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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角复习练习题
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角复习练习题，共18页。试卷主要包含了若4=a+b2,则a+b=，5+54+103+102+5=，求3x+1x4的展开式，4的展开式的中间项为，8的展开式中,x4的系数为等内容，欢迎下载使用。
3.3 二项式定理与杨辉三角
基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.若(1+2)4=a+b2(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33 B.29 C.23 D.19
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=( )
A.x5 B.x5-1
C.x5+1 D.(x-1)5-1
3.(2020山东寿光现代中学高二月考)3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn= (n∈N+).
4.求3x+1x4的展开式.
题组二 二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
5.(2020山东济宁高二期末)(2x-y)4的展开式的中间项为 ( )
A.-8 B.-8xy3
C.24 D.24x2y2
6.(2020山东日照一中高二期末)(2-x)8的展开式中,x4的系数为( )
A.16 B.1 C.8 D.2
7.x+1xx8的展开式中,有理项的项数为( )
A.4 B.5 C.6 D.9
8.(2020吉林东北师大附中高二月考)若ax-1x6的展开式中常数项为-20,则a=( )
A.12 B.-12 C.1 D.-1
9.(2020湖南长沙雅礼中学高二期末)将(3+x)n(n∈N+)的展开式的各项按照x的升幂排列,若倒数第三项的系数是90,则n的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
10.(2020辽宁大连八中高二月考)在(2x+1)15的展开式中,含x5的项是展开式的第 项.
11.若x+a3xn(n∈N+)的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,且x4的系数为7,求实数a的值.
12.(2020湖北武昌实验中学高二月考)求(1+x)6(2y+1)5的展开式中x4y2的系数.
13.(2020浙江宁波高二调研)已知(1+x)n(n∈N+)的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等.
(1)求n的值和这两项的二项式系数;
(2)求(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展开式中,含x2的项的系数(结果用数字表示).
题组三 二项式系数之和及项的系数之和
14.(2019北京人大附中高二调研)在x+3xn(n∈N+)的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中的常数项为( )
A.18 B.12 C.9 D.6
15.(2020浙江温州中学高二月考)若x+2xn(n∈N+)的展开式中,各项系数的和为243,则该展开式中含x的项的系数为( )
A.1 B.5 C.10 D.20
16.(2019山东烟台一中高二月考)若(3-2x)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则a1-a2+a3等于( )
A.98 B.28 C.26 D.-98
17.(2020吉林延边二中高二月考)若(1-3x)2 018=a0+a1x+…+a2 018x2 018,x∈R,则a1×3+a2×32+…+a2 018×32 018的值为( )
A.22 018-1 B.82 018-1 C.22 018 D.82 018
18.在x-1xn(n∈N+)的展开式中,若奇数项的二项式系数之和为32,求x4的系数.
19.(2020广西柳州高级中学高二期中)已知(2x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.
题组四 杨辉三角与二项式系数的性质
20.(2019吉林长春高二期末)如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和依次排成一列数,则该列数的第10项为( )
A.55 B.89 C.120 D.144
21.(1+x)2n(n∈N+)的展开式中,系数最大的项是( )
A.第n2+1项 B.第n项
C.第n+1项 D.第n项与第n+1项
22.(2020辽宁师范大学附属中学高二期末)在如图所示的三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6,则这一行是第 行(填行数).
第0行
1
第1行
1 1
第2行
1 2 1
第3行
1 3 3 1
第4行
1 4 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
……
……
23.(2020浙江杭州第二中学期末)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为1n(n∈N+,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,……,则第10行第4个数字(从左往右数)为 .
11
12 12
13 16 13
14 112 112 14
15 120 130 120 15
……
24.(2020山东师范大学附属中学高二期末)2x2+1x6的展开式中,常数项为 ,系数最大的项是 .
25.在2x3+1x12的展开式中.求:
(1)所有项的系数和;
(2)x4的系数;
(3)系数最大的项.
能力提升练
题组一 二项展开式的特定项及项的系数
1.(2019山东泰安一中高二模拟,)若x-1xn(n∈N+)的展开式的第m项为常数项,则m,n应满足( )
A.2n=3(m-1) B.2n=3m
C.2n=3(m+1) D.2n=m
2.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二期末,)(x2-2x-3)(2x-1)6的展开式中,x3的系数为( )
A.348 B.88 C.-232 D.-612
3.(2020山东德州高二期末,)(3x+32)100的展开式中,系数为有理数的共有( )
A.50项 B.17项 C.16项 D.15项
4.(2019广东实验中学高三月考,)在(x2+2x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 .
