【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：数列前n项和的求法

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：数列前n项和的求法，共7页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共30小题；共150分）
1. 已知函数 fx=xα 的图象过点 4,2，令 an=1fn+1+fn，n∈N*．记数列 an 的前 n 项和为 Sn，则 S2020=
A. 2019−1B. 2020−1C. 2021−1D. 2021+1

2. 若数列 an 的通项公式是 an=−1n3n−2，则 a1+a2+⋯+a10=
A. 15B. 12C. −12D. −15

3. 数列 112，314，518，7116，… 的前 n 项和为
A. 2n−1+12nB. n2+1−12nC. n2+1−12nD. n2+1−12n−1

4. 数列 an 的通项公式为 an=1n+n−1，若该数列的前 k 项之和等于 9，则 k=
A. 80B. 81C. 79D. 82

5. 已知数列 5，6，1，−5，⋯，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 16 项之和 S16 等于
A. 5B. 6C. 7D. 16

6. 数列 an 的通项公式是 an=1n+n+1，前 n 项和为 9，则 n 等于
A. 9B. 99C. 10D. 100

7. 数列 1+2n−1 的前 n 项和为
A. 1+2nB. 2+2nC. n+2n−1D. n+2+2n

8. 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a3+a7−a10=8，a11−a4=4，则 S13 等于
A. 152B. 154C. 156D. 158

9. 已知数列 an 中， an=−4n+5 ，等比数列 bn 的公比 q 满足 q=an−an−1n≥2 ，且 b1=a2 ，则 b1+b2+⋯+bn=
A. 1−4nB. 4n−1C. 1−4n3D. 4n−13

10. 无穷数列 12，13，14，16，⋯，12n，13⋅2n−1，⋯ 各项的和是
A. 83B. 53C. 43D. 76

11. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10，15，21，28，36，45，⋯ 这些数叫做三角形数．设第 n 个三角形数为 an，则下面结论错误的是
A. an−an−1=nn>1B. a20=210
C. 1024 是三角形数D. 1a1+1a2+1a3+⋯+1an=2nn+1

12. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，a1=1，当 n≥2 时，an+2Sn−1=n，则 S2019 的值为
A. 1008B. 1009C. 1010D. 1011

13. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数 N：N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂，那么该款软件的激活码是
A. 440B. 330C. 220D. 110

14. 设各项均不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a10>a9，且 S10=0，则使不等式 1a1+1a2+⋯+1an>0 成立的正整数 n 的最小值是
A. 9B. 10C. 11D. 12

15. 若数列 an 的通项公式是 an=−1n3n−2，则 a1+a2+⋯+a10 等于
A. 15B. 12C. −12D. −15

16. 已知数列 an 满足 an+1=an−an−1n≥2，a1=1，a2=3，记 Sn=a1+a2+⋯+an，则下列结论正确的是
A. a100=−1，S100=5B. a100=−3，S100=5
C. a100=−3，S100=2D. a100=−1，S100=2

17. 数列 1，11+2，11+2+3，⋯，11+2+⋯+n 的前 n 项和为
A. 2nn+1B. 2n2n+1C. n+2n+1D. 2n+1n

18. 数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 an=1nn+1，则 S5 等于
A. 1B. 56C. 16D. 130

19. 1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，⋅⋅⋅，1+2+22+⋅⋅⋅+2n−1 的前 n 项和 Sn 等于
A. 2nB. 2n−nC. 2n+1−n−2D. n−2n

20. 在数列 an 中，已知 Sn=1−5+9−13+17−21+⋅⋅⋅+−1n−14n−3，则 S15+S22−S31 的值是
A. 13B. −76C. 46D. 76

21. 已知二次函数 y=aa+1x2−2a+1x+1，当 a=1,2,⋯,n,⋯ 时，其抛物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2,⋯,dn,⋯，则 limn→∞d1+d2+⋯+dn 的值是
A. 1B. 2C. 3D. 4

22. 已知等差数列 an 前 n 项和为 Sn．a5=5，S5=15，则数列 1anan+1 的前 100 项和为
A. 100101B. 99101C. 99100D. 101100

23. 在数列 an 中，若 a1=15，an+an+1=65n+1n∈N*，则 limn→∞a1+a2+⋯+an 等于
A. 25B. 27C. 14D. 425

24. limn→∞14+14+6+14+6+8+⋯+14+6+8+⋯+2n 的值为
A. 1B. 114C. 1118D. 1124

25. 数列 112，214，318，4116，⋯，1011024 的和等于
A. 571512B. 56511512C. 5611024D. 5510231024

26. 1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，⋯，1+2+22+⋯+2n−1 的前 n 项和 Sn 等于
A. 2nB. 2n−nC. 2n+1−n−2D. n−2n

27. 已知数列 an 的通项公式 an=2n−12n，其前 n 项和 Sn=32164，则项数 n 等于
A. 13B. 10C. 9D. 6

28. 已知函数 fx=x2+bx 的图象在点 A1,f1 处的切线的斜率为 3，数列 1fn 的前 n 项和为 Sn，则 S2009 的值为
A. 20072008B. 20082009C. 20092010D. 20102011

29. 数列 1,322,423,524,⋯,n+12n 的前 n 项和等于
A. Sn=3−n+12n−12n−1B. Sn=3−n+12n−1−12n−2
C. Sn=3−n+12n−12n−2D. Sn=3−n2n−12n−2

30. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，a1=1，a2=2，且 an+2=an+3n=1,2,3,⋯，则 S100 等于
A. 7000B. 7250C. 7500D. 14950
答案
第一部分
1. C【解析】由 f4=2，可得 4α=2，解得 α=12，
则 fx=x．
所以 an=1fn+1+fn=1n+1+n=n+1−n，
所以
S2020=a1+a2+a3+⋯+a2020=2−1+3−2+4−3+⋯+2021−2020=2021−1.
2. A【解析】a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=−1+4−7+10−13+16−19+22−25+28=5×3=15.
3. C【解析】Sn=1+3+5+…+2n−1+12+14+18+…+12n=n2+1−12n．
4. B【解析】an=1n+n−1=n−n−1，
故 Sn=n，令 Sk=k=9，解得 k=81，
故选：B．
5. C
【解析】根据题意，这个数列的前 8 项分别为 5，6，1，−5，−6，−1，5，6，发现从第 7 项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为 6，前 6 项和为 5+6+1+−5+−6+−1=0．
又因为 16=2×6+4，
所以这个数列的前 16 项之和 S16=2×0+5+6+1+−5=7，故选C．
6. B【解析】因为 an=1n+n+1=n+1−n，所以
Sn=a1+a2+⋯+an=n+1−n+n−n−1+⋯+3−2+2−1=n+1−1,
令 n+1−1=9，得 n=99，故选B．
7. C【解析】设前 n 项和 Sn，则 Sn=1+20+1+2+1+22+⋯+1+2n−1=n+1−2n1−2=n+2n−1．
8. C
9. B
10. B
11. C【解析】因为 a2−a1=2，a3−a2=3，a4−a3=4，⋯，由此可归纳得 an−an−1=nn>1，故A正确；
将前面的所有项累加可得 an=n−1n+22+a1=nn+12，
所以 a20=210，故B正确；
令 nn+12=1024，
此方程没有正整数解，故C错误；
1a1+1a2+⋯+1an=21−12+12−13+⋯+1n−1n+1=21−1n+1=2nn+1,
故D正确．
12. C【解析】当 n≥2 时，an+2Sn−1=n, ⋯⋯①
故 an+1+2Sn=n+1, ⋯⋯②
由② − ①得，an+1−an+2Sn−Sn−1=1，即 an+1+an=1n≥2，
所以
S2019=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2018+a2019=1010.
13. A
14. C
15. A
【解析】因为 an=−1n3n−2，
则 a1+a2+⋯+a10
=−1+4−7+10−⋯−25+28
=−1+4+−7+10+⋯+−25+28
=3×5=15.
16. A【解析】依题意 an+2=an+1−an=−an−1，即 an+3=−an，an+6=−an+3=an，故数列 an 是以 6 为周期的数列 a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a4+a2+a5+a3+a6=0．注意到 100=6×16+4，因此有 a100=a4=−a1=−1，
S100=16a1+a2+⋯+a6+a1+a2+a3+a4=a2+a3=a2+a2−a1=2×3−1=5.
17. A【解析】因为 an=2n1+n=21n−1n+1，
所以 Sn=21−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1
21−1n+1=2nn+1．
18. B
19. C【解析】此数列的通项公式 an=1+2+22+⋯+2n−1=1×1−2n1−2=2n−1．
所以
Sn=2−1+22−1+23−1+⋯+2n−1=2+22+23+⋯+2n−n=21−2n1−2−n=2n+1−n−2.
20. B
【解析】因为 S15=−4×7+−1144×15−3=29.
S22=−4×11=−44．
S31=−4×15+−1304×31−3=61．
所以 S15+S22−S31=29−44−61=−76．
21. A【解析】当 a=n 时，y=nn+1x2−2n+1x+1=ax−1a+1x−1．
令 y=0，得 x1=1n，x2=1n+1．
故 ∣x1−x2∣＝1n−1n+1．
所以 d1+d2+⋯+dn=1−1n+1．
limn→∞d1+d2+⋯+dn=limn→∞1−1n+1=1．
22. A【解析】由 a5=5，S5=15，得 a1=1，d=1，所以 an=1+n−1=n，
所以 1anan+1=1nn+1=1n−1n+1．
Sn=1a1a2+⋯+1a100a101=11−12+12−13+⋯+1100−1101=1−1101=100101．
23. C
24. C
25. D
26. C【解析】此数列的通项公式 an=1+2+22+⋯+2n−1=1×1−2n1−2=2n−1．所以
Sn=2−1+22−1+23−1+⋯+2n−1=2+22+23+⋯+2n−n=21−2n1−2−n=2n+1−n−2.
27. D【解析】因为 an=2n−12n=1−12n，
所以 Sn=n−121−12n1−12=n−1+12n=32164=5+164，
所以 n=6．
28. C
29. A【解析】令
Sn=1+322+423+⋯+n+12n ⋯⋯①
则
12Sn=12+323+424+⋯+n+12n+1 ⋯⋯②
①−② 得
12Sn=1+122+123+⋯+12n−n+12n+1=1+1221−12n−11−12−n+12n+1=32−12n−n+12n+1.
所以
Sn=3−n+12n−12n−1.
30. C
【解析】由题设，得 an+2−an=3，
所以数列 a2n−1，a2n 为等差数列，
前 100 项中奇数项、偶数项各有 50 项，其中奇数项和为
50×1+50×492×3=3725,
偶数项和为
50×2+50×492×3=3775,
所以 S100=7500．