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    2019届二轮复习函数的奇偶性与周期性学案(全国通用)
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    2019届二轮复习函数的奇偶性与周期性学案(全国通用)

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    1.判断函数的奇偶性;
    2.利用函数的奇偶性求参数;
    3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用.

    一、函数的奇偶性
    奇偶性
    定 义
    图象特点
    偶函数
    如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
    关于y轴对称
    奇函数
    如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
    关于原点对称

    二、周期性
    1.周期函数
    对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
    2.最小正周期
    如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
    三、必会结论
    1.函数奇偶性的四个重要结论
    (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
    (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
    (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
    (4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
    2.周期性的三个常用结论
    对f(x)定义域内任一自变量的值x:
    (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
    (2)若f(x+a)=,则T=2a;
    (3)若f(x+a)=-,则T=2a.(a>0)
    3.对称性的三个常用结论
    (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
    (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
    (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.

    高频考点一 判断函数的奇偶性
    例1、判断下列函数的奇偶性:
    (1)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];
    (2)f(x)=log2(x+);
    (3)f(x)=
    (3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-x=f(x);
    当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.
    【变式探究】判断下列函数的奇偶性:
    (1)f(x)=+;
    (2)f(x)=;
    (3)f(x)=
    解 (1)由得x2=3,解得x=±,
    即函数f(x)的定义域为{-,},
    从而f(x)=+=0.
    因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),
    ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
    (2)由得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.
    ∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=.
    又∵f(-x)==-=-f(x),
    ∴函数f(x)为奇函数.
    (3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
    ∵当x<0时,-x>0,
    则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);
    当x>0时,-x<0,
    则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);
    综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.
    【方法规律】判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
    (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
    (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.
    在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
    【变式探究】 (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(  )
    A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x
    C.y=2x+ D.y=x2+sin x
    (2)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(  )
    A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
    C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
    解析 (1)对于A,定义域为R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),为奇函数;对于B,定义域为R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),为偶函数;对于C,定义域为R,f(-x)=2-x+=2x+=f(x),为偶函数;y=x2+sin x既不是偶函数也不是奇函数,故选D.
    (2)依题意得对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)·g(x)],f(x)g(x)是奇函数,A错;|f(-x)|·g(-x)=|-f(x)|·g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B错;f (-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-[f(x)|g(x)|],f(x)|g(x)|是奇函数,C正确;
    |f(-x)·g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D错.
    答案 (1)D (2)C
    高频考点二 函数奇偶性的应用
    命题角度1 利用奇偶性求函数值
    例1、已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于(  )
    A.-26 B.-18 C.-10 D.10
    答案 A
    解析 解法一:令g(x)=x5+ax3+bx,易知g(x)是R上的奇函数,从而g(-2)=-g(2),又f(x)=g(x)-8,
    ∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,
    ∴g(2)=-g(-2)=-18.
    ∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
    解法二:由已知条件,得

    ①+②得f(2)+f(-2)=-16.又f(-2)=10,
    ∴f(2)=-26.
    命题角度2 利用奇偶性求参数值
    例2、若函数f(x)=xln (x+)为偶函数,则a= .
    答案 1
    解析 解法一:由题意得f(x)=xln (x+)=f(-x)=-xln(-x),所以+x=,解得a=1.
    解法二:由f(x)为偶函数有ln (x+)为奇函数,令g(x)=ln (x+),有g(-x)=-g(x),以下同解法一.
    命题角度3 利用奇偶性求解析式
    例3、f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)的解析式.