题组二 二项式系数之和及项的系数之和
5.(2019上海华师大二附中高二期中,)若(x+3y)n(n∈N+)的展开式的各项系数之和等于(7a+b)10的展开式的所有二项式系数之和,则n的值为( )
A.15 B.10 C.8 D.5
6.(2020山东章丘四中高二月考,)设(2-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是( )
A.665 B.729 C.728 D.63
7.(2020海南中学高二期末,)设(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+…+a2 019x2 019,则a12+a222+…+a2 01922 019的值为( )
A.2 B.0 C.-1 D.1
8.(2020广西桂林高二期末,)(2x-3)1+1x6的展开式中剔除常数项后的各项系数之和为( )
A.-55 B.-61 C.-63 D.-73
9.(2020北师大附中高二期末,)已知(x+2)n(n∈N+)=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,且a1=6,则a1+a2+…+an=( )
A.128 B.127 C.96 D.63
10.(2019浙江杭州高考模拟,)若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0= ,a0+a2+…+a8= .
题组三 二项式系数的性质
11.(2020安徽黄山高二质量检测,)已知1-x2n(n∈N+)的展开式中所有项的系数和等于1256,则展开式中项的系数的最大值是( )
A.72 B.358 C.7 D.70
12.(2020河南郑州外国语学校高二模拟,)已知(2m+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂的项的系数之和为64,则实数m=( )
A.74 B.72 C.4 D.7
13.(多选)(2020辽宁鞍山高二期末,)在(1-x)2 017的展开式中,有下列四个命题,其中为真命题的是( )
A.非常数项系数的绝对值的和是1
B.系数最大的项是第1 009项
C.偶数项的系数和是22 016
D.当x=2 018时,(1-x)2 017除以2 018的余数为1
14.(2020辽宁盘锦高二期末,)在x-2x28的展开式中:
(1)求所有的有理项;
(2)系数的绝对值最大的项是第几项?并求系数最大的项和系数最小的项.
题组四 二项式定理的应用
15.(2020辽宁阜新高二调研,)设a∈Z,且0≤a≤13,若512 012+a能被13整除,则a=( )
A.0 B.1 C.11 D.12
16.(2020湖南衡阳高二期末,)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107 C.108 D.109
17.(2019江西九江高二期末,)1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是( )
A.2 B.1 C.86 D.87
答案全解全析
3.3 二项式定理与杨辉三角
基础过关练
1.B
2.B
5.D
6.B
7.B
8.C
9.B
14.C
15.C
16.D
17.B
20.A
21.C
1.B ∵(1+2)4=C40(2)0+C41(2)1+C42(2)2+C43(2)3+C44(2)4=17+122=a+b2,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.B 逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故选B.
3.答案 4n-1
解析 3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn=Cn0+3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn-1=(1+3)n-1=4n-1.
4.解析 解法一:3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)3·1x+C42(3x)2·1x2+C43·3x·1x3+C44·1x4=81x2+108x+54+12x+1x2.
解法二:3x+1x4=(3x+1)4x2
=1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)
=81x2+108x+54+12x+1x2.
5.D 由题意得,展开式的中间项为第3项,即为C42(2x)2(-y)2=24x2y2,故选D.
6.B (2-x)8的展开式的通项公式为Tr+1=C8r·28-r·(-x)r=C8r·28-r·(-1)r·xr2(r=0,1,2,…,8),
当r2=4,即r=8时,T9=C88·20·(-1)8·x4=x4,即x4的系数为1,故选B.
7.B x+1xx8的展开式的通项公式为Tr+1=C8rx8-52r(r=0,1,…,8),令8-52r为整数,则r可取0,2,4,6,8,故有5项为有理项,故选B.
8.C ax-1x6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r(-1)ra6-rx6-r-r=C6r(-1)ra6-r·x6-2r(r=0,1,…,6),令6-2r=0,得r=3,所以常数项为C63(-1)3a3x0=-20a3=-20,解得a=1,故选C.
9.B 依题意,得Cnn-2·32=90,即Cnn-2=10,解得n=5(n=-4舍去).故选B.
10.答案 11
解析 (2x+1)15的展开式的通项公式为Tr+1=C15r(2x)15-r(r=0,1,2,…,15),令15-r=5,得r=10,所以含x5的项是展开式的第11项.
11.解析 易知n=8,则x+a3x8=(x+ax-13)8,其展开式的通项公式为Tk+1=C8kx8-k(ax-13)k=C8kakx8-43k(k=0,1,2,…,8),令8-43k=4,得k=3,所以T4=C83a3x4,由C83a3=7得a=12.
12.解析 (1+x)6(2y+1)5的展开式中含x4y2的项为C64x4C53(2y)2,其系数为C64C5322=600.
13.解析 (1)易知Cn3=Cn7,∴n=10,∴C103=C107=120.
(2)含x2的项的系数为C32+C42+…+C122=C133-C33=285.
14.C 令x=1,可得各项系数之和M=(1+3)n=4n,各项二项式系数之和N=2n,又M+N=4n+2n=72,所以n=3,所以x+3xn=x+3x3,其通项公式为Tr+1=C3r(x)3-r3xr=3rC3rx32-32r(r=0,1,2,3),令32-32r=0,解得r=1,所以展开式中的常数项为31C31=9.故选C.
