第四节　二次函数与幂函数学案

这是一份第四节　二次函数与幂函数学案，共15页。

第四节　二次函数与幂函数
学习要求:
1.通过具体实例,结合y=x,y=1x,y=x2,y=x,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.


　　1.二次函数
(1)二次函数的定义
形如① f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫做二次函数. 
(2)二次函数的三种表示形式
(i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);
(iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质

a>0
a<0
图象


定义域
R
R
值域
② 4ac-b24a,+∞
-∞,4ac-b24a
对称轴
x=③ -b2a
顶点
坐标
-b2a,4ac-b24a
奇偶性
b=0⇔y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数
单调性
在-∞,-b2a上是④ 减 函数;在-b2a,+∞上是增函数
在-∞,-b2a上是⑤ 增 函数;在-b2a,+∞上是减函数
最值
当x=-b2a时,
ymin=⑥ 4ac-b24a
当x=-b2a时,ymax=4ac-b24a
　　▶提醒　注意二次项系数对函数性质的影响,经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.
　　2.幂函数
(1)幂函数的定义
形如⑦ y=xα (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是⑧ 自变量 ,α为⑨ 常数 . 
(2)幂函数的性质
(i)当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:
a.图象都经过点⑩ (0,0) 、(1,1); 
b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.
(ii)当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:
a.图象都经过点 (1,1) ; 
b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.
　　(3)五种常见幂函数的图象

(4)五种常见幂函数的性质
函数特征性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x12
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,+∞)
{x|x∈R
且x≠0}
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y∈R
且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇
非偶
奇
单调性
增
x∈[0,+∞)时,增,x∈(-∞,0]时,减
增
在[0,+∞)
上增
x∈(0,+∞)时,减,
x∈(-∞,0)时,减
定点
(0,0),(1,1)
(1,1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)函数y=2x12是幂函数. (　　)
(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.(　　)
(3)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. (　　)
(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[m,n]的最值一定是4ac-b24a. (　　)
(5)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈R不可能是偶函数. (　　)
答案　(1)✕　(2)√　(3)✕　(4)✕　 (5)✕
2.(新教材人教A版必修第一册P91T1改编)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点12,22,则k+α=(　　)
A.12　　　　B.1 C.32　　　　D.2
答案　C
3.(新教材人教A版必修第一册P91T2改编)1212与1313的大小关系是　　　　　　. 
答案　1313<1212
4.若f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间-∞,12上为减函数,则a的取值范围是　　　　. 
答案　[0,1]
5.若不等式ax2-x+a>0对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 
答案　12,+∞

幂函数的图象和性质
1.(多选题)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(2,8),下列说法正确的是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.函数y=xα的图象过原点　　　　B.函数y=xα是偶函数
C.函数y=xα是单调减函数　　　　D.函数y=xα的值域为R
答案　AD　因为幂函数y=xα的图象过点(2,8),所以2α=8,解得α=3,所以y=x3.函数y=x3的图象过原点,所以A选项中说法正确;函数y=x3是奇函数,所以B选项中说法错误;函数y=x3在R上递增,所以C选项中说法错误;函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确.
2.已知幂函数y=xpq(p,q∈N*,q>1且p,q互质)的图象如图所示,则 (　　)

A.p,q均为奇数,且pq>1
B.q为偶数,p为奇数,且pq>1
C.q为奇数,p为偶数,且pq>1
D.q为奇数,p为偶数,且0 答案　D　由幂函数的图象关于y轴对称,可知该函数为偶函数,所以p为偶数,则q为奇数.因为幂函数y=xpq的图象在第一象限内向上凸起,且在(0,+∞)上单调递增,所以0 3.函数y=x-23的大致图象是 (　　)

答案　B　由幂函数的性质可知,函数y=x-23的图象在(0,+∞)上单调递减,故A、C错误;令f(x)=x-23=1x213,
所以x∈(-∞,0)∪(0,+∞).因为f(-x)=1(-x)213=1x213=f(x),
所以函数y=x-23为偶函数,故D错误.故选B.
4.若a=1223,b=1523,c=1213,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a C.b 答案　D　因为y=x23在第一象限内是增函数,所以a=1223>b=1532,因为y=12x是减函数,所以a=1223 名师点评
(1)对于幂函数图象的掌握只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
求二次函数的解析式
　　典例1　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.
解析　解法一:(利用“一般式”解题)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,
解得a=-4,b=4,c=7.
所以二次函数f(x)=-4x2+4x+7.
解法二:(利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1),所以抛物线的图象的对称轴为x=2+(-1)2=12,
所以m=12.
又函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=ax-122+8.
因为f(2)=-1,
所以a2-122+8=-1,解得a=-4,
所以f(x)=-4x-122+8=-4x2+4x+7.
名师点评
求二次函数的解析式,一般用待定系数法求解,其关键是根据已知条件恰当地选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:


