人教版新课标A选修2-3第一章 计数原理综合与测试免费练习题

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易错点1 混淆分类与分步致误
1.(★★☆)有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列,表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号,共可以组成多少种不同的信号?
2.(★★☆)甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军,且每门学科只有1名冠军产生,则不同的冠军获得情况有多少种?
易错点2 对特殊元素考虑不周致误
3.(2019福建九江高二期末,★★☆)将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作,要求每一个地方至少安排1名志愿者,其中甲、乙2名志愿者不安排在同一个地方工作,则不同的安排方法共有( )
A.24种B.30种C.32种D.36种
4.(★★☆)8人站成前后两排,每排4人,其中甲、乙两人必须在前排,丙在后排,则共有多少种排法?
5.(★★☆)有甲、乙、丙3项任务,任务甲需要2人承担,任务乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这3项任务,不同的选法共有多少种?
易错点3 混淆二项展开式中项的系数与二项式系数致误
6.(2019江西上饶高二期末,★★☆)已知x-12xn(n∈N*)的展开式中第7项是常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
7.(2019北京大学附属中学高二期中,★★☆)已知14+2xn(n∈N*)的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项的系数;
(2)展开式中系数最大的项.
思想方法练
一、分类讨论思想在排列组合中的应用
1.(2019重庆高二期末,★★☆)将4本不同的课外书全部分给3名同学,每名同学最多可分得2本,则不同的分配方法种数为( )
A.32B.48C.54D.72
2.(★★☆)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,当甲、乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( )
A.3 600 B.520C.600 D.720
3.(★★☆)如图,用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂法种数为( )
A.72 B.96 C.108 D.120
二、整体思想在排列组合中的应用
4.(2019安徽宣城郎溪中学高二期末,★★☆)将5本不同的书全部分给4个学生,每个学生至少一本,则不同的分法种数为( )
A.240 B.120C.96 D.480
5.(★★☆)有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人坐下,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是( )
A.234 B.346C.350 D.363
三、函数与方程思想在二项式系数、项的系数中的应用
6.(2019重庆第一中学高三联考,★★☆)已知(2x2+a)·x-1x6的展开式中x2的系数是-10,求实数a的值.
7.(2019江西抚州高二期末,★★☆)已知x-3x2n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是9∶1.
(1)求展开式中各项二项式系数的和;
(2)求展开式的中间项.
8.(2019河北衡水中学高三上学期调研,★★☆)已知(2+ax)(1-2x)5的展开式中,含x2项的系数为70,求实数a的值.
9.(2019湖南长沙长郡中学高三上学期第三次调研,★★☆)已知1x-2(a3x+1)5的展开式中常数项为-12,求a2 sinπ2xdx的值.
答案全解全析
易混易错练
1.解析 每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2面旗可组成3×3=9种不同的信号;每次升3面旗可组成3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理,共可组成3+9+27=39种不同的信号.
2.解析 可先举例说出其中的一种情况,如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙,可见研究的对象是“3门学科”,只有3门学科各产生1名冠军,才完成了这件事,而4名同学不一定每人都能获得冠军,故完成这件事分三步.
第1步,产生第1个学科冠军,它一定被其中1名同学获得,有4种不同的获得情况;
第2步,产生第2个学科冠军,因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军,所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺,有4种不同的获得情况;
第3步,同理,产生第3个学科冠军,也有4种不同的获得情况.
由分步乘法计数原理知,共有4×4×4=43=64种不同的冠军获得情况.
3.B 考虑安排4人到三个地方工作,先将4人分为三组,分组有C42种,再将这三组安排到三个地方工作,则安排4人到三个地方工作的安排方法种数为C42A33=36,
当甲、乙两名志愿者被安排在同一个地方时,只有一种分组情况,此时的安排方法种数为A33=6,因此,所求的不同安排方法种数为36-6=30,故选B.
4.解析 先排甲、乙,有A42种排法,再排丙,有A41种排法,其余5人有A55种排法,故共有A42A41A55=5 760种排法.
5.解析 解法一:先从10人中选出2人承担任务甲;再从余下8人中选出1人承担任务乙;最后从剩下的7人中选出1人承担任务丙.根据分步乘法计数原理,不同的选法共有C102C81C71=2 520(种).