15.C 令x=1,得(1+2)n=3n=243,解得n=5,则x+2x5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r·(x12)5-r·(2x-1)r=2r·C5r·x52-32r(r=0,1,2,…,5),令52-32r=1,解得r=1,故该展开式中含x的项的系数为21C51=10.故选C.
16.D 当x=0时,a0=27;当x=-1时,a0-a1+a2-a3=53=125,∴a1-a2+a3=27-125=-98,故选D.
17.B 令x=0,得a0=1;令x=3,得a0+a1×3+a2×32+…+a2 018×32 018=(1-9)2 018=82 018,所以a1×3+a2×32+…+a2 018×32 018=82 018-a0=82 018-1.故选B.
18.解析 由题意可知,奇数项的二项式系数之和为2n-1=32,解得n=6,
∴该式为x-1x6.
x-1x6的展开式的通项公式为Tk+1=C6k·x6-k·-1xk=C6k·(-1)k·x6-2k(k=0,1,2,…,6),
令6-2k=4,得k=1,因此,展开式中x4的系数为C61·(-1)1=-6.
19.解析 令x=1,得(2+2)4=a0+a1+a2+a3+a4;令x=-1,得(-2+2)4=a0-a1+a2-a3+a4,故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)×(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+2)4×(-2+2)4=(2-4)4=16.
20.A 设这列数为a1,a2,a3,…,由题意,可知a1=1,a2=1,a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,a6=3+5=8,a7=5+8=13,a8=8+13=21,a9=13+21=34,a10=21+34=55,故选A.
21.C 在(1+x)2n(n∈N+)的展开式中,第r+1(r∈N)项的系数与该项的二项式系数相同,易知该式的展开式共有2n+1项,所以第n+1项的系数最大,故选C.
22.答案 98
解析 三角形数阵中,第n行的数由二项式系数Cnk,n∈N,k∈N组成.如果第n行中有Cnk-1Cnk=kn-k+1=45,CnkCnk+1=k+1n-k=56,
那么9k-4n=4,5n-11k=6,解得n=98,k=44,
因此答案为98.
23.答案 1840
解析 将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成分数1(n+1)Cnr即可得到“莱布尼茨调和三角形”,杨辉三角中,第10行第4个数字为C93=84,所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为110×84=1840.
24.答案 60;240x6
解析 2x2+1x6的展开式的通项公式为Tk+1=C6k·(2x2)6-k·1xk=C6k·26-k·x12-3k(k=0,1,2,…,6),
令12-3k=0,得k=4,所以展开式中的常数项为C64×22=60.
设ak=C6k·26-k(k∈N,k≤6)最大,
则ak≥ak-1,ak≥ak+1,即C6k·26-k≥C6k-1·27-k,C6k·26-k≥C6k+1·25-k,
解得43≤k≤73,∵k∈N,∴k=2,∴展开式中系数最大的项是C62·24·x6=240x6.
25.解析 (1)令x=1,可得该展开式中所有项的系数和为312.
(2)该展开式的通项公式为Tk+1=C12k·212-k·x36-4k,k=0,1,2,…,12,令36-4k=4,解得k=8,
故x4的系数为C12824=7 920.
(3)设第r+1(r∈N,r≤12)项的系数最大,
则C12r·212-r≥C12r-1·213-r,C12r·212-r≥C12r+1·211-r,
解得103≤r≤133,又r∈N,所以r=4,
故该展开式中系数最大的项为C124(2x3)8·1x4=126 720x20.
能力提升练
1.A
2.A
3.B
5.D
6.A
7.C
8.D
9.D
11.C
12.B
13.BD
15.D
16.B
17.B
1.A 由题意,x-1xn(n∈N+)的展开式的第m项为Tm=Cnm-1xn-(m-1)(-1)m-1·x-12(m-1)=(-1)m-1Cnm-1xn-32m+32(m=1,2,…,n,n+1),由第m项为常数项,可得n-32m+32=0,所以m,n应满足2n=3(m-1),故选A.
2.A (x2-2x-3)(2x-1)6=x2(2x-1)6-2x(2x-1)6-3(2x-1)6=x2(1-2x)6-2x(1-2x)6-3(1-2x)6,所以结合二项式定理可知x3的系数为C61×(-2)1+(-2)×C62×(-2)2+(-3)×C63×(-2)3=-12-120+24×20=348.故选A.
3.B 展开式的通项公式为Tr+1=C100r(3x)100-r·(32)r=C100rx100-r·350-r2·213r(r=0,1,2,…,100),故r需为6的倍数,0~100内6的倍数共有17个,故选B.
4.答案 60
解析 在(x2+2x+y)5的展开式中第3项T3=C52(x2+2x)3y2,又(x2+2x)3的展开式的通项公式为T'k+1=C3k(x2)3-k(2x)k=C3k·2k·x6-k(k=0,1,2,3),令6-k=5,解得k=1,则T'2=3×2x5,则x5y2的系数为C52×3×2=60.
