数学选修2-3第一章 计数原理综合与测试免费精练

专题强化练3　形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题

一、选择题

1.(2019吉林长春高二期末,★★☆)的展开式中含x5项的系数为(　　)

A.160 B.210 C.120 D.252

2.(2019河北枣强中学高二期末,★★☆)(1+2x)8·的展开式中x2y2的系数是(　　)

A.58 B.62 C.52 D.42

3.(2019辽宁营口第一高级中学高二下学期期末,★★☆)(x2-x-1)(x+2)5的展开式中x4的系数为(　　)

A.25 B.30 C.35 D.40

4.(2019湖南师范大学附属中学高三上学期期末,★★☆)(x+3y)(x-2y)5的展开式中x2y4的系数为(　　)

A.-320 B.-160   C.160  D.320

5.(2019河北省级示范性高中联合体联考,★★☆)(1+x)5的展开式中x2的系数为(　　)

A.1 B.-9 C.31 D.-19

6.(2019四川宜宾第三中学高三月考,★★☆)(x2+2)·的展开式中的常数项是(　　)

A.3 B.-2 C.2 D.-3

7.(2019山西永济中学高二期末,★★☆)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)

A.-80  B.-40   C.40   D.80

8.(2019江西新余高二期末,★★☆)在(x-2)5的展开式中,x的系数为(　　)

A.-32  B.-8    C.8     D.48

二、填空题

9.(2019江西九江第一次高考模拟,★★☆)若(x+2)·的展开式中常数项等于80,则a=　　　　. 

10.(2019河南洛阳高三第一次统一考试,★★☆)(3x+2y)2(x-y)7的展开式中含有x5y4的项的系数为　　　　. 

11.(2019福建泉州高二期末,★★☆)(x+1)展开式中的常数项是　　　　(用数字作答). 

答案全解全析

一、选择题

1.D　=,的展开式的通项为Tr+1=·(x2)10-r=x20-3r(r=0,1,2,…,10),当r= 5时,T6=x5=252x5.故选D.

2.D　(1+2x)8的展开式中x2y2的系数是·22··=42.故选D.

3.B　因为(x+2)5的展开式的通项为Tk+1=x5-k2k(k=0,1,2,3,4,5),所以(x2-x-1)×(x+2)5的展开式中含x4的项为x2×23x2,-x×22x3和-1×2x4,因为23-22-2=30,所以x4的系数为30,故选B.

4.B　由题意得,(x-2y)5的展开式中第(r+1)项为Tr+1=·x5-r·(-2y)r(r=0,1,2,3,4,5),

令5-r=1,得r=4;令5-r=2,得r=3.故在(x+3y)(x-2y)5的展开式中,x2y4的系数为×(-2)4+3××(-2)3=-160.故选B.

5.B　由题意得,(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr(r=0,1,2,3,4,5),其中x2的系数、常数项、x3的系数分别为,,,故(1+x)5的展开式中x2的系数为+-2=-9.故选B.

6.A　第一个因式取x2,第二个因式取,可得1××(-1)4=5;

第一个因式取2,第二个因式取(-1)5,可得2×(-1)5=-2,

故(x2+2)的展开式中的常数项是5+(-2)=3,故选A.

7.C　要求(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数,需x+y中的x与(2x-y)5展开式中的x2y3相乘,x+y中的y与(2x-y)5展开式中的x3y2相乘,而(2x-y)5的展开式中,含x2y3的项为(2x)2(-y)3=-40x2y3,含x3y2的项为(2x)3·(-y)2=80x3y2,所以(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40,故选C.

8.C　(x-2)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r·(-2)r(r=0,1,2,3,4,5),其与x相乘可得x·x5-r·(-2)r=(-2)rx6-r,当r=5时,得(-2)5·x=-32x;其与相乘可得·x5-r(-2)r=(-2)rx3-r,当r=2时,得·(-2)2x=40x,故x的系数为-32+40=8.故选C.

二、填空题

9.答案　2

解析　因为的展开式的通项为Tr+1=·(-1)r·a5-r·x2r-5(r=0,1,2,3,4,5),显然2r-5为奇数,所以若求(x+2)·展开式中的常数项,需令2r-5=-1,所以r=2,

故(x+2)的展开式中的常数项为·a3=80,解得a=2.

10.答案　-21

解析　原式可化为(9x2+12xy+4y2)·(x-y)7,根据乘法的分配律,x5y4的来源有三个:9x2与x3y4的乘积,12xy与x4y3的乘积,4y2与x5y2的乘积,即9·(-1)4+12·(-1)3+4·(-1)2=-21.

11.答案　-80

解析　∵(x+1)=x+,∴x的展开式的通项为Tr+1=x·x5-r·=·x6-2r·(-2)r,的展开式的通项为Tk+1=·x5-k·=·x5-2k·(-2)k,其中r,k∈{0,1,2,3,4,5},

令解得r=3,k不存在,

∴(x+1)展开式中的常数项是·(-2)3=-80,故答案为-80.