高中数学人教版新课标A选修2-11.4全称量词与存在量词免费当堂达标检测题

1.4　全称量词与存在量词

1.4.1　全称量词

1.4.2　存在量词

基础过关练

题组一　对全称命题、特称命题的理解

1.下列命题中全称命题的个数是(　　)

①任意一个自然数都是正整数;

②所有的素数都是奇数;

③有的等差数列也是等比数列;

④三角形的内角和是180°.

A.0 B.1 C.2 D.3

2.下列命题不是“∃x∈R,x2>3”的另一种表述的是(　　)

A.有一个x∈R,使得x2>3成立

B.对有些x∈R,使得x2>3成立

C.任选一个x∈R,使得x2>3成立

D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立

3.“a∥α,则a平行于平面α内的任一直线”是(　　)

A.全称命题 B.特称命题

C.不是命题 D.真命题

4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为　　　　　　　　　　　　　　. 

5.用全称量词或存在量词表示下列语句:

①不等式x2+x+1>0恒成立;

②当x为有理数时,x2+x+1也是有理数;

③方程3x-2y=10有整数解.

题组二　全称命题、特称命题的真假判定

6.下列命题中,既是真命题又是全称命题的是(　　)

A.对任意实数a,b,都有a2+b2-2a-2b+2<0

B.梯形的对角线不相等

C.∃x0∈R,=x0

D.对数函数在定义域上是单调函数

7.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列命题中为假命题的是(　　)

A.存在x∈R, f(x)≤f(x0)

B.存在x∈R, f(x)≥f(x0)

C.任意x∈R, f(x)≤f(x0)

D.任意x∈R, f(x)≥f(x0)

8.下列命题为真命题的是(　　)

A.∀x∈R,cos x<2

B.∃x∈Z,log2(3x-1)<0

C.∀x>0,3x>3

D.∃x∈Q,方程x-2=0有解

9.命题p:∃x0∈R,+2x0+5<0是　　　　(填“全称命题”或“特称命题”),它是　　　　命题(填“真”或“假”). 

10.下列命题:

①存在x<0,使|x|>x;

②对于一切x<0,都有|x|>x;

③已知an=2n,bn=3n,对于任意n∈N*,都有an≠bn;

④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},对于任意n∈N*,都有A∩B=⌀.

其中,所有真命题的序号为　　　　. 

题组三　根据命题的真假求参数的取值范围

11.若∃x∈R,x+=m,则实数m的取值范围是　　　　　　. 

12.已知函数f(x)=x2+mx+1,若命题“∃x>0, f(x)<0”为真,则m的取值范围是　　　　. 

13.(2019湖北武汉部分市级示范性高中高三联考)已知命题p:∀x∈R,ax2+ax+1≥0,命题q:|2a-1|≤3.

(1)若命题p是真命题,求实数a的取值范围;

(2)若p∨q是真命题,p∧q是假命题,求实数a的取值范围.

能力提升练

一、选择题

1.(2019福建莆田高二期中,★★☆)下列命题中的假命题是(　　)

A.∀x∈R,2x-1>0     B.∀x∈N*,(x-1)2>0

C.∃x0∈R,ln x0<1 D.∃x0∈R,tan x0=2

2.(★★☆)下列命题中的假命题是(　　)

A.∃x0∈R,3-8x0+9=0

B.∃x0∈(0,1),lg x0>ln x0

C.∀x∈(0,+∞),>

D.∀x∈R,x2-3x+4>0

3.(2018宁夏育才中学高二期末,★★☆)若命题“∀x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,则k的取值范围是(　　)

A.-4≤k≤0 B.-4≤k<0

C.-4<k≤0 D.-4<k<0

4.(★★★)若命题“存在x∈R,使x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.a>3或a<-1 B.a≥3或a≤-1

C.-1<a<3       D.-1≤a≤3

二、填空题

5.(2019广东潮州高三第二次模拟,★★☆)已知a∈R,命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,若命题p∧q为真命题,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

6.(★★☆)已知函数f(x)=x2+m,g(x)=,若对任意x1∈[-1,3],存在x2∈[0,2],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是　　　　. 

7.(2020广东东莞高二期末,★★☆)已知命题“∀x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0”为真命题,则a的取值范围为　　　　. 

三、解答题

8.(2019内蒙古赤峰高二期末,★★☆)设命题p:对任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,命题q:存在x∈[-1,1],使得不等式x2-x+m-1≤0成立.

(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;

(2)若p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数m的取值范围.

9.(★★★)已知a>且a≠1,命题p:函数f(x)=log(2a-1)x在其定义域上是减函数;命题q:函数g(x)=的定义域为R,如果p∨q为真,试求a的取值范围.

10.(★★★)设集合A={(x,y)|(x-4)2+y2=1},B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1},若命题“∃t0∈R,A∩B≠⌀”是真命题,求实数a的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.D　命题①②含有全称量词,而命题④可以叙述为“所有的三角形的内角和都是180°”,故有三个全称命题,命题③是特称命题.

2.C　选项C是全称命题,故错误.

3.A　该命题是全称命题,且是假命题.

4.答案　∃x0<0,使得(1+x0)(1-9x0)>0

5.解析　①对任意实数x,不等式x2+x+1>0恒成立.

②对任意有理数x,x2+x+1是有理数.

③存在一对整数x0,y0,使3x0-2y0=10成立.

6.D　A是全称命题,且a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故A是假命题;B中隐含量词“所有的”,是全称命题,但梯形中只有等腰梯形的对角线相等,故B是假命题;C是特称命题;D是全称命题且是真命题.

