第一节　函数的概念及其表示学案

这是一份第一节　函数的概念及其表示学案，共16页。学案主要包含了易错点分析等内容，欢迎下载使用。

第二章　函数
第一节　函数的概念及其表示
学习要求:
1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.



　　1.函数的有关概念
函数的定义
设A,B是非空的① 实数集 ,如果对于集合A中② 任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有③ 唯一确定 的数y和它对应,那么就称f:④ A→B 为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
⑤ y=f(x) ,x∈A
定义域
x叫做自变量,x的⑥ 取值范围A 叫做函数的定义域
值域
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
　　▶提醒　判断两个函数是否相同,要抓住以下两点:①定义域是否相同;②对应关系是否相同,当解析式可以化简时,要注意化简过程的等价性.
2.同一个函数的概念
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有⑦ 解析法 、图象法和列表法. 

4.分段函数
在函数的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的⑧ 对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. 
▶提醒　一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义区间端点应不重不漏.
知识拓展
　　1.常见的函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.
(5)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(6)y=tan x的定义域为xx∈R且x≠kπ+π2,k∈Z.
(7)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
2.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为4ac-b24a,+∞,当a<0时,值域为-∞,4ac-b24a.
(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点.(　　)
(2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一个函数. (　　)
(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.(　　)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的. (　　)
(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集. (　　)
答案　(1)✕　(2)√　(3)✕　(4)✕　(5)√
2.(新教材人教A版必修第一册P73T11改编)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是 (　　)

答案　B
3.(新教材人教A版必修第一册P67T3改编)下列函数中,与函数y=x+1是同一个函数的是(　　)
A.y=(x+1)2　　　　
B.y=3x3+1
C.y=x2x+1　　　　
D.y=x2+1
答案　B
4.(新教材人教A版必修第一册P72T1改编)函数f(x)=2x-1+1x-2的定义域为 (　　)
A.[0,2)　　　　
B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞)　　　　
D.(-∞,2)∪(2,+∞)
答案　C
5.(易错题)已知f(x)=x-1,则f(x)=　　　　. 
答案　x2-1(x≥0)
【易错点分析】　解答本题容易出现的错误是在应用换元法求函数的解析式时,忽视自变量的取值范围.

求函数的定义域
1.(2020四川树德中学高三二模)函数f(x)=12-x+ln(x+1)的定义域是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.(2,+∞)　　　　B.(-1,2)∪(2,+∞)
C.(-1,2)　　　　D.(-1,2]
答案　C　函数的定义域应满足2-x>0,1+x>0,解得-1 ∴f(x)的定义域为(-1,2).
2.函数f(x)=lnx·lgx+22-x的定义域是 (　　)
A.[1,2]　　　　B.[2,+∞)
C.[1,2)　　　　D.(1,2]
答案　C　根据函数f(x)的解析式,有(x+2)(2-x)>0,x>0,lnx≥0,解得1≤x<2,所以函数f(x)的定义域为[1,2),故选C.
3.(2020广东普宁华美实验学校高三开学考试)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=f(2x-1)ln(1-x)的定义域是 (　　)
A.[0,1]　　　　B.(0,1)
C.[0,1)　　　　D.(0,1]
答案　B　由题意可知函数f(x)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1,令-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1,又由g(x)满足1-x>0且1-x≠1,解得x<1且x≠0,所以函数g(x)的定义域为(0,1),故选B.
4.(2020河北邯郸模拟)函数f(x)=1-|x-1|ax-1(a>0且a≠1)的定义域为　　　　. 
答案　(0,2]
解析　由1-|x-1|≥0,ax-1≠0,解得0 名师点评
(1)求给定解析式的函数定义域的方法:
求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组求解,对于实际问题,定义域应使实际问题有意义.
(2)求抽象函数定义域的方法:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
②若已知函数f [g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
求函数的解析式
　　典例1　(1)已知f(x+1)=x-2x,则f(x)=　　　　　; 
(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)=　　　　　　; 
(3)已知函数f(x)满足对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)=　　　　. 
答案　(1)x2-4x+3(x≥1)
(2)2x+83或-2x-8　(3)23x-1
解析　(1)令t=x+1,则t≥1,x=(t-1)2,
代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3(t≥1),所以f(x)=x2-4x+3(x≥1).
(2)设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b,
又f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8,
即a2=4,ab+b=8,解得a=2,b=83或a=-2,b=-8,
所以f(x)=2x+83或(x)=-2x-8.
(3)在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x,
联立可得f(x)-2f(-x)=1+2x,f(-x)-2f(x)=1-2x,消去f(-x)可得f(x)=23x-1.