    命题角度4 利用奇偶性的图象特征解不等式
    例4、已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是(  )
    A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)
    C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
    答案 C

    解析 ∵f(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2 【方法技巧】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
    (1)求函数值
    将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
    (2)求解析式
    将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.
    (3)求函数解析式中参数的值
    利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.学——
    (4)画函数图象和判断单调性
    利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
    高频考点三 函数的周期性
    例3、(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)等于 .
    (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)= .
    答案 (1)337 (2)2.5
    解析 (1)∵f(x+6)=f(x),∴T=6.
    ∵当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;
    当-1≤x<3时,f(x)=x,
    ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,
    f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,
    f(6)=f(0)=0,
    ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,
    ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)+f(2016)
    =1×=336.
    又f(2017)=f(1)=1.
    ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=337.
    (2)由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]
    =-=-=f(x).
    故函数的周期为4.
    ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).
    ∵2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5.
    ∴f(105.5)=2.5.
    【感悟提升】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值.
    (2)函数周期性的三个常用结论:
    ①若f(x+a)=-f(x),则T=2a,
    ②若f(x+a)=,则T=2a,
    ③若f(x+a)=-,则T=2a (a>0).
    【变式探究】 设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x<π时,f(x)=0,则f= .

    高频考点四 函数性质的综合应用
    例4、(1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于(  )
    A.-3 B.-1 C.1 D.3
    (2)(若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .
    解析 (1)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.
    (2)f(x)为偶函数,则ln(x+)为奇函数,
    所以ln(x+)+ln(-x+)=0,
    则ln(a+x2-x2)=0,∴a=1.
    答案 (1)C (2)1
    【方法规律】(1)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)±f(x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.
    (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住在已知区间上的解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式或函数值.
    【变式探究】(1)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为(  )
    A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞)
    (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,则f(x)= .
    解析 (1)易知f(-x)==,
    由f(-x)=-f(x),得=-,
    即1-a2x=-2x+a,化简得a(1+2x)=1+2x,所以a=1,
    f(x)=,由f(x)>3,得0 (2)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.
    又当x<0时,-x>0,∴f(-x)=x2+4x.
    又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
    则f(x)=-x2-4x(x<0),
    ∴f(x)=
    答案 (1)C (2)
    高频考点五 函数的周期性及其应用
    例5、 若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,
    ∴f(0)=0,
    又f(x)在R上的周期为2,
    ∴f(2)=f(0)=0.
    又f=f=-f=-4=-2,
    ∴f+f(2)=-2.
    答案 -2
    【方法规律】(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间.
    (2)若f(x+a)=-f(x)(a是常数,且a≠0),则2a为函数f(x)的一个周期.
    【变式探究】 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)= .

    高频考点六 函数奇偶性与周期性的综合问题
    例6、(1)[2017·山东高考]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)= .
    答案 6
    解析 ∵f(x+4)=f(x-2),
    ∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x),
    ∴f(x)是周期为6的周期函数,
    ∴f(919)=f(153×6+1)=f(1).
    又f(x)是定义在R上的偶函数,
    ∴f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.
    (2)奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,则f(2018)+f(2019)+f(2020)的值为 .
    答案 -1
    解析 函数f(x)是奇函数,则f(0)=0,由f(x)=2x-x2,x∈[0,2]知f(1)=1,f(2)=0,又f(x)的周期为4,所以f(2018)+f(2019)+f(2020)=f(2)+f(3)+f(0)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.
    【方法技巧】奇偶性与周期性综合问题的解题策略
    函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.


    【变式训探究】 已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)= .
    答案 2.5
    解析 由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=
    -=-=f(x),故函数f(x)的周期为4.
    ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).
    ∵2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5.
    高频考点七 利用函数的奇偶性解抽象不等式
    例7、已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是 .
    解析 ∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,
    ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-)=f(),
    ∴原不等式可化为f(2|a-1|)>f().
    故有2|a-1|<,即|a-1|<,解得 答案 
    【方法技巧】解与函数有关的不等式问题,常利用奇函数在对称单调区间上有相同的单调性,偶函数在对称单调区间上有相反的单调性,利用题目已知条件,转化为不等式问题来求解,而解有关抽象函数不等式问题,也是充分利用函数的奇偶性和单调性求解.
    【变式探究】若f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=(  )
    A.{x|-22}
    B.{x|04}
    C.{x|x<0或2 D.{x|x<-2或x>2}
    答案 B
    解析 当x=2时,有f(2)=0,又因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图象,由图象可知,当-22,即04时,有f(x-2)>0.故选B.


