第三节　函数的奇偶性、周期性学案

这是一份第三节　函数的奇偶性、周期性学案，共17页。

第三节　函数的奇偶性、周期性
学习要求:
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.了解周期性的概念和几何意义.


　　1.函数的奇偶性

定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且① f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做偶函数
关于② y轴 对称
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且③ f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x)就叫做奇函数
关于④ 原点 对称
　　▶提醒　函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
2.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有⑤ f(x+T)=f(x) 成立,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期. 
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
知识拓展
　　1.函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

2.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任意一自变量x,
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);
(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a>0);
(3)若f(x+a)=-1f(x),则T=2a(a>0).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0. (　　)
(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(　　)
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (　　)
(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. (　　)
答案　(1)√　(2)✕　(3)√　(4)√
2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是 (　　)
A.y=x2sin x　　　　B.y=x2cos x
C.y=|ln x|　　　　D.y=2-x
答案　B
3.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有 f(x2)-f(x1)x2-x1<0,则 (　　)
A.f(3) B.f(1) C.f(-2) D.f(3) 答案　B
4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 (　　)
A.-13　　　　B.13 C.12　　　　D.−12
答案　B
5.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=-4x2+2,-1≤x<0,x,0≤x<1,则f32=　　　　. 
答案　1

函数的奇偶性
角度一　函数奇偶性的判断
　　典例1　判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=3-x2+x2-3;
(2)f(x)=lg(1-x2)|x-2|-2;
(3)f(x)=x2+x,x<0,-x2+x,x>0.
解析　(1)由3-x2≥0,x2-3≥0,得x2=3,解得x=±3,即函数f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称,∴f(x)=3-x2+x2-3=0.∴f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由1-x2>0,|x-2|≠2得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.∴x-2<0,∴|x-2|-2=
-x,∴f(x)=lg(1-x2)-x.∵f(-x)=lg[1-(-x)2]x=lg(1-x2)x=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(3) 显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.

角度二　已知函数的奇偶性求参数的值
典例2　已知函数f(x)=x(2x+a×2-x)(x∈R),若f(x)是偶函数,则记a=m,若f(x)是奇函数,则记a=n,则m+2n= (　　)　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.-1
答案　B　当f(x)是偶函数时,f(x)=f(-x),即x(2x+a×2-x)=-x(2-x+a×2x),
即(1+a)(2x+2-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1,即m=-1;
当f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),
即-x(2-x+a×2x)=-x(2x+a×2-x),
即(1-a)(2x-2-x)x=0,
因为上式对任意实数x都成立,所以a=1,即n=1.所以m+2n=1.
角度三　利用函数的奇偶性求不等式的解集
典例3　(2020四川成都模拟)已知函数f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=x-x2,则不等式(x+1)f(x)>0的解集是 (　　)
A.(0,1)　　　　 B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(0,1)　　　　D.(-1,0)∪(1,+∞)
答案　A　当x<0时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-[-x-(-x)2]=x+x2,
则f(x)=x-x2,x≥0,x+x2,x<0,∴(x+1)f(x)>0⇒x+1>0,x-x2>0,x≥0或x+1<0,x+x2<0,x<0或-10,解得0 名师点评
1.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题:
(1)求函数值:将待求函数值利用函数的奇偶性转化到已知区间上求函数值.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.
(4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在对称区间上的图象.

　(2020广东广州一模)已知函数f(x)=2x+ln(x+a+x2)(a∈R)为奇函数,则a=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
答案　C　∵函数f(x)=2x+ln(x+a+x2)为奇函数,
∴f(-x)+f(x)=-2x+ln[-x+a+(-x)2]+2x+ln(x+a+x2)=ln a=0,解得a=1.故选C.
函数的周期性
　　典例4　(1)(多选题)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,则下列等式成立的是(　　)
A.f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)
B.f(2 019)+f(2 021)=f(2 020)
C.2f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)
D.f(2 019)=f(2 020)+f(2 021)
(2)(2020四川成都一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2-f(-x),且函数f(x+1)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=1-x2,则f2 0203= (　　)
A.109　　　　B.119　　　　C.139　　　　D.169
答案　(1)ABC　(2)C
解析　(1)由f(x-3)=-f(x)知f(x)的周期为6,
f(2 019)=f(336×6+3)=f(3)=0,
f(2 020)=f(337×6-2)=f(-2)=-f(2)=2,
f(2 021)=f(337×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.
故A,B,C中的等式均成立.
(2)因为函数f(x+1)是偶函数,
所以f(x+1)=f(-x+1),
所以f(-x)=f(x+2),因为f(x)=2-f(-x),所以f(x)+f(x+2)=2,
所以f(x+2)+f(x+4)=2,所以f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,
所以f2 0203=f168×4+43=f43,
因为f43=f1+13=f1-13=f23=2−f-23=2−1--232=139,
所以f2 0203=139.故选C.
名师点评
函数周期性的判断与应用
(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得函数是周期函数,且周期为T.
(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.

