第二节　函数的单调性与最值学案

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这是一份第二节　函数的单调性与最值学案，共14页。

第二节　函数的单调性与最值
学习要求:
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.

　　1.函数的单调性
(1)增函数与减函数的定义:

增函数
减函数
定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,且D⊆I,如果对任意x1,x2∈D
当x1 f(x2) ,那么就称y=f(x)在区间D上是增函数
当x1< x2时,都有② f(x1)>
f(x2) ,那么就称y=f(x)在区间D上是减函数
图象
描述

自左向右看图象是③ 上升的

自左向右看图象是④ 下降的
　　(2)单调区间的定义:
若函数y=f(x)在区间D上⑤ 单调递增或单调递减 ,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
　　▶提醒　(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.
(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.
(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M.

2.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I,都有⑥ f(x)≤M ;
(2)存在x0∈I,使得⑦ f(x0)=M
(1)对于任意的x∈I,都有⑧ f(x)≥M ;
(2)存在x0∈I,使得⑨ f(x0)=M
结论
M为函数y=f(x)的最大值
M为函数y=f(x)的最小值
知识拓展
　　1.单调性定义的等价形式
设任意的x1,x2∈[a,b],x1≠x2.
(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或 f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数.
(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或 f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.
2.复合函数的单调性
函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))单调递减.
3.函数单调性的常用结论
(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.
(3)函数y=f(x)(f(x)>0)与y=-f(x),y=1f(x)在公共定义域内的单调性相反.
(4)函数y=x+ax(a>0)的增区间为(-∞,-a]和[a,+∞),减区间为(-a,0)和(0,a).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(-1) (2)若函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞). (　　)
(3)函数y=1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (　　)
(4)所有的单调函数都有最值. (　　)
(5)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点处取到. (　　)
答案　(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)√
2.(新教材人教A版必修第一册P79T3改编)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是(　　)
A.y=1x-x　　　　
B.y=x2-x
C.y=ln x-x　　　　
D.y=ex
答案　A
3.(新教材人教A版必修第一册P85T1改编)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=log12f(x)的单调递增区间为 (　　)

A.(-∞,-3],[0,3]　　　　
B.[-3,0],[3,+∞)
C.(-∞,-5),[0,1)　　　　
D.(-1,0],(5,+∞)
答案　C
4.(新教材人教A版必修第一册P81例5改编)函数y=2x-1在区间[2,3]上的最大值是　　　　.
答案　2
5.函数f(x)=1x2-2x-3的单调增区间为　　　　.
答案　(-∞,-1)

确定函数的单调性(区间)
角度一　确定不含参函数的单调性(区间)
典例1　(1)(2020湖北荆州高三期末)设max{a,b}=a,a≥b,b,a 　　A.[-1,0],12,+∞　　　　
B.(-∞,-1],0,12
C.-∞,-12,[0,1]　　　　
D.-12,0,[1,+∞)
(2)(2020黑龙江大庆高三模拟)函数f(x)=x2+x-6的单调增区间是 (　　)
A.(-∞,-3)　　　　B.[2,+∞)
C.[0,2)　　　　 D.[-3,2]
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)由x2-x=1-x2得2x2-x-1=0,解得x=1或x=-12,
当x≥1或x≤-12时,f(x)=max{x2-x,1-x2}=x2-x,此时函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞);
当-12 (2)要使函数有意义,则x2+x-6≥0,解得x≥2或x≤-3,易知y=x2+x-6在区间(-∞,-3]上单调递减,在区间[2,+∞)上单调递增,y=x在定义域内单调递增,
结合复合函数的单调性可得函数f(x)=x2+x-6的单调增区间是[2,+∞).
角度二　确定含参函数的单调性(区间)
典例2　(1)试讨论函数f(x)=axx-1(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
(2)已知f(x)=xx-a(a∈R,x≠a).
①若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
②若a>0,且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
解析　(1)f(x)=a·x-1+1x-1=a1+1x-1,
任取x1,x2∈(-1,1),且x1 则f(x1)-f(x2)=a1+1x1-1−a1+1x2-1=a(x2-x1)(x1-1)(x2-1),
因为-10,x1-1<0,x2-1<0,
故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) (2)①证明:任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1 =2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).
易知(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1) 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
②任取x1,x2∈(1,+∞),且x1 则f(x1)-f(x2)=x1x1-a−x2x2-a
=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).
因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0恒成立,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1.
综上所述,0
名师点评
1.求函数的单调区间时,应先求函数的定义域,在定义域内求单调区间,单调区间不能用集合或不等式表示,且图象不连续的单调区间要用“和”或“,”连接.
2.(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.
(2)函数y=f [g(x)]的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.