5.D 设(x+3y)n(n∈N+)的展开式的各项系数之和为m,令x=y=1,得m=(1+3)n=4n,设(7a+b)10的展开式的所有二项式系数之和为k,则k=C100+C101+C102+…+C1010=210,因为m=k,所以4n=210,解得n=5.故选D.
6.A 由二项式定理可知a0,a2,a4,a6均为正数,a1,a3,a5均为负数,即|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(2+1)6=729,
令x=0,则a0=26=64,所以|a1|+|a2|+…+|a6|=665,故选A.
7.C 令x=0,可得a0=1,
令x=12,可得0=1+a12+a222+…+a2 01922 019,
∴a12+a222+…+a2 01922 019=-1,故选C.
8.D 令x=1,得(2x-3)1+1x6的展开式中各项系数之和为-26=-64,而常数项为-3×C60+2×C61=9,所以(2x-3)1+1x6的展开式中剔除常数项后的各项系数之和为-64-9=-73,故选D.
9.D 由题意,(x+2)n=[1+(x+1)]n(n∈N+)的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr(x+1)r(r=0,1,2,…,n),令r=1,可得T2=Cn1(x+1)1,即a1=Cn1=6,解得n=6,所以(x+2)6=[1+(x+1)]6,则a0=C60=1,令x+1=1,即x=0,则a0+a1+a2+…+an=26=64,所以a1+a2+…+an=63.
10.答案 -27;-940
解析 令x=0,得(-3)3=a0,所以a0=-27,
令x=1,得(-2)3×35=a0+a1+a2+…+a8,
令x=-1,得(-4)3×(-1)5=a0-a1+a2-…+a8,
两式相加得2(a0+a2+…+a8)=-1 880,
所以a0+a2+…+a8=-940.
11.C 令x=1,得1-12n=1256,所以n=8,
所以1-x28的展开式的通项公式为Tr+1=C8r-x2r(r=0,1,2,…,8),要使展开式中项的系数最大,则r必为偶数,又T1=C80-x20=1,T3=C82-x22=7x2,T5=C84-x24=358x4,T7=C86·-x26=716x6,T9=C88-x28=1256x8,所以T3的系数最大,故选C.
12.B 设(2m+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.
令x=1,得(2m+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5①;
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5②.
①-②,得16(2m+1)=2(a1+a3+a5)=2×64,解得m=72,故选B.
13.BD 对于A,(1-x)2 017的展开式中,常数项为1,令x=-1,得所有项系数的绝对值的和为(1+1)2 017=22 017,所以展开式中非常数项系数的绝对值的和为22 017-1,所以A中命题是假命题;对于B,展开式的通项公式为Tr+1=C2 017r·(-x)r=(-1)rC2 017rxr(r=0,1,2,…,2 017),所以系数最大的项是第1 009项,所以B中命题是真命题;对于C,令x=1,得(1-1)2 017=0,易知展开式中奇数项系数为正,偶数项系数为负,故展开式中偶数项的系数和是-22 016,所以C中命题是假命题;对于D,当x=2 018时,(1-2 018)2 017=1-C2 0171×2 018+C2 0172×2 0182-…-2 0182 017,展开式中不含2 018的项是1,所以当x=2 018时,(1-x)2 017除以2 018的余数为1,所以D中命题是真命题.故选BD.
14.解析 (1)x-2x28的展开式的通项公式为Tr+1=C8r·(x)8-r·-2x2r=(-1)r·C8r·2r·x4-52r(r=0,1,2,…,8).
当4-52r为整数时,所得项为有理项,故当r=0,2,4,6,8时成立,
分别为T1=(-1)0·C80·20·x4=x4,
T3=(-1)2·C82·22·x4-5=112x-1,
T5=(-1)4·C84·24·x4-10=1 120x-6,
T7=(-1)6·C86·26·x4-15=1 792x-11,
T9=(-1)8·C88·28·x4-20=256x-16,
即T1=x4,T3=112x-1,T5=1 120x-6,
T7=1 792x-11,T9=256x-16.
(2)由Tr+1=(-1)r·C8r·2r·x4-52r知,系数的绝对值最大,即C8r·2r最大,
故C8r·2r≥C8r+1·2r+1,C8r·2r≥C8r-1·2r-1⇒18-r≥2r+1,2r≥19-r⇒
5≤r≤6.
故绝对值最大的项是第6、7项,
其中系数最大的项为T7=(-1)6·C86·26·x4-15=1 792x-11,
系数最小的项为T6=(-1)5·C85·25·x4-252=-1 792x-172.
15.D 因为51=52-1,所以512 012=(52-1)2 012=C2 0120522 012-C2 0121522 011+…-C2 0122 011521+1,
又因为52能被13整除,所以只需1+a能被13整除,因为a∈Z,0≤a≤13,所以a=12,故选D.
16.B ∵1.957=(2-0.05)7=27-C71×26×0.05+C72×25×0.052-C73×24×0.053+…=128-22.4+1.68-0.07+…≈107.21,
∴1.957≈107.故选B.