名师点评
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法:若已知函数的类型,则可用待定系数法.
(2)换元法:若已知复合函数f[g(x)]的解析式,则可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法:若已知关于f(x)与f1x或f(-x)的表达式,则可根据已知条件构造出另外一个等式,通过解方程组求出f(x).

1.(2020安徽蚌埠高三三模)已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(3)=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1　　　　B.3
C.5　　　　D.7
答案　D　设f(x)=ax+b,a≠0,
则f[f(x)-2x]=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=(a2-2a)x+ab+b,
因为f[f(x)-2x]=3恒成立,所以a2-2a=0且ab+b=3,解得a=2,b=1,
所以f(x)=2x+1,所以f(3)=7.
2.(2020广东濠江金山中学高三月考)已知f1-x1+x=1-x21+x2,则f(x)= (　　)
A.2x1+x2　　　　B.−2x1+x2
C.x1+x2　　　　D.−x1+x2
答案　A　令t=1-x1+x,得x=1-t1+t,
∴f(t)=1-1-t1+t21+1-t1+t2=2t1+t2,
∴f(x)=2x1+x2,故选A.



分段函数
角度一　分段函数求值
　　典例2　已知函数f(x)=log2x,x>0,3x,x≤0,则ff14的值是 (　　)
A.9　　　　B.-9　　　　C.19　　　　D.−19
答案　C　∵14>0,
∴f14=log214=-2,
又∵-2<0,
∴ff14=f(-2)=3-2=19.
角度二　根据分段函数求参数的值
　　典例3　已知f(x)=2x-2,x≥0,-x2+3,x<0,若f(a)=2,则a的取值为(　　)
A.-1或2　　　　B.±1或2
C.-1　　　　 D.2
答案　A　∵f(a)=2,
∴当a≥0时,2a-2=2,解得a=2;当a<0时,-a2+3=2,解得a=-1.
综上,a的取值为-1或2.
角度三　根据分段函数解不等式
　　典例4　(2020甘肃武威第六中学高三模拟)设函数f(x)=log2(x+1),x≥0,-x,x<0,则满足f(x+1)<2的x的取值范围是 (　　)
A.(-4,3)　　　　
B.(-5,2)
C.(-3,4)　　　　
D.(-∞,-3)∪(4,+∞)
答案　B　因为f(x)=log2(x+1),x≥0,-x,x<0,
所以f(x+1)=log2(x+2),x≥-1,-(x+1),x<-1.
当x≥-1时,f(x+1)<2即log2(x+2)<2,解得x<2,所以-1≤x<2;当x<-1时,f(x+1)<2即-(x+1)<2,解得x>-5,所以-5 名师点评
(1)分段函数的求值问题的解题思路:
①求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值;
②求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路:
依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.

1.(2020河北邢台高三模拟)已知f(x)=-lgx,x>0,ax+b,x≤0,且f(0)=3,f(-1)=4,则f(f(-3))=(　　)
A.-1　　　　B.-lg 3
C.0　　　　 D.1
答案　A　由f(x)=-lgx,x>0,ax+b,x≤0,且f(0)=3,f(-1)=4,
得a0+b=1+b=3,a-1+b=4,解得a=12,b=2,
则f(-3)=12-3+2=10,
则f(f(-3))=f(10)=-lg 10=-1.
2.设函数f(x)=3x-b,x<1,2x,x≥1.若ff56=4,则b= (　　)
A.1　　　　B.78　　　　C.34　　　　D.12
答案　D　f56=3×56−b=52 -b,
若52-b<1,即b>32,则ff56=f52-b=352-b-b=4,解得b=78,不符合题意,舍去.若52 -b≥1,即b≤32,则252-b=4,解得b=12.
3.已知函数f(x)=log13x,x>0,2x,x≤0,若f(a)>12,则实数a的取值范围是　　　　. 
答案　-1,33
解析　当a≤0时,由2a>12,解得-1 当a>0时,由log13a>12,解得0 综上,a的取值范围是-1,33.