7.C　f(x)=ax2+bx+c=a+(a>0),

由题意知2ax0+b=0,∴x0=-,当x=x0时,函数f(x)取得最小值,

∴∀x∈R, f(x)≥f(x0),从而A,B,D为真命题,C为假命题.

8.A　A中,由于函数y=cos x的最大值是1,所以A是真命题;B中,log2(3x-1)<0⇔0<3x-1<1⇔<x<,所以B是假命题;C中,当x=1时,31=3,所以C是假命题;D中,x-2=0⇔x=∉Q,所以D是假命题.故选A.

9.答案　特称命题;假

解析　命题p:∃x0∈R,+2x0+5<0是特称命题.因为+2x0+5=(x0+1)2+4>0恒成立,所以命题p为假命题.

10.答案　①②③

解析　命题①②显然为真命题;③由于an-bn=2n-3n=-n<0,所以∀n∈N*,都有an<bn,即an≠bn,故为真命题;④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},如n=1,2,3时,A∩B={6},故为假命题.

11.答案　(-∞,-2]∪[2,+∞)

解析　依题意得,关于x的方程x+=m有实数解,

设f(x)=x+,

由基本不等式,得当x>0时, f(x)≥2,

当x<0时, f(x)≤-2,

故f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),

故实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).

12.答案　(-∞,-2)

解析　易知函数f(x)=x2+mx+1的图象过点(0,1),

若命题“∃x>0, f(x)<0”为真,

则函数f(x)=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧,且与x轴有两个交点,所以Δ=m2-4>0,且->0,即m<-2,

所以m的取值范围是(-∞,-2).

13.解析　(1)命题p是真命题时,ax2+ax+1≥0在R上恒成立,

∴①当a=0时,有1≥0恒成立;

②当a≠0时,有

解得0<a≤4,

∴a的取值范围为[0,4].

(2)∵p∨q是真命题,p∧q是假命题,

∴p、q一真一假,

当q为真时,-1≤a≤2,

故①p真q假时,有

∴2<a≤4;

②p假q真时,有

∴-1≤a<0.

∴a的取值范围为[-1,0)∪(2,4].

能力提升练

一、选择题

1.B　 A.2x-1>0在x∈R上恒成立,是真命题;

B.当x=1时,(x-1)2=0,是假命题;

C.当x0=1时,ln x0=0<1,是真命题;

D.y=tan x在上的值域为[0,+∞),所以∃x0∈R,tan x0=2是真命题.

2.A　选项A中,Δ=64-4×3×9=-44,则方程3x2-8x+9=0无实数根,故选A.

3.C　当k=0时,有-1<0恒成立;

当k≠0时,令y=kx2-kx-1,∵y<0恒成立,∴抛物线y=kx2-kx-1开口向下,且与x轴没有公共点,∴k<0,且Δ=k2+4k<0,解得-4<k<0.

综上所述,k的取值范围为-4<k≤0.

4.D　因为命题是假命题,所以方程x2+(a-1)x+1=0没有实数根或有两个相等实数根,

所以Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.

二、填空题

5.答案　a≤-2或a=1

解析　若命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”为真命题,则1-a≥0,解得a≤1.若命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”为真命题,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.

因为p∧q是真命题,所以a≤-2或a=1.

6.答案　

解析　因为对任意x1∈[-1,3],f(x1)∈[m,9+m],所以f(x)的最小值为m.存在x2∈[0,2],使f(x1)≥g(x2)成立,只要满足g(x)在[0,2]上的最小值小于或等于m即可,而g(x)是单调递减函数,故g(x)的最小值为g(2)==,得m≥.

7.答案　(-∞,4]

解析　令f(x)=x2-ax+4,则其图象的对称轴为直线x=,

要使∀x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0恒成立,即∀x∈[1,3], f(x)min≥0.

当≤1,即a≤2时, f(x)min=f(1)=12-a+4≥0,解得a≤2;

当1<<3,即2<a<6时, f(x)min=f=-a×+4≥0,解得2<a≤4;

当≥3,即a≥6时, f(x)min=f(3)=32-3a+4≥0,无解.

综上可得a∈(-∞,4].

三、解答题

8.解析　对于p,∵2x-2≥m2-3m对任意x∈[0,1]恒成立,y=2x-2在[0,1]上的最小值为-2,∴m2-3m≤-2,解得1≤m≤2.

对于q,存在x∈[-1,1],使x2-x+m-1≤0成立,所以y=x2-x+m-1在[-1,1]上的最小值小于等于0,即-+m≤0,∴m≤.

(1)若p为真命题,则1≤m≤2.

(2)若p∧q为假命题,p∨q为真命题,则p,q一真一假.

若p为真命题,q为假命题,则

∴<m≤2;

若p为假命题,q为真命题,则∴m<1.

综上,m<1或<m≤2.

9.解析　若p为真,则0<2a-1<1,得<a<1.

若q为真,则x+|x-a|-2≥0对任意x∈R恒成立.

记h(x)=x+|x-a|-2,

则h(x)=

所以h(x)的最小值为a-2,即q为真时,a-2≥0,即a≥2.

由p∨q为真,得<a<1或a≥2,故a的取值范围为∪[2,+∞).

10.解析　易知A={(x,y)|(x-4)2+y2=1}表示平面直角坐标系中以M(4,0)为圆心,1为半径的圆,B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1}表示以N(t,at-2)为圆心,1为半径的圆,且其圆心N在直线ax-y-2=0上,如图.

若命题“∃t0∈R,A∩B≠⌀”是真命题,即两圆有公共点,则圆心M(4,0)到直线ax-y-2=0的距离不大于2,

即≤2,解得0≤a≤.

所以实数a的取值范围是0≤a≤.