17.B 1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010=(1-90)10=(1+88)10=1+88C101+882C102+883C103+…+8810C1010=1+88(C101+88C102+882C103+…+889C1010),所以1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是1,故选B.
3.3 二项式定理与杨辉三角
基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.若(1+2)4=a+b2(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33 B.29 C.23 D.19
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=( )
A.x5 B.x5-1
C.x5+1 D.(x-1)5-1
3.(2020山东寿光现代中学高二月考)3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn= (n∈N+).
4.求3x+1x4的展开式.
题组二 二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
5.(2020山东济宁高二期末)(2x-y)4的展开式的中间项为 ( )
A.-8 B.-8xy3
C.24 D.24x2y2
6.(2020山东日照一中高二期末)(2-x)8的展开式中,x4的系数为( )
A.16 B.1 C.8 D.2
7.x+1xx8的展开式中,有理项的项数为( )
A.4 B.5 C.6 D.9
8.(2020吉林东北师大附中高二月考)若ax-1x6的展开式中常数项为-20,则a=( )
A.12 B.-12 C.1 D.-1
9.(2020湖南长沙雅礼中学高二期末)将(3+x)n(n∈N+)的展开式的各项按照x的升幂排列,若倒数第三项的系数是90,则n的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
10.(2020辽宁大连八中高二月考)在(2x+1)15的展开式中,含x5的项是展开式的第 项.
11.若x+a3xn(n∈N+)的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,且x4的系数为7,求实数a的值.
12.(2020湖北武昌实验中学高二月考)求(1+x)6(2y+1)5的展开式中x4y2的系数.
13.(2020浙江宁波高二调研)已知(1+x)n(n∈N+)的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等.
(1)求n的值和这两项的二项式系数;
(2)求(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展开式中,含x2的项的系数(结果用数字表示).
题组三 二项式系数之和及项的系数之和
14.(2019北京人大附中高二调研)在x+3xn(n∈N+)的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中的常数项为( )
A.18 B.12 C.9 D.6
15.(2020浙江温州中学高二月考)若x+2xn(n∈N+)的展开式中,各项系数的和为243,则该展开式中含x的项的系数为( )
A.1 B.5 C.10 D.20
16.(2019山东烟台一中高二月考)若(3-2x)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则a1-a2+a3等于( )
A.98 B.28 C.26 D.-98
17.(2020吉林延边二中高二月考)若(1-3x)2 018=a0+a1x+…+a2 018x2 018,x∈R,则a1×3+a2×32+…+a2 018×32 018的值为( )
A.22 018-1 B.82 018-1 C.22 018 D.82 018
18.在x-1xn(n∈N+)的展开式中,若奇数项的二项式系数之和为32,求x4的系数.
19.(2020广西柳州高级中学高二期中)已知(2x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.
题组四 杨辉三角与二项式系数的性质
20.(2019吉林长春高二期末)如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和依次排成一列数,则该列数的第10项为( )
A.55 B.89 C.120 D.144
21.(1+x)2n(n∈N+)的展开式中,系数最大的项是( )
A.第n2+1项 B.第n项
C.第n+1项 D.第n项与第n+1项
22.(2020辽宁师范大学附属中学高二期末)在如图所示的三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6,则这一行是第 行(填行数).
第0行
1
第1行
1 1
第2行
1 2 1
第3行
1 3 3 1
第4行
1 4 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
……
……
23.(2020浙江杭州第二中学期末)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为1n(n∈N+,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,……,则第10行第4个数字(从左往右数)为 .
11
12 12
13 16 13
14 112 112 14
15 120 130 120 15
……
24.(2020山东师范大学附属中学高二期末)2x2+1x6的展开式中,常数项为 ,系数最大的项是 .
25.在2x3+1x12的展开式中.求:
(1)所有项的系数和;
(2)x4的系数;
(3)系数最大的项.
能力提升练
题组一 二项展开式的特定项及项的系数
1.(2019山东泰安一中高二模拟,)若x-1xn(n∈N+)的展开式的第m项为常数项,则m,n应满足( )
A.2n=3(m-1) B.2n=3m
C.2n=3(m+1) D.2n=m
2.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二期末,)(x2-2x-3)(2x-1)6的展开式中,x3的系数为( )
A.348 B.88 C.-232 D.-612
3.(2020山东德州高二期末,)(3x+32)100的展开式中,系数为有理数的共有( )
A.50项 B.17项 C.16项 D.15项
4.(2019广东实验中学高三月考,)在(x2+2x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 .
题组二 二项式系数之和及项的系数之和
5.(2019上海华师大二附中高二期中,)若(x+3y)n(n∈N+)的展开式的各项系数之和等于(7a+b)10的展开式的所有二项式系数之和,则n的值为( )
A.15 B.10 C.8 D.5
6.(2020山东章丘四中高二月考,)设(2-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是( )
A.665 B.729 C.728 D.63
7.(2020海南中学高二期末,)设(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+…+a2 019x2 019,则a12+a222+…+a2 01922 019的值为( )
A.2 B.0 C.-1 D.1
8.(2020广西桂林高二期末,)(2x-3)1+1x6的展开式中剔除常数项后的各项系数之和为( )
A.-55 B.-61 C.-63 D.-73
9.(2020北师大附中高二期末,)已知(x+2)n(n∈N+)=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,且a1=6,则a1+a2+…+an=( )
A.128 B.127 C.96 D.63
10.(2019浙江杭州高考模拟,)若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0= ,a0+a2+…+a8= .