数学抽象——函数中的新定义问题

　　1.具有f 1x=-f(x)性质的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数:
①f(x)=x-1x;②f(x)=ln1-x1+x;③f(x)=x,01.
其中满足“倒负”变换的函数是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A.①②　　　　B.①③
C.②③　　　　D.①
答案　B　对于①, f(x)=x-1x,f 1x=1x-x=-f(x),满足“倒负”变换;
对于②,f(x)=ln1-x1+x,f 1x=lnx-1x+1≠-f(x),不满足“倒负”变换;
对于③,f1x=1x,0<1x<1,0,1x=1,-x,1x>1
=1x,x>1,0,x=1,-x,0 所以满足“倒负”变换的函数是①③.
2.设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的值只能是 (　　)
A.3　　　　B.32
C.33　　　　D.0
答案　B　设f(1)处的点为A1,若f(x)的图象逆时针旋转π6后与原图象重合,则旋转后的A1的对应点A2也在f(x)的图象上,同理A2的对应点A3也在f(x)的图象上,以此类推.
则f(x)对应的图象可以为一个圆周上的12等分的12个点.
当f(x)的取值为3时,
在同一个x处可能同时存在2个f(x)值,如A1和A9,不符合函数的定义,故A项错误.
同理,当f(x)=33和0时亦不符合函数的定义.故C,D项错误.
故f(1)的值只能是32.



　　(1)所谓“新定义”,是高中教材中不曾出现过的新概念、新符号、新运算等.新定义问题要求学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.一般要充分理解“新定义”,把“新定义”与已掌握的知识相结合去解决问题.考查学生对新概念的理解,充分体现了数学抽象的核心素养.
(2)“新定义”试题,题型新颖,信息丰富,以能力立意,集应用性、探索性和开放性于一体,问题背景公平公正,考试信度高,越来越受命题人的重视.

　《数学统综》中有如下记载:“有凹线,取三数,小小大,存三角.”意思是:“在凹(或凸)函数(函数值为正)图象上取三个点,若在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数,则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形.”现已知凹函数f(x)=x2-2x+2,在13,m2-m+2上取三个不同的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c)),若存在以f(a),f(b),f(c)为三边长的三角形,则实数m的取值范围为　　　　. 
答案　[0,1]
解析　易知m2-m+2>1,
∴f(x)=x2-2x+2在13,m2-m+2上的最小值为f(1)=1.
令f(x)=x2-2x+2=2,解得x=0或x=2,
∴m2-m+2≤2,
∴0≤m≤1.


A组　基础达标

1.下列各组函数中,表示同一个函数的是 (　　)
A.f(x)=eln x,g(x)=x
B.f(x)=x2-4x+2,g(x)=x-2
C.f(x)=sin2x2cosx,g(x)=sin x
D.f(x)=|x|,g(x)=x2
答案　D
2.如图所示的是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是 (　　)


答案　D
3.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　　)
A.y=x　　　　 B.y=lg x C.y=2x　　　　D.y=1x
答案　D
4.(多选题)下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是 (　　)
A. f(x)=|x|　　　　B. f(x)=x-|x|
C. f(x)=x+1　　　　D. f(x)=-x
答案　ABD
5.(2020天津南开中学高三月考)设函数f(x)=1+log2(2-x),x<1,2x-1,x≥1,则f(-2)+f(log212)= (　　)
A.3　　　　B.6　　　　C.9　　　　D.12
答案　C
6.(2020天津南开中学高三月考)函数f(x)=4-|x|+lgx2-5x+6x-3的定义域为 (　　)
A.(2,3)　　　　B.(2,4]
C.(2,3)∪(3,4]　　　　D.(-1,3)∪(3,6]
答案　C
7.(2020陕西吴起高级中学高三月考)若函数f(x)的定义域是[0,2],则函数f(x+1)+f(2x-1)的定义域是 (　　)
A.[-1,1]　　　　B.12,1
C.12,32　　　　D.0,12
答案　B
8.(2020江西南昌二模)已知函数f(x)是单调函数,且对任意x∈(0,+∞),都有f f(x)+2x=-1,则f(1)= (　　)
A.-4　　　　B.-3
C.-1　　　　D.0
答案　C　设f(x)+2x=k(k是一个常数),
∵ff(x)+2x=f(k)=-1,f(x)=k-2x,
∴f(k)=k-2k=-1,
∵x∈(0,+∞),
∴k=1,∴f(x)=1-2x,
∴f(1)=1-21=-1.
9.(2020山东潍坊一模)函数f(x)=x+1,-1 A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
答案　D　由题意可知,函数f(x)的定义域是(-1,+∞),所以a>0.
当0 当a≥1时, f(a)=f(a-1)即2a=2(a-1),无解.
综上, f1a=8.
10.下列四个结论中,正确命题的序号是　　　　. 
①f(x)=|x|x与g(x)=1,x≥0,-1,x<0表示同一个函数;
②函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;
③f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数;
④若f(x)=|x-1|-|x|,则ff12=0.
答案　②③
解析　对于①,因为函数f(x)=|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=1,x≥0,-1,x<0的定义域是R,所以二者不是同一个函数;对于②,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,则由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于③, f(x)与g(t)的定义域和对应关系分别对应相同,所以f(x)与g(t)表示同一个函数;对于④,因为f12=12-1−12=0,所以ff12=f(0)=1.