　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1-x)=-f(1+x),f(0)=1,则f(0)+f(1)+…+
f(2 020)= (　　)
A.-1　　　　B.0
C.1　　　　 D.2 020
答案　C　因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),因为f(1-x)=-f(1+x),所以f(x-1)=-f(1+x),则f(x-2)=-f(x),所以f(x-4)=-f(x-2)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数,易知f(1)=-f(1),所以f(1)=0,因为f(2)=-f(0)=-1,f(3)=f(-1)=f(1)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(0)+f(1)+…+
f(2 020)=505[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)=505×0+1=1.故选C.
函数性质的综合应用
角度一　单调性、奇偶性的综合应用
典例5　(1)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为(　　)
A.(-1,1)　　　　
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)　　　　
D.(0,1)
(2)(2020安徽马鞍山三模)已知函数f(x+2)是定义域为R的偶函数,若f(x)在(2,+∞)上单调递减,则不等式f(ln x)-f(1)<0的解集是 (　　)
A.(0,1)∪(3,+∞)　　　　
B.(1,3)
C.(0,e)∪(e3,+∞)　　　　
D.(e,e3)
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)∵函数y=f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(|x|),
由f(2x-1)>f(x-2),得f(|2x-1|)>f(|x-2|),
∵函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴|2x-1|>|x-2|,即(2x-1)2>(x-2)2,
化简得x2-1>0,解得x<-1或x>1,
故不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.
(2)因为f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,
且f(x+2)的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.
由f(x)在(2,+∞)上单调递减可得f(x)在(-∞,2)上单调递增,
由f(ln x)-f(1)<0得f(ln x) 所以|ln x-2|>|2-1|=1,所以ln x<1或ln x>3,解得0e3.故选C.
角度二　奇偶性、周期性的综合应用
典例6　(多选题)(2020山东威海高三模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则 (　　)
A.f(x)是偶函数　　　　 B.f(x)是奇函数
C.f(x+3)是偶函数　　　　D.f(x)=f(x+4)
答案　CD　因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2).
因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2).
所以f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.
因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数.
名师点评
函数性质综合应用的注意点
(1)函数单调性与奇偶性综合:注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性综合:此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性综合:解决此类问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.


1.(2020重庆模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f34+x=f34-x,且当x∈0,34时,f(x)=log2(x+1)+m,若f(100)=log23,则实数m的值为 (　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.0　　　　D.-1
答案　B　由f(x)为奇函数知f34-x=−fx-34,
∴fx+34=−fx-34,即fx+32=-f(x),∴f(x+3)=-fx+32=f(x),∴f(x)是周期为3的函数,故f(100)=f(1)=f12=log232+m=log23,∴m=1.
2.已知函数f(x)=21-x,x≥1,2x-1,x<1,若f(2x-2)≥f(x2-x+2),则实数x的取值范围是 (　　)
A.[-2,-1]　　　　
B.[1,+∞)
C.R　　　　
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
答案　D　函数f(x)=21-x,x≥1,2x-1,x<1,
画出函数y=f(x)的图象如图,

由图可知,f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在[1,+∞)上是单调减函数.∵f(2x-2)≥f(x2-x+2),且x2-x+2=x-122+74>1恒成立,
∴|2x-2-1|≤x2-x+2-1,即|2x-3|≤x2-x+1,当x≥32时,不等式化为2x-3≤x2-x+1,即x2-3x+4≥0,不等式恒成立,所以x≥32;当x<32时,不等式化为3-2x≤x2-x+1,即x2+x-2≥0,解得x≤-2或x≥1,
即x≤-2或1≤x<32.
综上,当f(2x-2)≥f(x2-x+2)时,实数x的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).





数学运算——抽象函数的性质及应用

　　已知函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为　　　　. 
答案　4
解析　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=
-f(2 014)+f(2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.