　判断并证明函数f(x)=ax2+1x(其中1 解析　函数f(x)在[1,2]上单调递增.证明如下:
任取x1,x2∈[1,2],且x1 则f(x2)-f(x1)=ax22+1x2−ax12−1x1=(x2-x1)a(x1+x2)-1x1x2,由1≤x10,2 因为10,
从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增.
函数单调性的应用
角度一　利用单调性比较大小
典例3　(2020河南郑州模拟)已知函数f(x)=ex-e-x,x>0,-x2,x≤0,若a=50.01,b=32log32,c=log30.9,则有(　　)
A.f(b)>f(a)>f(c)　　　　B.f(c)>f(a)>f(b)
C.f(a)>f(c)>f(b)　　　　D.f(a)>f(b)>f(c)
答案　D　当x>0时,f(x)=ex-e-x单调递增,且f(0)=0;当x≤0时,f(x)=-x2单调递增,且f(0)=0,所以函数f(x)在R上单调递增,因为a=50.01>1,0b>c,所以f(a)>f(b)>f(c).
角度二　利用单调性解不等式
典例4　(2020山东聊城三模)已知函数f(x)=3e-x,x≤0,-4x+3,x>0,若f(a2-3)≥f(-2a),则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,1]　　　　
B.(-∞,-3]∪[1,+∞)
C.(-∞,1]∪[3,+∞)　　　　
D.[-3,1]

答案　D　当x≤0时,f(x)=3e-x单调递减;当x>0时,f(x)=-4x+3单调递减.
又3e0=-4×0+3=3,所以函数y=f(x)在R上连续,则函数y=f(x)在R上单调递减.
作出函数y=f(x)的图象如图所示.
由f(a2-3)≥f(-2a)可得a2-3≤-2a,即a2+2a-3≤0,解得-3≤a≤1.
故实数a的取值范围是[-3,1].
角度三　利用函数的单调性求参数的取值范围
　　典例5　(2020广西柳州实验中学高三开学考试)已知函数f(x)=logax,0 A.0,16　　　　B.0,16
C.0,14　　　　D.(1,+∞)
答案　B　因为函数f(x)对任意x1≠x2且x1,x2∈(0,+∞),都有 f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,所以函数f(x)在定义域内单调递减,所以0 名师点评
1.(1)比较函数值的大小时,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决;
(2)求解与抽象函数有关的不等式时,往往利用函数的单调性脱去“f ”,使其转化为求解具体的不等式.此时应特别注意函数的定义域.
2.利用单调性求参数的值(取值范围)的思路:根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)),或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.

1.已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f-12,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c>a>b　　　　B.c>b>a
C.a>c>b　　　　D.b>a>c
答案　D　由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称,故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=f-12=f52.当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立等价于函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以b>a>c.
2.如果函数f(x)=ax+1x+2a在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是　　　　.
答案　[1,+∞)
解析　f(x)=ax+2a2-2a2+1x+2a=a−2a2-1x+2a,
∵函数f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数,
∴2a2-1>0,-2a≤-2,
即a2>12,a≥1,故a≥1.

求函数的最值(值域)
　　典例6　(1)(2020安徽六安一中高三月考)若函数f(x)=2x2+31+x2,则f(x)的值域为 (　　)
A.(-∞,3]　　　　B.(2,3)
C.(2,3]　　　　D.[3,+∞)
(2)已知函数f(x)=x+2x-3,x≥1,lg(x2+1),x<1,则f[f(-3)]=　　　　,f(x)的最小值是　　　　.
答案　(1)C　(2)0;22-3
解析　(1)∵f(x)=2x2+31+x2=2(x2+1)+11+x2=2+11+x2,且x2+1≥1⇒0<11+x2≤1⇒2<2+11+x2≤3,
∴f(x)的值域为(2,3],故选C.
(2)∵f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,
∴f[f(-3)]=f(1)=0.
当x≥1时,f(x)=x+2x−3≥22-3,当且仅当x=2时,取等号,此时f(x)min=22-3<0;
当x<1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg 1=0,当且仅当x=0时,取等号,此时f(x)min=0.
∴函数f(x)的最小值为22-3.
名师点评
求函数最值的五种常用方法
(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元将其转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.

　定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设函数M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是(　　)
A.2　　　　B.3
C.4　　　　D.6
答案　C　画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象如图,

由图可知,函数在A(2,4)处取得最小值4.