B组　能力拔高

11.(2020河南郑州模拟)设函数f(x)=-x+λ,x<1(λ∈R),2x,x≥1,若对任意的a∈R都有f[f(a)]=2f(a)成立,则λ的取值范围是 (　　)
A.(0,2]　　　　 B.[0,2]
C.[2,+∞)　　　　D.(-∞,2)
答案　C　当a≥1时,2a≥2,∴f [f(a)]=f(2a)=22a=2f(a),∴λ∈R;
当a<1时,f [f(a)]=f(-a+λ)=2f(a)=2λ-a,
∴λ-a≥1,即λ≥a+1,
∴λ≥(a+1)max,∴λ≥2.
综上,λ的取值范围是[2,+∞).
12.(多选题)已知定义域内的函数f(x)满足f(f(x))-x>0恒成立,则f(x)的解析式不可能是 (　　)
A.f(x)=2 019x　　　　B.f(x)=ex
C.f(x)=x2　　　　D.f(x)=lg1+x2
答案　ACD　对于A,f(f(x))=f2 019x=x(x≠0)恒成立,所以f(f(x))-x>0不恒成立,A正确;
对于B,因为ex>x,所以eex>ex>x,所以f(f(x))=eex>x恒成立,B错误;
对于C, f(f(x))=x4=x,此方程有x=0和x=1两个根,所以f(f(x))-x>0不恒成立,C正确;
对于D,仅当x=0时, f(f(x))=x成立,所以f(f(x))-x>0不恒成立,D正确.
13.(2020甘肃武威高三期末)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名了“高斯函数”.其定义为“设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数”,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知函数f(x)=ex1+ex−12,则函数y=[f(x)]的值域是　　　　. 
答案　{-1,0}
解析　依题意, f(x)=ex+1-11+ex−12=12−11+ex,由于1+ex>1,故-12<12−11+ex<12,即f(x)的值域为-12,12,所以函数y=[f(x)]的值域是{-1,0}.
14.已知函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(1+x)+f(1-x)=4成立,则f18+f28+f38+…+f158=　　　　. 
答案　30
解析　由f(1+x)+f(1-x)=4,
得f18+f158=4, f28+f148=4,……, f78+f98=4,
又f88=2,∴f18+f28+f38+…+f158=4×7+2=30.

C组　思维拓展

15.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则12 018+22 018+…+2 0182 018= (　　)
A.2 017　　　　B.2 0172
C.1 008　　　　D.2 016
答案　B　由题意知,12 018=12 018,22 018=22 018,……,2 0172 018=2 0172 018,2 0182 018=0,
所以原式=12 018+22 018+…+2 0172 018=2 0172.
16.若函数f(x)满足在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数:
①f(x)=1x;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2).
其中是“1的饱和函数”的所有序号为 (　　)
A.①③　　　　B.②
C.①②　　　　D.③
答案　B　对于①,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则1x0+1=1x0+1,所以x02+x0+1=0(x0≠0,且x0≠-1),显然该方程无实根,因此①不是“1的饱和函数”;对于②,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则2x0+1=2x0+2,解得x0=1,因此②是“1的饱和函数”;对于③,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则lg[(x0+1)2+2]=lg(x02+2)+lg(12+2),化简得2x02-2x0+3=0,显然该方程无实根,因此③不是“1的饱和函数”.