数学必修 第一册第3章 不等式本章综合与测试课后复习题

专题强化练 4　三个二次(二次函数、一元二次方程、

一元二次不等式)的综合应用

一、选择题

1.(2019江苏扬州邗江高二上学期期中,)不等式ax2+bx+1>0(a,b为常数)的解集是,则a+b的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.5 B.-5 C.-7 D.7

2.()若关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的一个实数根小于-1,另一个实数根大于1,则实数m的取值范围是(　　)

A.{m|-2<m<2} B.{m|-2<m<0}

C.{m|-2<m<1} D.{m|0<m<1}

3.()若-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则实数a的值为(　　)

A. B. C. D.

二、填空题

4.()若关于x的不等式x2-3ax+2>0的解集为(-∞,1)∪(m,+∞),则a+m=　　　　. 

5.()若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实数根,则实数m的取值范围是　　　　　. 

三、解答题

6.()已知函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的图象与x轴只有一个交点,若关于x的不等式x2+ax+b<c的解集为{x|m<x<m+4},求实数c的值.

7.()(1)若不等式ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1},求a、b的值;

(2)求关于x的不等式ax2+3x+2>-ax-1(其中a>0)的解集.

8.(2019江苏苏州高二上学期期中,)某工厂2019年年初用128万元购进一台新的设备,并立即投入使用,该设备使用后,每年的总收入为54万元,设使用x年后该设备的维修、保养费用为(2x2+6x)万元,盈利总额为y万元.

(1)写出y与x之间的函数关系式;

(2)从第几年开始,使用该设备开始盈利?

(3)使用若干年后,对设备的处理有两种方案:①年平均盈利额达到最大值时,以42万元价格卖掉该设备;②盈利总额达到最大值时,以10万元价格卖掉该设备.问哪种方案处理较为合理?请说明理由.

答案全解全析

专题强化练4　三个二次(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的

综合应用

一、选择题

1.C　由不等式ax2+bx+1>0的解集是知,a<0,且-为方程ax2+bx+1=0的两根,

∴

∴

∴∴a+b=-7.

2.D　令y=x2+(m-1)x+m2-2,由题意作出函数的大致图象,如图所示.

由图象知,当x=-1时,y=m2-m<0,解得0<m<1;当x=1时,y=m2+m-2<0,解得-2<m<1.

综上可得,0<m<1,故选D.

3.D　若-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则方程x2-2ax+a=-1有两个相等的实数根,所以(-2a)2-4(a+1)=0,解得a=.

二、填空题

4.答案　3

解析　由关于x的不等式x2-3ax+2>0的解集为(-∞,1)∪(m,+∞)知,1,m是方程x2-3ax+2=0的两个实数根,把x=1代入方程得1-3a+2=0,解得a=1,∴x2-3x+2>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),∴m=2,∴a+m=3.

5.答案　{m|0<m≤1}

解析　由题意可得

解得0<m≤1,因此实数m的取值范围是{m|0<m≤1}.

三、解答题

6.解析　因为函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的图象与x轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0,即b=.又x2+ax+b<c的解集为{x|m<x<m+4},所以m,m+4是方程x2+ax+-c=0的两根,所以将m+m+4=-a,即a=-2m-4代入m(m+4)=-c,整理得c=4.

7.解析　(1)由题意得a<0,且1,b为方程ax2+3x+2=0的两个根.

将x=1代入ax2+3x+2=0,可得a=-5,

所以不等式ax2+3x+2>0即为不等式-5x2+3x+2>0,可转化为(x-1)(5x+2)<0,解得-<x<1,所以原不等式的解集为,所以b=-.

(2)不等式ax2+3x+2>-ax-1可转化为ax2+(a+3)x+3>0,即(ax+3)(x+1)>0.

当-<-1,即0<a<3时,原不等式的解集为;

当-=-1,即a=3时,原不等式的解集为{x|x≠-1};

当->-1,即a>3时,原不等式的解集为.

综上所述,当0<a<3时,原不等式的解集为;

当a=3时,原不等式的解集为{x|x≠-1};

当a>3时,原不等式的解集为.

8.解析　(1)由题意得,y=54x-(2x2+6x)-128=-2x2+48x-128(x∈N*).

(2)令y>0,得-2x2+48x-128>0,即x2-24x+64<0,

解得12-4,

又x∈N*,所以4≤x≤20.

故使用该设备的第四年开始盈利.

(3)方案①:年平均盈利额≤48-4=16,

当且仅当x=,即x=8时,等号成立,故=16.

所以方案①的总利润为16×8+42=170(万元);

方案②:盈利总额y=-2x2+48x-128=-2(x-12)2+160,故x=12时,y取得最大值,最大值为160,

所以方案②的总利润为160+10=170(万元).

综上,方案①与方案②的总利润相同,但方案①的年数较少,所以选择方案①处理较为合理.