高中人教版新课标A第一章 常用逻辑用语综合与测试免费巩固练习

专题强化练1　简易逻辑的综合问题

一、选择题

1.(2019天津新华中学高三一模,★★☆)已知命题p:>,命题q:∀x∈R,ax2+ax+1>0,则p成立是q成立的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件       D.既不充分也不必要条件

2.(2018江西莲塘一中质量检测,★★☆)已知命题p:设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件;命题q:若a·b<0,则a,b的夹角为钝角.在命题①p∧q;②(¬p)∨(¬q);③p∨(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(　　)

A.①③ B.①④ 

C.②③ D.②④

3.(2019湖南师大附中高三模拟,★★☆)命题p:∀x∈R,x2-4x+2m≥0 (其中m为常数),则“m≥1”是“命题p为真命题”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.(2020广东汕头金山中学高三期末,★★☆)已知命题p:∃x0∈[0,π],使得sin x0<a,命题q:∀x∈,+1>a,若p∧q为真命题,则a的取值范围是(　　)

A. B.(0,3) 

C. D.(1,3)

5.(2019天津北辰高考模拟,★★☆)下列说法正确的是(　　)

A.若¬(p∧q)为真命题,则p,q均为假命题

B.命题“∀x∈R,ax+b≤0”的否定是“∃x0∈R,ax0+b≥0”

C.等比数列{an}的前n项和为Sn,“若a1>0,则S2 019>S2 018”的否命题为真命题

D.“平面向量a与b的夹角为钝角”的充要条件是“a·b<0”

6.(2019江西南昌师大附中三模,★★☆)“∀n∈N*,nlg a<

(n+1)lg aa(a>1)”的一个必要不充分条件是(　　)

A.a>0   B.a>1 

C.a>2    D.a>3

二、填空题

7.(2018湖北孝感八校联考,★★☆)已知命题p:∀x∈R,x2+1>0,命题q:∀x∈R,sin x+cos x<a,且p∧q为假命题,则实数a的取值范围为　　　　. 

8.(2018豫南九校高三下学期联考改编,★★★)给出下列结论:

①若x>0,y>0,则“x+2y=2”的一个充分不必要条件是“x=2且y=1”;

②∃a>1,x>0,使得ax<logax;

③对于命题p:∃x0∈R,使得x0+>2,则¬p:∀x∈R,均有x+≤2;

④在锐角△ABC中,若sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则必有A=2B.

其中正确结论的序号为　　　　. 

9.(2019江西上饶高二期中,★★★)设命题p:实数a满足不等式3a≤9;命题q:曲线f(x)=3x2+9(3-a)x+27与x轴至多有一个交点.已知“p∧q”为真命题,记为r.命题t:a2-a+m>0,若r是¬t的必要不充分条件,则正整数m的值为　　　　. 

三、解答题

10.(2019安徽滁州高二期末,★★★)已知p:m<a+1<m2+2;q:函数f(x)=log2x-a在区间上有零点.

(1)若m=1,求p∨q为真命题时实数a的取值范围;

(2)若p成立是q成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.A　 对于命题p,解不等式>可得0<a<4,所以p成立时,0<a<4.

对于命题q,当a=0时,命题显然成立;

当a≠0时,有解得0<a<4.

所以q成立时,0≤a<4.

故p成立是q成立的充分不必要条件.

2.C　a>2且b>2⇒a+b>4,反之由a+b>4不一定得到a>2,b>2,如a=1,b=5,因此命题p为真命题;a·b<0,则a,b的夹角为钝角或平角,所以命题q为假命题,从而p∧q,(¬p)∨q为假命题,(¬p)∨(¬q),p∨(¬q)为真命题.故选C.

3.B　 若命题p为真,则对任意x∈R,x2-4x+2m≥0恒成立,所以Δ=16-8m≤0,即m≥2,所以m≥1⇒/m≥2,m≥2⇒m≥1,故“m≥1”是“命题p为真命题”的必要不充分条件.

4.A　因为p∧q为真命题,所以p,q均为真命题.

对于命题p,x0∈[0,π]时,sin x0∈[0,1],所以a>0.

对于命题q,因为x∈,所以∈,+1∈,所以a<.

所以a的取值范围是.

5.C　A选项,¬(p∧q)为真,则p∧q为假,即p,q中至少有一个是假命题,可知A错误;

B选项,原命题的否定是“∃x0∈R,ax0+b>0”,可知B错误;

C选项,“若a1>0,则S2 019>S2 018”的逆命题为“若S2 019>S2 018,则a1>0”,

S2 019=S2 018+a2 019>S2 018⇒a2 019=a1q2 018>0,∵q2 018>0,∴a1>0,∴原命题的逆命题为真命题,又逆命题与否命题真假性相同,所以原命题的否命题为真命题,可知C正确;

D选项,当a·b<0时,a与b的夹角可能为π,可知D错误.

6.A　由nlg a<(n+1)lg aa得

nlg a<a(n+1)lg a,

∵a>1,∴lg a>0,∴n<a(n+1),即a>,∵=1-<1,

∴a>1时,不等式nlg a<(n+1)lg aa(a>1)恒成立,则a>0是其必要不充分条件,a>1是其充要条件,a>2,a>3均是其充分不必要条件.

二、填空题

7.答案　(-∞,2]

解析　显然命题p是真命题.由于p∧q为假命题,故q为假命题,即∃x∈R,使得sin x+

cos x≥a,即2sin≥a,故a≤2.

8.答案　①②③

解析　对于①,由于x>0,y>0,所以x+2y≥2,当且仅当x=2y时取等号.故“x=2且y=1”是“x+2y=2”的充分不必要条件,故①正确;对于②,取a=1.1,x=1.21,不等式成立,故②正确;易知③正确;对于④,由题意,得sin(A+C)+2sin Bcos C=2sin A cos C+cos Asin C,所以2sin Bcos C=sin Acos C,因为在锐角三角形中,cos C≠0,所以2sin B=sin A,因为

sin B≠0,所以cos B≠1,所以2sin B cos B≠sin A,即sin 2B≠sin A,所以A≠2B,故④错误.综上,答案为①②③.

9.答案　1

解析　因为3a≤9,所以a≤2.因为曲线f(x)=3x2+9(3-a)x+27与x轴至多有一个交点,所以Δ=81(3-a)2-4×3×27≤0,所以1≤a≤5.

因为“p∧q”为真命题,所以r:1≤a≤2.

易知¬t:a2-a+m≤0,

因为r是¬t的必要不充分条件,所以不等式a2-a+m≤0的解集为[1,2]的一个真子集,所以解得1≤m≤,从而正整数m的值为1.

三、解答题

10.解析　(1)当m=1时,p:0<a<2,

∵函数f(x)=log2x-a在区间上单调递增且有零点,

∴解得-2<a<2,

则q:-2<a<2.

∵p∨q为真命题,∴0<a<2或-2<a<2,解得-2<a<2.

故实数a的取值范围是(-2,2).

(2)∵p:m-1<a<m2+1,q:-2<a<2,p成立是q成立的充分条件,

∴解得-1≤m≤1,又∵p成立是q成立的不必要条件,所以不等式组中的两个不等式中的等号不能同时成立,∴m≠-1,综上,实数m的取值范围是(-1,1].