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    高中数学第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.4 诱导公式学案

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    这是一份高中数学第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.4 诱导公式学案,共11页。学案主要包含了诱导公式二,六的共同特点和规律吗?等内容,欢迎下载使用。

    1.借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式;
    2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题;
    3.了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思想。
    1.教学重点:诱导公式的记忆、理解、运用;
    2.教学难点:诱导公式的推导、记忆及符号的判断。
    一、诱导公式二: 、 、 。
    诱导公式三: 、 、 。
    诱导公式四: 、 、 。
    诱导公式五: 、 、 。
    诱导公式六: 、 、 。
    一、探索新知
    思考1:
    .终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?
    .角 -α与α的终边 有何位置关系?
    .角与α的终边 有何位置关系?
    .角与α的终边 有何位置关系?
    思考2: 已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么?
    探究一 如图, 角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系?
    探究二 角与的三角函数值之间有什么关系
    探究三 根据上两组公式的推导,你能否推导出角与角的三角函数值之间的关系?
    思考3:这四个诱导公式有什么规律?
    例1.求下列三角函数值
    (1)cs225°;(2)sin;(3)sin();(4)tan(-2 040°).
    思考4:通过例题,你对诱导公式一、二、三、四有什么进一步的认识?你能归纳任意角的三角函数化为锐角三角函数的步骤吗?
    化简:
    探究四 作P(x,y)关于直线的对称点P1,以OP1为终边的角与角有什么关系?角与角的三角函数值之间有什么关系?
    探究五:作点P(x,y)关于y轴的对称点P5,又能得到什么结论?
    思考5:你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗?
    思考6:诱导公式可统一为的三角函数与α的三角函数之间的关系,你有什么办法记住这些公式?
    证明:

    例4 化简
    例5 已知,且 ,求的值。
    1.下列各式不正确的是( )
    A.sin(α+180°)=-sin α B.cs(-α+β)=-cs(α-β)
    C.sin(-α-360°)=-sin α D.cs(-α-β)=cs(α+β)
    2.sin 600°的值为( )
    A.eq \f(1,2)B.-eq \f(1,2)
    C.eq \f(\r(3),2)D.-eq \f(\r(3),2)
    3.cs 1 030°=( )
    A.cs 50°B.-cs 50°
    C.sin 50°D.-sin 50°
    4.若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+θ))<0,且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-θ))>0,则θ是( )
    A.第一象限角B.第二象限角
    C.第三角限角D.第四象限角
    5.已知sin φ=eq \f(6,11),求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)+φ))+sin(3π-φ)的值.
    这节课你的收获是什么?
    参考答案:
    思考1.(1)相等 (2)终边关于x轴对称 (3)终边关于y轴对称
    (4)终边关于原点对称
    思考2.点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y)
    点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y)
    点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)
    探究一 角π +  与角 的终边关于原点O对称,

    (公式二)
    sin(π + ) = sin ,
    cs(π + ) = cs ,
    tan(π + ) = tan 。
    探究二 角 与角 的终边关于x轴对称,有。。
    (公式三) sin() = sin ,
    cs() = cs ,
    tan() = tan 。
    探究三 角与角的终边关于轴对称,故有
    所以,(公式二)
    sin(π - ) = sin ,
    cs(π - ) = cs ,
    tan(π - ) = -tan 。
    思考3.的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.
    总结为一句话:函数名不变,符号看象限。
    例1.解:(1)cs225°=cs(180°+45°)=-cs45°=;
    (2)sin=sin(2π)=sin=sin=sin=;
    (3)sin()=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=;
    (4)tan(-2 040°)=-tan2 040°=-tan(6×360°-120°)=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=.
    思考4. 利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:
    上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.
    例2 解析见教材
    探究四 ,,
    公式五
    探究五 。,
    公式六
    思考5. 的正弦(余弦)函数值,分别等于α的
    余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
    思考6.口诀:奇变偶不变,符号看象限
    口诀的意义:
    例3、例4、例5解析见教材
    达标检测
    1.【解析】 cs(-α+β)=cs[-(α-β)]=cs(α-β),故B项错误.
    【答案】 B
    2.【解析】 sin 600°=sin(720°-120°)=-sin 120°
    =-sin(180°-60°)=-sin 60°=-eq \f(\r(3),2).故选D.
    【答案】 D
    3.【解析】 cs 1 030°=cs(3×360°-50°)
    =cs(-50°)=cs 50°.
    【答案】 A
    4.【解析】 由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+θ))=cs θ<0,
    cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-θ))=sin θ>0,所以角θ的终边落在第二象限,故选B.
    【答案】 B
    5.【解】 ∵sin φ=eq \f(6,11),
    ∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)+φ))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π-\f(π,2)+φ))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2)+φ))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-φ))=sin φ=eq \f(6,11),
    ∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)+φ))+sin(3π-φ)=eq \f(6,11)+sin(π-φ)=eq \f(6,11)+sin φ=eq \f(12,11).
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