    1. (2018年全国Ⅱ卷理数)已知是定义域为的奇函数,满足.若,则
    A. B. 0 C. 2 D. 50
    【答案】C
    【解析】因为是定义域为的奇函数,且,
    所以,
    因此,
    因为,所以,
    ,从而,选C.
    1.[2017·北京高考]已知函数f(x)=3x-x,则f(x)(  )
    A.是奇函数,且在R上是增函数
    B.是偶函数,且在R上是增函数
    C.是奇函数,且在R上是减函数
    D.是偶函数,且在R上是减函数
    答案 A

    2、[2017·山东高考]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)= .
    答案 6
    解析 ∵f(x+4)=f(x-2),
    ∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x),
    ∴f(x)是周期为6的周期函数,
    ∴f(919)=f(153×6+1)=f(1).
    又f(x)是定义在R上的偶函数,
    ∴f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.
    3.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= .
    答案 12
    解析 令x>0,则-x<0.
    ∴f(-x)=-2x3+x2.
    ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
    ∴f(-x)=-f(x).
    ∴f(x)=2x3-x2(x>0).
    ∴f(2)=2×23-22=12.
    f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.
    1.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,,则= .
    【答案】-2
    【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数,所以
    ,所以,即,,所以.
    2.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, ;当 时,;当 时, .则f(6)= ( ) 学, , ]
    (A)−2 (B)−1 (C)0 (D)2
    【答案】D
    【解析】当时,,所以当时,函数是周期为 的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D.
    【2015高考福建,理2】下列函数为奇函数的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】函数是非奇非偶函数;和是偶函数;是奇函数,故选D.
    【2015高考广东,理3】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】.
    【解析】记,则,,那么,,所以既不是奇函数也不是偶函数,依题可知、、依次是奇函数、偶函数、偶函数,故选.
    【2015高考安徽,理2】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
    (A) (B) (C) (D)
    【答案】A
    【解析】由选项可知,项均不是偶函数,故排除,项是偶函数,但项与轴没有交点,即项的函数不存在零点,故选A.
    【2015高考新课标1,理13】若函数f(x)=为偶函数,则a=
    【答案】1
    【解析】由题知是奇函数,所以 =,解得=1.
    (2014·福建卷) 已知函数f(x)=则下列结论正确的是(  )
    A.f(x)是偶函数
    B.f(x)是增函数
    C.f(x)是周期函数
    D.f(x)的值域为[-1,+∞)
    【答案】D 

    (2014·湖南卷)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=(  )
    A.-3 B.-1 C.1 D.3
    【答案】C 
    【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
    所以f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.
    (2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(  )
    A.f(x)g(x)是偶函数
    B.|f(x)|g(x)是奇函数
    C.f(x)|g(x)|是奇函数
    D.|f(x)g(x)|是奇函数
    【答案】C 
    【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.
    (2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是 .
    【答案】(-1,3) 
    【解析】根据偶函数的性质,易知f(x)>0的解集为(-2,2),若f(x-1)>0,则-2 (2013·广东卷)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2 sin x中,奇函数的个数是(  )
    A.4 B.3 C.2 D.1
    【答案】C 
    【解析】函数y=x3,y=2sin x是奇函数.
    (2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为 .
    【答案】(-5,0)∪(5,+∞) 
    【解析】设x<0,则-x>0.因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(x2+4x).
    又f(0)=0,于是不等式f(x)>x等价于

    解得x>5或-5 故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).
    (2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=(  )
    A.-2 B.0 C.1 D.2
    【答案】A 
    【解析】∵f为奇函数,∴f=-f(1)=-=-2.
    (2013·四川卷) 已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是 .学 !
    【答案】(-7,3) 


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