题组三 二项式系数的性质
11.(2020安徽黄山高二质量检测,)已知1-x2n(n∈N+)的展开式中所有项的系数和等于1256,则展开式中项的系数的最大值是( )
A.72 B.358 C.7 D.70
12.(2020河南郑州外国语学校高二模拟,)已知(2m+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂的项的系数之和为64,则实数m=( )
A.74 B.72 C.4 D.7
13.(多选)(2020辽宁鞍山高二期末,)在(1-x)2 017的展开式中,有下列四个命题,其中为真命题的是( )
A.非常数项系数的绝对值的和是1
B.系数最大的项是第1 009项
C.偶数项的系数和是22 016
D.当x=2 018时,(1-x)2 017除以2 018的余数为1
14.(2020辽宁盘锦高二期末,)在x-2x28的展开式中:
(1)求所有的有理项;
(2)系数的绝对值最大的项是第几项?并求系数最大的项和系数最小的项.
题组四 二项式定理的应用
15.(2020辽宁阜新高二调研,)设a∈Z,且0≤a≤13,若512 012+a能被13整除,则a=( )
A.0 B.1 C.11 D.12
16.(2020湖南衡阳高二期末,)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107 C.108 D.109
17.(2019江西九江高二期末,)1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是( )
A.2 B.1 C.86 D.87
答案全解全析
3.3 二项式定理与杨辉三角
基础过关练
1.B
2.B
5.D
6.B
7.B
8.C
9.B
14.C
15.C
16.D
17.B
20.A
21.C
1.B ∵(1+2)4=C40(2)0+C41(2)1+C42(2)2+C43(2)3+C44(2)4=17+122=a+b2,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.B 逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故选B.
3.答案 4n-1
解析 3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn=Cn0+3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn-1=(1+3)n-1=4n-1.
4.解析 解法一:3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)3·1x+C42(3x)2·1x2+C43·3x·1x3+C44·1x4=81x2+108x+54+12x+1x2.
解法二:3x+1x4=(3x+1)4x2
=1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)
=81x2+108x+54+12x+1x2.
5.D 由题意得,展开式的中间项为第3项,即为C42(2x)2(-y)2=24x2y2,故选D.
6.B (2-x)8的展开式的通项公式为Tr+1=C8r·28-r·(-x)r=C8r·28-r·(-1)r·xr2(r=0,1,2,…,8),
当r2=4,即r=8时,T9=C88·20·(-1)8·x4=x4,即x4的系数为1,故选B.
7.B x+1xx8的展开式的通项公式为Tr+1=C8rx8-52r(r=0,1,…,8),令8-52r为整数,则r可取0,2,4,6,8,故有5项为有理项,故选B.
8.C ax-1x6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r(-1)ra6-rx6-r-r=C6r(-1)ra6-r·x6-2r(r=0,1,…,6),令6-2r=0,得r=3,所以常数项为C63(-1)3a3x0=-20a3=-20,解得a=1,故选C.
9.B 依题意,得Cnn-2·32=90,即Cnn-2=10,解得n=5(n=-4舍去).故选B.
10.答案 11
解析 (2x+1)15的展开式的通项公式为Tr+1=C15r(2x)15-r(r=0,1,2,…,15),令15-r=5,得r=10,所以含x5的项是展开式的第11项.
11.解析 易知n=8,则x+a3x8=(x+ax-13)8,其展开式的通项公式为Tk+1=C8kx8-k(ax-13)k=C8kakx8-43k(k=0,1,2,…,8),令8-43k=4,得k=3,所以T4=C83a3x4,由C83a3=7得a=12.
12.解析 (1+x)6(2y+1)5的展开式中含x4y2的项为C64x4C53(2y)2,其系数为C64C5322=600.
13.解析 (1)易知Cn3=Cn7,∴n=10,∴C103=C107=120.
(2)含x2的项的系数为C32+C42+…+C122=C133-C33=285.
14.C 令x=1,可得各项系数之和M=(1+3)n=4n,各项二项式系数之和N=2n,又M+N=4n+2n=72,所以n=3,所以x+3xn=x+3x3,其通项公式为Tr+1=C3r(x)3-r3xr=3rC3rx32-32r(r=0,1,2,3),令32-32r=0,解得r=1,所以展开式中的常数项为31C31=9.故选C.
15.C 令x=1,得(1+2)n=3n=243,解得n=5,则x+2x5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r·(x12)5-r·(2x-1)r=2r·C5r·x52-32r(r=0,1,2,…,5),令52-32r=1,解得r=1,故该展开式中含x的项的系数为21C51=10.故选C.