　　(1)本题涉及了函数的周期性与对称性,利用函数的周期性与对称性求函数值,提升了数学运算的核心素养.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的函数:
①若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称;若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.

1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2 017)+f(2 018)=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0
答案　C　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-2 017)=-f(2 017),因为当x≥0时,f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即当x≥0时,函数f(x)的周期为6,又当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,所以f(2 017)=f(336×6+1)=f(1)=2,f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=3.故f(-2 017)+f(2 018)=-2+3=1.
2.已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.[-3,1]　　　　 B.[-4,2]
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)　　　　D.(-∞,-4]∪[2,+∞)
答案　A　因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,由f(x)在[1,+∞)上单调递减得f(x)在(-∞,1)上单调递增,由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,即|m+1|≤|x-2|对任意的x∈[-1,0]恒成立,所以|m+1|≤|x-2|min,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.


A组　基础达标

1.(2020湖北武汉高三期末)定义在R上的奇函数f(x)满足f(-x)=f(3+x),f(2 020)=2,则f(1)的值是 (　　)
A.-1　　　　B.-2　　　　C.1　　　　D.2
答案　B
2.(2020北京四中模拟)下列函数为奇函数的是 (　　)
A.f(x)=x3+1　　　　B.f(x)=ln1-x1+x
C.f(x)=ex　　　　D.f(x)=xsin x
答案　B
3.(2020河南洛阳模拟)已知函数f(x)=a-2ex+1(a∈R)是奇函数,则函数f(x)的值域为(　　)
A.(-1,1)　　　　B.(-2,2)
C.(-3,3)　　　　D.(-4,4)
答案　A
4.(多选题)(2019福建厦门模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(　　)
A.f(x)=1x　　　　 B.f(x)=1x2
C.f(x)=-x　　　　D.f(x)=-x|x|
答案　CD
5.(2020课标Ⅲ文,12,5分)已知函数f(x)=sin x+1sinx,则 (　　)
A. f(x)的最小值为2
B. f(x)的图象关于y轴对称
C. f(x)的图象关于直线x=π对称
D. f(x)的图象关于直线x=π2对称
答案　D
6.(2020河南焦作一模)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(4-x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+x,则不等式f(x)>2的解集为(　　)
A.(2k+1,2k+3),k∈Z　　　　B.(2k-1,2k+1),k∈Z
C.(4k+1,4k+3),k∈Z　　　　D.(4k-1,4k+1),k∈Z
答案　C　因为f(x+4)=f(4-x-4)=f(-x)=f(x),
所以f(x)的周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)>2的解集为(1,2],
易知f(x)的图象关于直线x=2对称,所以当x∈[0,4]时,f(x)>2的解集为(1,3),
所以当x∈R时,f(x)>2的解集为(4k+1,4k+3),k∈Z.
7.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 答案　-2
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,
又∵f(x)的周期为2,∴f(2)=0,
又∵f-52=f-12=−f12=−412=-2,
∴f-52+f(2)=-2.
8.设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　. 
答案　2
解析　显然函数f(x)的定义域为R,f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,
设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),
∴g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.
9.已知定义域为R的减函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3-2x.
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
解析　(1)因为定义域为R的函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0.
(2)因为当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x3-2-x.又因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x3+2-x.
综上,f(x)=x3-2x,x>0,0,x=0,x3+2-x,x<0.
(3)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0得f(t2-2t)<-f(2t2-k).因为f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)k-2t2,即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立.令3t2-2t-k=0,则Δ=4+12k<0,解得k<-13.故实数k的取值范围为-∞,-13.

