得：BP=2或12或8.4，
即BP=2或12或8.4时，△PAB与△PCD是相似三角形.

23. (1)证明：连结DO.

∵AD∥OC，

∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD.

又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠COD=∠COB.

在△COD和△COB中，

，

∴△COD≌△COB(SAS)，

∴∠CDO=∠CBO=90°.

又∵点D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线；

(2)解：∵△COD≌△COB.

∴CD=CB.

∵DE=2BC，

∴ED=2CD.

∵AD∥OC，

∴△EDA∽△ECO.

∴，

∵AD=5，

∴OC=.

24.解：由题意，得BP=5t，QC=4t，AB=10 cm，BC=8 cm.

①∵∠PBQ=∠ABC，

∴若△BPQ∽△BAC，则还需=，

即=.解得t=1；

②∵∠PBQ=∠CBA，

∴若△BPQ∽△BCA，则还需=，

即=.解得t=.

综上所述，当t=1或时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似.

25.解：(1)证明：∵BE平分∠DBC，

∴∠CBE=∠DBG，

∵∠CBE=∠CDF，

∴∠DBG=∠CDF，

∵∠BGD=∠DGE，

∴△BDG∽△DEG　

(2)∵△BDG∽△DEG，=，

∴DG2=BG·EG=4，∴DG=2，

∵∠EBC＋∠BEC=90°，∠BEC=∠DEG，∠EBC=∠EDG，

∴∠BGD=90°，

∵∠DBG=∠FBG，BG=BG，

∴△BDG≌△BFG，

∴FG=DG=2，

∴DF=4，

∵BE=DF，

∴BE=DF=4.

26.解：(1)∵四边形EFHG为正方形，

∴BC∥EF，

∴△AEF∽△ABC　

(2)∵四边形EFHG为正方形，

∴EF∥BC，EG⊥BC，

又∵AD⊥BC，∴EG∥AD，

设EG=EF=x，则KD=x，

∵BC=120 mm，AD=80 mm，

∴AK=80－x，

∵△AEF∽△ABC，

∴=，即=，解得x=48，

∴这个正方形零件的边长是48 mm　

(3)设EG=KD=m，则AK=80－m，

∵△AEF∽△ABC，

∴=，即=，

∴EF=120－m，

∴S矩形EFHG=EG·EF=m·(120－m)=－m2＋120m=－(m－40)2＋2400，

故当m=40时，矩形EFHG的面积最大，最大面积为2400  mm2