16.D 当x=0时,a0=27;当x=-1时,a0-a1+a2-a3=53=125,∴a1-a2+a3=27-125=-98,故选D.
17.B 令x=0,得a0=1;令x=3,得a0+a1×3+a2×32+…+a2 018×32 018=(1-9)2 018=82 018,所以a1×3+a2×32+…+a2 018×32 018=82 018-a0=82 018-1.故选B.
18.解析 由题意可知,奇数项的二项式系数之和为2n-1=32,解得n=6,
∴该式为x-1x6.
x-1x6的展开式的通项公式为Tk+1=C6k·x6-k·-1xk=C6k·(-1)k·x6-2k(k=0,1,2,…,6),
令6-2k=4,得k=1,因此,展开式中x4的系数为C61·(-1)1=-6.
19.解析 令x=1,得(2+2)4=a0+a1+a2+a3+a4;令x=-1,得(-2+2)4=a0-a1+a2-a3+a4,故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)×(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+2)4×(-2+2)4=(2-4)4=16.
20.A 设这列数为a1,a2,a3,…,由题意,可知a1=1,a2=1,a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,a6=3+5=8,a7=5+8=13,a8=8+13=21,a9=13+21=34,a10=21+34=55,故选A.
21.C 在(1+x)2n(n∈N+)的展开式中,第r+1(r∈N)项的系数与该项的二项式系数相同,易知该式的展开式共有2n+1项,所以第n+1项的系数最大,故选C.
22.答案 98
解析 三角形数阵中,第n行的数由二项式系数Cnk,n∈N,k∈N组成.如果第n行中有Cnk-1Cnk=kn-k+1=45,CnkCnk+1=k+1n-k=56,
那么9k-4n=4,5n-11k=6,解得n=98,k=44,
因此答案为98.
23.答案 1840
解析 将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成分数1(n+1)Cnr即可得到“莱布尼茨调和三角形”,杨辉三角中,第10行第4个数字为C93=84,所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为110×84=1840.
24.答案 60;240x6
解析 2x2+1x6的展开式的通项公式为Tk+1=C6k·(2x2)6-k·1xk=C6k·26-k·x12-3k(k=0,1,2,…,6),
令12-3k=0,得k=4,所以展开式中的常数项为C64×22=60.
设ak=C6k·26-k(k∈N,k≤6)最大,
则ak≥ak-1,ak≥ak+1,即C6k·26-k≥C6k-1·27-k,C6k·26-k≥C6k+1·25-k,
解得43≤k≤73,∵k∈N,∴k=2,∴展开式中系数最大的项是C62·24·x6=240x6.
25.解析 (1)令x=1,可得该展开式中所有项的系数和为312.
(2)该展开式的通项公式为Tk+1=C12k·212-k·x36-4k,k=0,1,2,…,12,令36-4k=4,解得k=8,
故x4的系数为C12824=7 920.
(3)设第r+1(r∈N,r≤12)项的系数最大,
则C12r·212-r≥C12r-1·213-r,C12r·212-r≥C12r+1·211-r,
解得103≤r≤133,又r∈N,所以r=4,
故该展开式中系数最大的项为C124(2x3)8·1x4=126 720x20.
能力提升练
1.A
2.A
3.B
5.D
6.A
7.C
8.D
9.D
11.C
12.B
13.BD
15.D
16.B
17.B
1.A 由题意,x-1xn(n∈N+)的展开式的第m项为Tm=Cnm-1xn-(m-1)(-1)m-1·x-12(m-1)=(-1)m-1Cnm-1xn-32m+32(m=1,2,…,n,n+1),由第m项为常数项,可得n-32m+32=0,所以m,n应满足2n=3(m-1),故选A.
2.A (x2-2x-3)(2x-1)6=x2(2x-1)6-2x(2x-1)6-3(2x-1)6=x2(1-2x)6-2x(1-2x)6-3(1-2x)6,所以结合二项式定理可知x3的系数为C61×(-2)1+(-2)×C62×(-2)2+(-3)×C63×(-2)3=-12-120+24×20=348.故选A.
3.B 展开式的通项公式为Tr+1=C100r(3x)100-r·(32)r=C100rx100-r·350-r2·213r(r=0,1,2,…,100),故r需为6的倍数,0~100内6的倍数共有17个,故选B.
4.答案 60
解析 在(x2+2x+y)5的展开式中第3项T3=C52(x2+2x)3y2,又(x2+2x)3的展开式的通项公式为T'k+1=C3k(x2)3-k(2x)k=C3k·2k·x6-k(k=0,1,2,3),令6-k=5,解得k=1,则T'2=3×2x5,则x5y2的系数为C52×3×2=60.
5.D 设(x+3y)n(n∈N+)的展开式的各项系数之和为m,令x=y=1,得m=(1+3)n=4n,设(7a+b)10的展开式的所有二项式系数之和为k,则k=C100+C101+C102+…+C1010=210,因为m=k,所以4n=210,解得n=5.故选D.