A组　基础达标

1.(2019海安校级月考)已知函数f(x)=x2-4,则函数的值域为(　　)
A.(0,+∞)　　　　B.[0,+∞)
C.(2,+∞)　　　　D.[2,+∞)
答案　B
2.(多选题)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 (　　)
A.y=|x|　　　　B.y=x+3
C.y=1x　　　　 D.y=-x2+4
答案　AB
3.函数f(x)=-x+1x在-2,-13上的最大值是 (　　)
A.32　　　　B.−83　　　　C.-2　　　　D.2
答案　A
4.(多选题)(2020山东枣庄模拟)已知函数f(x)=bx+3ax+2在区间(-2,+∞)上单调递增,则a、b的取值可以是 (　　)
A.a=1,b>32　　　　 B.0 C.a=-1,b=2　　　　D.a=12,b=1
答案　ABD　由题意知,不等式ax+2≠0对任意的x∈(-2,+∞)恒成立.
①当a=0时,f(x)=b2x+32在区间(-2,+∞)上单调递增,则b2>0,解得b>0.
②当a>0时,由ax+2≠0,可得x≠-2a,则-2a≤-2,解得0 则f(x)=bx+3ax+2=ba(ax+2)+3-2baax+2=3-2baax+2+ba,
∵函数f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增,∴3-2ba<0,∴b>3a2,
当a=1时,b>3a2=32,A选项符合题意;
当03a2恒成立,B选项符合题意;
当a=12时,b=1>3a2恒成立,D选项符合题意.
③当a<0时,-2a>0,函数f(x)在x=-2a时没有定义,C选项不符合题意.
5.(2020山东临沂高三月考)已知函数f(x)=2x+1x+1.
(1)用定义法证明f(x)在区间[1,+∞)上是增函数;
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值.
解析　(1)证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1 ∵1≤x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 故函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,
∴f(x)max=f(4)=2×4+14+1=95,f(x)min=f(2)=2×2+12+1=53.

B组　能力拔高

6.(多选题)(2020山东嘉祥一中高三月考)如果对于函数f(x)的定义域内任意的两个自变量的值x1,x2,当x1 A.f(x)=x,x≥10,-1 C.f(x)=1,x≥10,-1 答案　AC　f(x)=x,x≥1,0,-1 f(x)=1,x=-π2,sinx,-π2f(x2),故f(x)不是“不严格的增函数”,故选项B错误;
f(x)=1,x≥1,0,-1 f(x)=x,x≥1,x+1,x<1,当x1=12,x2∈1,32时,f(x1)>f(x2),故f(x)不是“不严格的增函数”,故选项D错误.
7.(多选题)(2020海南华侨中学高三模拟)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=f(x1)-f(x2)x1-x2,n=g(x1)-g(x2)x1-x2,则下列说法正确的是 (　　)
A.对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0
B.对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0
C.对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n
D.对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n
答案　AD　对于A,由指数函数的单调性可得函数f(x)在R上递增,即有m>0,则A中说法正确;
对于B,由二次函数的单调性可得函数g(x)在-∞,-a2上递减,在-a2,+∞上递增,则n>0不恒成立,则B中说法错误;
对于C,若m=n,则f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2),即g(x1)-f(x1)=g(x2)-f(x2),设h(x)=x2+ax-2x,则应有h(x1)=h(x2),
而h′(x)=2x+a-2xln 2,当a→-∞时,h′(x)小于0,函数h(x)单调递减,则C中说法错误;
对于D,若m=-n,则f(x1)-f(x2)=-[g(x1)-g(x2)],即f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2)
设p(x)=x2+ax+2x,则应有p(x1)=p(x2),而p′(x)=2x+a+2xln 2,对于任意的a,p′(x)不恒大于0或小于0,即p(x)在定义域上有增有减,则D中说法正确.
8.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=f(x)x在区间(1,+∞)上一定(　　)
A.有最小值　　　　B.有最大值
C.是减函数　　　　D.是增函数
答案　D　因为函数f(x)=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2在区间(-∞,1)上有最小值,
所以函数f(x)图象的对称轴x=a应在区间(-∞,1)内,即a<1,由题意知函数g(x)=f(x)x=x+ax-2a,
当a<0时,函数g(x)=x+ax-2a在区间(1,+∞)上为增函数,此时,g(x)min>g(1)=1-a>0;
当a=0时,g(x)=x在区间(1,+∞)上为增函数,此时,g(x)min>g(1)=1;
当01-a>0,此时g(x)min>g(1)=1-a.
综上,函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
9.设f(x)=(x-a)2,x≤0,x+1x+a,x>0.若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围是 (　　)
A.[-1,2]　　　　B.[-1,0]　　　　C.[1,2]　　　　D.[0,2]
答案　D　∵当x≤0时, f(x)=(x-a)2,且f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0;当x>0时, f(x)=x+1x+a≥2+a,当且仅当x=1时,取“=”,要满足f(0)是f(x)的最小值,只需满足2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2,∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.
10.已知函数f(x)=a-22x+1.
(1)求f(0);
(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;
(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax) 解析　(1)f(0)=a-220+1=a-1.
(2)f(x)在R上单调递增.证明如下:
∵f(x)的定义域为R,∴任取x1,x2∈R且x1 ∵y=2x在R上单调递增且x10,2x2+1>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) (3)∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,
即a-220+1=0,解得a=1.
∴f(ax) ∴x的取值范围是(-∞,2).