B组　能力拔高

10.(2020课标Ⅱ理,9,5分)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(　　)
A.是偶函数,且在12,+∞单调递增　　　　
B.是奇函数,且在-12,12单调递减
C.是偶函数,且在-∞,-12单调递增　　　　
D.是奇函数,且在-∞,-12单调递减
答案　D　由|2x+1|>0,|2x-1|>0⇒x∈xx≠±12,x∈R,∴函数f(x)的定义域关于原点对称,
∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A、C;当x∈-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f′(x)=22x+1−-21-2x=41-4x2>0,∴f(x)在-12,12单调递增,排除B;当x∈-∞,-12时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f′(x)=-2-2x-1−-21-2x=41-4x2<0,
∴f(x)在-∞,-12单调递减,∴D正确.
11.(多选题)(2020山东潍坊高三一模)已知奇函数f(x)是定义在R上的减函数,且f(2)=-1,若g(x)=f(x-1),则下列结论一定成立的是 (　　)
A.g(1)=0　　　　
B.g(2)=-12
C.g(-x)+g(x)>0　　　　
D.g(-x+1)+g(x+1)<0
答案　AC　因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,因为g(x)=f(x-1),
所以g(1)=f(0)=0,故A中结论正确;
因为f(x)为定义在R上的减函数,且f(2)=-1,f(2) 因为g(x)=f(x-1),所以g(-x)=f(-x-1)=-f(x+1),所以g(-x)+g(x)=f(x-1)-f(x+1),因为f(x)是定义在R上的减函数,所以f(x-1)>f(x+1),所以f(x-1)-f(x+1)>0,即g(-x)+g(x)>0,故C中结论正确;因为g(x)=f(x-1),所以g(-x+1)=f(-x)=-f(x),g(x+1)=f(x),所以g(-x+1)+g(x+1)=
-f(x)+f(x)=0,故D中结论错误.
12.(多选题)(2020山东淄博高三一模)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x∈[0,2)时,f(x)=2x-1,给出下列结论,其中正确的是 (　　)
A.f(2)=0
B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心
C.函数y=f(x)在[-6,-2]上单调递增
D.函数y=f(x)在[-6,6]上有3个零点
答案　AB　在f(x+4)=f(x)+f(2)中,令x=-2,得f(-2)=0,又函数y=f(x)是R上的奇函数,所以f(2)=-f(-2)=0,所以f(x+4)=f(x),故y=f(x)是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f(x)的图象的对称中心,所以(4,0)也是函数y=f(x)的图象的一个对称中心,故A、B正确;作出函数y=f(x)的部分图象如图所示,易知函数y=f(x)在[-6,-2]上不具有单调性,故C不正确;因为f(2)=-f(-2)=0,且f(x)的周期为4,所以f(-6)=f(-2)=f(2)=f(6)=0,f(4)=f(0)=f(-4)=0,即函数y=f(x)在[-6,6]上有7个零点,故D不正确.故选AB.

13.已知函数y=f(x)满足f3π2-x=f(x),当x≥3π4时,f(x)=sin x,则函数f(x)>-12在区间0,3π2内的解集为　　　　. 
答案　π3,7π6
解析　由f3π2-x=f(x),可得f(x)的图象关于直线x=3π4对称,当x≥3π4时,由sin x>−12,得3π4≤x<7π6,根据对称性,当0−12,得π3


C组　思维拓展

14.(多选题)(2020山东淄博高三二模)华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法,如:(c1　c2)=(a1　a2)×b11　b12b21　b22,其中c1=a1b11+a2b21,c2=a1b12+a2b22.已知定义在R上不恒为0的函数f(x),对任意a,b∈R,都有(y1　y2)=(f(a)　f(b))×-1　b+1a-1　1,且满足f(ab)=y1+y2,则 (　　)
A.f(0)=0　　　　
B.f(-1)=1
C.f(x)是偶函数　　　　
D.f(x)是奇函数
答案　AD　∵(y1　y2)=(f(a)　f(b))×-1　b+1a-1　1,
∴y1=-f(a)+f(b)(a-1),y2=f(a)(b+1)+f(b),
又f(ab)=y1+y2,
∴f(ab)=-f(a)+f(b)(a-1)+f(a)(b+1)+f(b)=bf(a)+af(b),
令a=b=0,则f(0)=0,
令a=b=1,则f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0,
令a=b=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1),
∴f(-1)=0,
令a=x,b=-1,则f(-x)=-f(x)+xf(-1),∴f(x)+f(-x)=0,∴f(x)为奇函数,故选AD.
15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-3-x)=f(3-x),当-3≤x≤-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1 答案　-338
解析　函数f(x)满足f(-3-x)=f(3-x),即f(-3-x)=f[6+(-3-x)],则函数f(x)是周期为6的函数,当-3≤x≤-1时,f(x)=-(x+2)2,则f(-3)=-1,f(-2)=0,f(-1)=-1,
当-1 因为函数f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=-1,f(2)=f(-2)=0,f(3)=f(-3)=-1,
又函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)
=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
=336×[-1+0+(-1)+0+(-1)+2]+(-1)+0+(-1)+0=-338.