6.A 由二项式定理可知a0,a2,a4,a6均为正数,a1,a3,a5均为负数,即|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(2+1)6=729,
令x=0,则a0=26=64,所以|a1|+|a2|+…+|a6|=665,故选A.
7.C 令x=0,可得a0=1,
令x=12,可得0=1+a12+a222+…+a2 01922 019,
∴a12+a222+…+a2 01922 019=-1,故选C.
8.D 令x=1,得(2x-3)1+1x6的展开式中各项系数之和为-26=-64,而常数项为-3×C60+2×C61=9,所以(2x-3)1+1x6的展开式中剔除常数项后的各项系数之和为-64-9=-73,故选D.
9.D 由题意,(x+2)n=[1+(x+1)]n(n∈N+)的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr(x+1)r(r=0,1,2,…,n),令r=1,可得T2=Cn1(x+1)1,即a1=Cn1=6,解得n=6,所以(x+2)6=[1+(x+1)]6,则a0=C60=1,令x+1=1,即x=0,则a0+a1+a2+…+an=26=64,所以a1+a2+…+an=63.
10.答案 -27;-940
解析 令x=0,得(-3)3=a0,所以a0=-27,
令x=1,得(-2)3×35=a0+a1+a2+…+a8,
令x=-1,得(-4)3×(-1)5=a0-a1+a2-…+a8,
两式相加得2(a0+a2+…+a8)=-1 880,
所以a0+a2+…+a8=-940.
11.C 令x=1,得1-12n=1256,所以n=8,
所以1-x28的展开式的通项公式为Tr+1=C8r-x2r(r=0,1,2,…,8),要使展开式中项的系数最大,则r必为偶数,又T1=C80-x20=1,T3=C82-x22=7x2,T5=C84-x24=358x4,T7=C86·-x26=716x6,T9=C88-x28=1256x8,所以T3的系数最大,故选C.
12.B 设(2m+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.
令x=1,得(2m+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5①;
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5②.
①-②,得16(2m+1)=2(a1+a3+a5)=2×64,解得m=72,故选B.
13.BD 对于A,(1-x)2 017的展开式中,常数项为1,令x=-1,得所有项系数的绝对值的和为(1+1)2 017=22 017,所以展开式中非常数项系数的绝对值的和为22 017-1,所以A中命题是假命题;对于B,展开式的通项公式为Tr+1=C2 017r·(-x)r=(-1)rC2 017rxr(r=0,1,2,…,2 017),所以系数最大的项是第1 009项,所以B中命题是真命题;对于C,令x=1,得(1-1)2 017=0,易知展开式中奇数项系数为正,偶数项系数为负,故展开式中偶数项的系数和是-22 016,所以C中命题是假命题;对于D,当x=2 018时,(1-2 018)2 017=1-C2 0171×2 018+C2 0172×2 0182-…-2 0182 017,展开式中不含2 018的项是1,所以当x=2 018时,(1-x)2 017除以2 018的余数为1,所以D中命题是真命题.故选BD.
14.解析 (1)x-2x28的展开式的通项公式为Tr+1=C8r·(x)8-r·-2x2r=(-1)r·C8r·2r·x4-52r(r=0,1,2,…,8).
当4-52r为整数时,所得项为有理项,故当r=0,2,4,6,8时成立,
分别为T1=(-1)0·C80·20·x4=x4,
T3=(-1)2·C82·22·x4-5=112x-1,
T5=(-1)4·C84·24·x4-10=1 120x-6,
T7=(-1)6·C86·26·x4-15=1 792x-11,
T9=(-1)8·C88·28·x4-20=256x-16,
即T1=x4,T3=112x-1,T5=1 120x-6,
T7=1 792x-11,T9=256x-16.
(2)由Tr+1=(-1)r·C8r·2r·x4-52r知,系数的绝对值最大,即C8r·2r最大,
故C8r·2r≥C8r+1·2r+1,C8r·2r≥C8r-1·2r-1⇒18-r≥2r+1,2r≥19-r⇒
5≤r≤6.
故绝对值最大的项是第6、7项,
其中系数最大的项为T7=(-1)6·C86·26·x4-15=1 792x-11,
系数最小的项为T6=(-1)5·C85·25·x4-252=-1 792x-172.
15.D 因为51=52-1,所以512 012=(52-1)2 012=C2 0120522 012-C2 0121522 011+…-C2 0122 011521+1,
又因为52能被13整除,所以只需1+a能被13整除,因为a∈Z,0≤a≤13,所以a=12,故选D.
16.B ∵1.957=(2-0.05)7=27-C71×26×0.05+C72×25×0.052-C73×24×0.053+…=128-22.4+1.68-0.07+…≈107.21,
∴1.957≈107.故选B.
17.B 1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010=(1-90)10=(1+88)10=1+88C101+882C102+883C103+…+8810C1010=1+88(C101+88C102+882C103+…+889C1010),所以1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是1,故选B.
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