解法二:先从10人中选出2人承担任务甲;再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理,不同的选法共有C102A82=2 520(种).
6.解析 (1)其展开式的通项为Tr+1=Cnrxn-r·-12xr=Cnr-12rxn-3r2(r=0,1,2,…,n).
因为第7项为常数项,又第7项T7=Cn6·-126xn-9,所以n=9.
(2)由(1)知n=9,所以二项式系数最大的项为T5与T6,
且T5=C94-124x3=638x3,
T6=C95·-125x32=-6316x32.
7.解析 (1)由14+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,得Cn0+Cn1+Cn2=37,解得n=8(n=-9舍去),∴该式为14+2x8,其展开式的通项为Tr+1=C8r×148-r(2x)r(r=0,1,2,…,8),易知展开式中第5项的二项式系数最大,
且T5=C84144×24×x4=358x4,故二项式系数最大的项的系数为358.
(2)设展开式中第(r+1)项的系数最大,则C8r148-r2r≥C8r-1149-r2r-1,C8r148-r2r≥C8r+1147-r2r+1,
解得7≤r≤8,
所以展开式中系数最大的项为第8项及第9项,
且T8=C87141×27×x7=256x7,T9=C88×140×28×x8=256x8.
思想方法练
1.C 当3名同学都分得书时,有C42×A33=36种分配方法,当只有2名同学分得书时,有C42×C22A22×A32=18种分配方法,所以共有36+18=54种分配方法,故选C.
2.C 完成这件事可分为两类:第一类,甲、乙中有且只有一人参加,则有C21·C53·A44=480种不同情况;第二类,甲、乙都参加,则有C52·A22·A32=120种不同情况.由分类加法计数原理得,共有480+120=600种不同情况.故选C.
3.B 完成该问题可分两类:第一类,若区域1与区域3颜色不同,先用4种颜色涂区域1到区域4,共有A44种不同方法,再取区域1,2,3中的一种颜色涂区域5,有3种不同方法,根据分步乘法计数原理,有3A44种不同方法;第二类,若区域1与区域3颜色相同,且4种颜色全部使用,则用4种颜色涂区域1,2,4,5,有A44种不同方法.由分类加法计数原理得,共有3A44+A44=96种不同涂法.故选B.
4.A 先把5本书中的2本捆起来看作一个元素,共有C52=10种可能,这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A44=24种可能,所以不同的分法种数为10×24=240,故选A.
5.B 易知一共可坐的位子有20个,2个人坐的方法数为A202,还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行,将其中两个相邻座位看成一个整体,则相邻的坐法有A191A22,还应再加上2A22,所以不同坐法的种数为A202-A191A22+2A22=346.故选B.
6.解析 x-1x6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-1xr=(-1)rC6rx6-2r(r=0,1,2,3,4,5,6),
令6-2r=0,得r=3,令6-2r=2,得r=2,结合题意有2×(-1)3×C63+a×(-1)2×C62=-10,解得a=2.
7.解析 (1)由题意知,其展开式的通项为
Tr+1=Cnr(x)n-r-3x2r=Cnr(-3)rxn-5r2(0≤r≤n,且r∈N),
则第五项的系数为Cn4·(-3)4,第三项的系数为Cn2·(-3)2,则有Cn4·(-3)4Cn2·(-3)2=91,
化简,得Cn4=Cn2,∴n=6,∴展开式中各项二项式系数的和为26=64.
(2)由(1)知n=6,故展开式中共有7项,中间项为第4项,令r=3,得T4=-540x-92.
8.解析 (1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r·(-2x)r(r=0,1,2,3,4,5),
故(2+ax)(1-2x)5的展开式中,含x2项的系数为2×C52×(-2)2+a×C51×(-2)1=70,解得a=1.
9.解析 因为1x-2(a3x+1)5的展开式中常数项为C52a3-2C55=-12,所以a=-1,
因此a2 sinπ2xdx=-12 sinπ2xdx=csπ2x-π2 -12=csπ2×2-π2-csπ2×(-1)-π2=2π.
1
4
5
2
3