　已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　. 
答案　f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-22x+3
解析　易知g(x)=-x2-3是二次函数,且为偶函数.设函数f(x)的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3.
因为f(x)+g(x)是奇函数,所以a-1=0,c-3=0,解得a=1,c=3,
故f(x)=x2+bx+3,函数f(x)图象的对称轴方程为x=-b2,
当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,
则-b2<-1,f(-1)=1或-1≤-b2≤2,f-b2=1或-b2>2,f(2)=1.
解得b=3或b=-22或b=-3(舍去),
故函数的关系式f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-22x+3.
二次函数的图象和性质
角度一　二次函数图象的识别
　　典例2　一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是 (　　)

答案　C　观察A中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,故A错误;
观察B中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a>0,b>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x=-b2a<0,故B错误;观察C中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,对称轴x=-b2a<0,故C正确;
观察D中图象,由一次函数y=ax+b的图象可得a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下,故D错误.
角度二　二次函数的单调性问题
典例3　已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)求使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数的实数a的取值范围;
(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
解析　(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a2=-a,
要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.
故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).
(2)当a=-1时, f(|x|)=x2-2|x|+3
=x2+2x+3=(x+1)2+2,-4≤x≤0,x2-2x+3=(x-1)2+2,0 画出f(|x|)的图象(图略).
所以f(|x|)的单调递减区间是[-4,-1)和(0,1),单调递增区间是[-1,0]和[1,6].
角度三　二次函数的最值问题
典例4　已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.
解析　(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3=x+322−214,
又x∈[-2,3],所以f(x)min=f-32=−214,f(x)max=f(3)=15,所以函数f(x)的值域为-214,15.
(2)易知函数图象的对称轴方程为x=-2a-12.
①当-2a-12≤1,即a≥-12时,f(x)max=f(3)=6a+3,
所以6a+3=1,即a=-13满足题意;
②当-2a-12>1,即a<-12时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,
所以-2a-1=1,即a=-1满足题意.
综上,a的值为-13或-1.
名师点评
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析.“三点”中有一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.
(2)二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合.三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,利用函数的单调性及分类讨论的思想求解.

　设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.
解析　由f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,可知函数图象的对称轴为直线x=1.
当t+1<1,即t<0时,函数图象如图(1)所示,因为函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以函数f(x)的最小值为f(t+1)=t2+1;

当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图(2)所示,故函数在x=1处取得最小值,且最小值为f(1)=1;

当t>1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以函数f(x)的最小值为f(t)=t2-2t+2.

综上可知, f(x)min=t2+1,t<0,1,0≤t≤1,t2-2t+2,t>1.


A组　基础达标

1.设α∈-1,1,12,3,则使函数y=xα的定义域为R的所有α的值为 (　　)
A.1,3　　　　 B.-1,1
C.-1,3　　　　D.-1,1,3
答案　A
2.(2020哈尔滨模拟)函数y=-x2+x+2的值域为 (　　)
A.R　　　　 B.[0,+∞)
C.-∞,32　　　　D.0,32
答案　D
3.如图,函数y=1x的图象和直线x=1、y=x、y=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)的解析式可能是(　　)

