新教材数学苏教版必修第一册第3章 3.3 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 课件

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

3.3.1　从函数观点看一元二次方程

函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格，并思考它们有着怎样的联系？

知识点1　二次函数的零点

一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．

二次函数一定有零点吗？

[提示]　当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点．

函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量的x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二次函数y＝x2的零点为(0,0)． (　　)

(2)当Δ＝0时，二次函数有两个相同的零点． (　　)

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有两个零点．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

知识点2　函数零点的探究

当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：

2．二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2

C　[令y＝0得，x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为－1．]

类型1　求函数的零点

【例1】　求下列函数的零点．

(1)y＝3x2－2x－1；

(2) y＝ax2－x－a－1(a∈R)；

(3) y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．

[思路点拨]　(1)直接解出相应方程的根．

(2)对于二次项的系数a分a＝0，a≠0两类进行讨论，当a≠0时，还要比较两根的大小．

(3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标．

[解]　(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－．

(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1．

(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1．

又－(－1)＝，

①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1．

②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和．

综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1；

当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和．

(3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3．

1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．

2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．

3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤

(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；

(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数．

若可以因式分解，则一定存在零点．

(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．

1．求下列函数的零点．

(1)y＝2x2－3x－2；

(2)y＝ax2－x－1；

(3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．

[解]　(1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－．

(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1．

(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，

当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点；

当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2．

当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1,2＝，

函数有两个零点和．

综上：当a＝0时，函数的零点为－1；

当a＝－时，函数的零点为－2；

当a>－时，函数有两个零点和；

当a<－时，相应方程无实数根，函数无零点．

(3) 由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1．

类型2　函数的零点个数的论证与探究

【例2】　若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．

[思路点拨]　要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等实数根．

[证明]　考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，

因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，

又a>2，所以Δ>0，

所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．

[母题探究]

求函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．

[解]　(必要性)因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，

当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解，函数无零点；

当a≠2时，因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，

即 或

解得a≥2或a≤－2，

又a≠2，所以a>2或a≤－2，

所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，则a>2或a≤－2．

(充分性)当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，

Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，

所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点．

综上，函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2．

二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的零点的论证

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的根的判别式Δ＝b2－4ac.

1Δ>0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋ca≠0有两个零点.

2Δ＝0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋ca≠0有一个零点.

3Δ<0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋ca≠0无零点.

2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．

[证明]　当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；

当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．

综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．

类型3　二次函数的零点分布探究

【例3】　(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；

 (2)二次函数y＝x2－3x＋k至少有一个零点为正数，求实数k的取值范围．

[思路点拨]　(1)直接求出函数的零点，再加以判定．

(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究．

[解]　(1) 由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2，

所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零点．

(2)因为二次函数y＝x2－3x＋k至少有一个零点为正数，所以关于x的方程x2－3x＋k＝0至少有一个正实根，有以下三种情况：

①有一正一负两个实根，

由一元二次方程的根与系数关系得

，所以k＜0；

②有两个正实根，

由一元二次方程的根与系数关系得

，所以0＜k≤；

③有一个实根为零，易知此时k＝0，方程x2－3x＋k＝0的两个实根为0和3，符合题意．

综上知，实数k的取值范围是．

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究

结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理

(1)  ⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．

(2)  ⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点．

(3) x1x2<0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．

2．二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．

3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．

(1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围；

(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围．

[解]　法一：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a．

(1)因为该函数有两个正的零点，所以 解得0<a<或<a<1，

所以a的取值范围是0<a<或<a<1．

(2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，

所以 或 解得a>1或a<0．

所以a的取值范围是a>1或a<0．

法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0，

所以

解得0<a<或<a<1，

所以a的取值范围是0<a<或<a<1．

(2) 方程x2－x－a2＋a＝0中，Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，设其两实数根分别为x1，x2，

则

因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，

所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0．

所以a的取值范围是a>1或a<0．

1．函数y＝x2＋4x－5的零点为(　　)

A．－5和1　　　　　　 B．(－5,0)和(1,0)

C．－5     D．1

A　[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．]

2．(多选题)已知函数y＝2ax－a＋3在(－1,1)上有零点，则实数a的取值可能是(　　)

A．－4　　　B．2    C．3　　　D．－1

ABC　[当a＝0时，y＝3无零点．当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得x＝，所以－1<<1．当a>0时，－2a<a－3<2a，解得a>1，当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3．

所以a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]

3．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________．

2　[由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2．]

4．二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1,3)内的零点为________．

2　[方程x2＋2x－8＝0的两个根为x1＝2，x2＝－4．因此二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1,3)内的零点为2．]

5．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n的取值集合为_________．

{－3,0}　[由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0,1)，所以n的取值集合为{－3,0}．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．求函数零点的方法是什么？你是如何求函数零点的？

[提示]　(1)观察图象看图象与x轴交点的横坐标．

(2)解相应地方程，方程的解即为函数的零点．

(3)含参函数的零点求解需分类讨论．

根据相应地方程来求解零点为常用方法．

2．怎样判定二次函数零点的个数？

[提示]　论证相应一元二次方程的根的判别式与0的大小关系．

3．怎样研究二次函数零点的分布？

[提示]　研究相应的一元二次方程，利用根与系数求解．