人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定精练

第5课  相似三角形的判定

知识点01  相似三角形

在和中，如果我们就说与相似，

记作            .k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.

要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意         ，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；

(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形  .

知识点02  相似三角形的判定定理

相似三角形的判定

1．判定方法（一）：                                    ，所构成的三角形和原三角形相似；

2．判定方法（二）：如果两个三角形的                              ，那么这两个三角形相似；　

3．判定方法（三）：如果两个三角形的                       ，并且相应的                      ，那么这两个三角形相似.

要点诠释：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

 4．判定方法（四）：如果一个三角形的  ，那么这两个三角形相似.
要点诠释：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
知识点03  相似三角形的常见图形及其变换

考法01   相似三角形

【典例1】判断对错：
　　(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？
　　(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？
　　(3) 两个等边三角形一定相似吗？为什么？

【即学即练1】下列说法错误的是（   ）． 
　　A．有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似　　B．全等的两个三角形一定相似
　　C．对应角相等的两个多边形相似 　　   D．两条邻边对应成比例的两个矩形相似

考法02  相似三角形的判定

【典例2】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

【即学即练2】如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=　　．

【典例3】如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与相似的是哪一个？
　　

　　        　　   
　　　 图（1）　　　  图（2）　　　    　 图（3）　　　　　     图（4）
【典例4】已知：如图，，，，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？

【即学即练3】如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD与EF的交点．
　　（1）求证：≌．
　　（2）若，，，求的值．
　　　　　　　　　　　　　　　 
　

题组A  基础过关练

1. 已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为(   ).

A.16：15 　　　B.15：16　　　 C.3：5 　　　D.16：15或15：16

2．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．

3.如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为(    ) .　

A. 2：1　  　B. 3：2　 　C. 3：1　 　D. 5：2

4.下列各组条件中，一定能推出△ABC与△DEF相似的是（　　）

A．∠A=∠E且∠D=∠F　        B．∠A=∠B且∠D=∠F　

C．∠A=∠E且AB：AC=EF：ED　  D．∠A=∠E且AB：BC=DF：ED　

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（   ）．
　　A．4对 　　　B．3对　　　 C．2对　　　 D．1对

6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是(   ) .　

A.∠APB=∠EPC　　　B.∠APE=90°　　 C.P是BC的中点　　　 D.BP：BC=2：3
 

题组B  能力提升练

7.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ADC相似的三角形为　    　（填一个即可）．

8.如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=　　．

9.如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是________________.

10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN,,则①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正确的有___________.

11.如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：PQ:QC=____________.

12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动，当CM=______时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.

题组C  培优拔尖练

13.如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．

14. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
　　（1）试说明△ABD≌△BCE；
　　（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
　　　
 

15.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.
　　(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；
　　(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；
　　(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.