A.y=x2　　　　B.y=1x　　　　C.y=x12　　　　D.y=x-2
答案　B
4.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有 (　　)
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若0 答案　ACD　将点(4,2)代入函数f(x)=xα,得2=4α,则α=12,所以f(x)=x12.
显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;
f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;
当x>1时,x>1,即f(x)>1,所以C正确;
当0 =x1+x222−x1+x222
=x1+x2+2x1x24−x1+x22=2x1x2-x1-x24
=-(x1-x2)24<0,
即f(x1)+f(x2)2 5.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm3-1是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,a+b<0,则f(a)+f(b)的值 (　　)
A.恒大于0　　　　B.恒小于0
C.等于0　　　　D.无法判断
答案　B　因为函数f(x)=(m2-m-1)xm3-1是幂函数,所以m2-m-1=1⇒m=2或m=-1,
又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,故m=2,所以f(x)=x7,又f(-x)=-f(x),所以f(x)是定义域为R的单调递增的奇函数,
由a+b<0,得a<-b,所以f(a) 6.已知函数f(x)为幂函数,且f(4)=12,则当f(a)=4f(a+3)时,实数a等于　　　　. 
答案　15
7.若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围是　　　　. 
答案　[2,+∞)
解析　由题意可知a>0,且Δ=1-4ab=0,故4ab=1,所以b>0.
a+4b≥24ab=2,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立.
所以a+4b的取值范围是[2,+∞).
8.已知f(x)=x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,4).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对于任意的x∈[-1,3],不等式f(x)-t≤2恒成立,求t的取值范围.
解析　(1)由题意可知0和4是方程x2+bx+c=0的两根,即有0+4=-b,0×4=c,解得b=-4,c=0,
所以f(x)=x2-4x.
(2)对于任意的x∈[-1,3],不等式f(x)-t≤2恒成立,
即2+t≥f(x)在[-1,3]上恒成立,
由f(x)图象的对称轴为直线x=2,f(-1)=1+4=5,f(3)=9-12=-3,
可得f(x)在[-1,3]上的最大值为5,
即2+t≥5,解得t≥3,
故t的取值范围是[3,+∞).

B组　能力拔高

9.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1)　　　　B.(-1,2]
C.[-1,2]　　　　 D.[2,5]
答案　C　易知二次函数f(x)=-x2+4x的图象是开口向下的抛物线.f(x)的最大值为4,且在x=2时取得,当x=5或-1时,f(x)=-5.作出函数f(x)的图象,如图所示,

结合函数f(x)的图象可知m的取值范围是[-1,2].
10.(多选题)已知实数a,b满足等式a12=b13,则下列关系式中可能成立的是 (　　)
A.0 C.1 答案　ACD　画出y=x12与y=x13的图象(如图),设a12=b13=m,作出直线y=m.
从图象知,若m=0或m=1,
则a=b;若01,则1 故其中可能成立的是ACD.

11. (多选题)(2020山东日照模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点
A(-3,0),且对称轴为直线x=-1,则以下选项正确的为 (　　)

A.b2>4ac　　　　B.2a-b=1 C.a-b+c=0　　　　D.5a 答案　AD　∵二次函数的图象与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确;
∵对称轴为直线x=-b2a=-1,
∴b=2a,即2a-b=0,故B错误;
由图象可知,当x=-1时,y>0,
即a-b+c>0,故C错误;
把x=1,x=-3代入解析式可得a+b+c=0,9a-3b+c=0,
两式相加整理可得5a-b=-c,
又当x=0时,y=c>0,则5a-b<0,故D正确.
故选AD.
12.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),若存在非零实数t,使f(t)+f1t=-2,则a2+4b2的最小值为(　　)
A.165　　　　B.145　　　　C.16　　　　D.4
答案　A　由题意可得t+1t2+at+1t+2b=0,
又a2+4b2的几何意义为坐标原点与点(a,2b)的距离的平方,
令u=t+1t,t≠0,则u2≥4.故t+1t2+at+1t+2b=0即为ua+2b+u2=0,
其表示动点(a,2b)的轨迹,设动点的轨迹为直线l,
则原点与点(a,2b)的距离的最小值为原点到直线l的距离,
故a2+4b2≥u2u2+12≥165.
13.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象恒在直线y=2x+m的上方,求实数m的取值范围.
解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则由f(x+1)-f(x)=2x得2ax+a+b=2x.
所以2a=2且a+b=0,解得a=1,b=-1,
又f(0)=1,所以c=1,
因此f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.
(2)因为当x∈[-1,1]时,y=f(x)的图象恒在直线y=2x+m的上方,
所以对于任意的x∈[-1,1],x2-x+1>2x+m恒成立,
即x2-3x+1>m在区间[-1,1]上恒成立.
令g(x)=x2-3x+1,
因为g(x)在[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,
所以m<-1.
故实数m的取值范围是(-∞,-1).

C组　思维拓展

14.已知函数f(x)=x12,0≤x≤c,x2+x,-2≤x<0,其中c>0,则f(x)的零点是　　　　;若f(x)的值域是-14,2,则c的取值范围是　　　　. 
答案　-1和0;(0,4]
解析　当0≤x≤c时,由x12=0,解得x=0;当-2≤x<0时,由x2+x=0,解得x=-1,所以函数f(x)的零点为-1和0.
当0≤x≤c时,f(x)=x12,所以0≤f(x)≤c;当-2≤x<0时, f(x)=x2+x=x+122−14,所以-14≤f(x)≤2.若f(x)的值域是-14,2,则c≤2,即0