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专题19三角恒等变换公式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（解析版）学案
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这是一份专题19三角恒等变换公式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（解析版）学案，共18页。学案主要包含了关键能力，教学建议，自主梳理，高频考点+重点题型等内容，欢迎下载使用。
专题19三角恒等变换公式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型
一、关键能力
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。
会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
能运用上述公式进行简单的恒等变换。
二、教学建议
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题．预测2022年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等．题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档.
三、自主梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos α cos β＋sinα sin β
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ
S(α－β)
sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosα sinβ
T(α－β)
tan(α－β)＝；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
2.二倍角公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α
tan 2α＝
四、高频考点+重点题型
考点一、两角和差的正弦余弦正切公式
例1-1（公式逆用）
设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】D
【解析】由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈[0，]为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b。
例1-2（公式正用）
（2021·安徽高三其他模拟（文））已知，为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由已知求出，再利用差的正切公式可求.
【详解】
因为，为锐角，所以.所以，，
又，
则.
故选：C.
对点训练1.(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】D
【解析】由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2.
对点训练2．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B.
对点训练3.（2021·广东高三其他模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________.
【答案】
【解析】
根据题意得到，，结合两角差的正切公式，即可求解.
【详解】
由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，，
所以.
故答案为：.
例1-3（角的变换）
（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由正切的二倍角公式求得，再由可求.
【详解】
因为，
所以
.
故选：A.
对点训练1.（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．
【答案】
【解析】
由题意知：，，由，得，
，故答案为：.
例1-4（变形用）
（1）（2021·贵溪市实验中学高二期末）的值是______.
（2）已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围________．
【答案】 【答案】[－，]
【解析】（1）由进行转化，可得答案.
【详解】
解：由
故答案为：.
（2）【解析】由题知sin αcos β＝，①
设cos αsin β＝t，②
①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝＋t，
即sin(α＋β)＝＋t，
①－②得sin αcos β－cos αsin β＝－t，
即sin(α－β)＝－t.
∵－1≤sin(α±β)≤1，
∴
∴－≤t≤.
对点训练1.（2021·高唐县第一中学高一月考）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，
联立方程组，可得，
又由.
对点训练2.（2021·福建省南安市侨光中学）在中，，，下列各式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】，，
，，选项A，B错误；
，
①，
又②，
联立①②解得，，故选项C，D正确:
考点二、二倍角公式
例2-1（正用和逆用）
（2021·江苏淮安市·高三三模）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a的范围；利用二倍角公式化简b、c，结合函数单调性，可得到b、c的大致范围；从而，可以比较a、b、c的大小.
【详解】
因为，所以有，
即，所以；
因为，而，
所以有，所以，即；
因为，而
所以；
显然，，而，所以，即
所以
故选：D
对点训练1.(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( )
A. B．
C. D.
【答案】A
【解析】∵3cos 2α－8cos α＝5，
∴3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故选A.
例2-2（降次公式）
已知α为第三象限角，且sin2α－2＝2cos 2α，则sin的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【答案】D
【解析】sin2α－2＝2cos 2α⇒sin2α－2＝2(1－2sin2α)⇒sin α＝±，由α为第三象限角，所以sin α＝－，cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝1－2sin2α＝－，
所以sin＝(sin 2α－cos 2α)＝.
对点训练1.已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝( )
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】因为sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，解得sin A＝.
因为A为钝角，
所以cos A＝－＝－ ＝－.
由sin B＝，且B为钝角，
可得cos B＝－＝－ ＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
又A，B都为钝角，即A，B∈，
所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝.故选C.
考点三、公式的综合应用
例3-1（給值求值）
（2019·江苏高考真题）已知，则的值是_____.
【答案】.
【解析】
由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
例3-2（给角求值）
－＝
答案：－4
解析：－＝－＝
＝＝＝－4．
例3-3（给值求角）
已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．
答案：－
解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，∴0<α<．
又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1．
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－．
例3-4（化简解析式）
设函数f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋λ的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的最值.
【解析】 (1)f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ
＝sin 2ωx－cos 2ωx＋λ
＝2sin＋λ，
因为图象关于直线x＝π对称，
所以2πω－＝＋kπ(k∈Z)，
所以ω＝＋(k∈Z)，又ω∈，
令k＝1时，ω＝符合要求，
所以函数f(x)的最小正周期为＝.
(2)因为f＝0，
所以2sin＋λ＝0，则λ＝－.
所以f(x)＝2sin－.
由0≤x≤π，知－≤x－≤π，
∴当x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值－1－.
当x－＝，即x＝π时，f(x)取最大值2－.
对点训练1.已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝．
(1)求sin α的值； (2)求β的值．
解析：(1)∵tan＝，∴tan α＝＝＝，
由解得sin α＝．
(2)由(1)知cos α＝＝ ＝，又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝，∴sin(β－α)＝＝ ＝，
于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝×＋×＝．
又β∈，∴β＝．
对点训练2. 化简：sin 50°(1＋tan 10°)＝________．
答案：1
解析：sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°×
＝sin 50°×
＝＝＝＝1．
对点训练3.已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解析：(1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin．
所以f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)由x∈得2x－∈，
则sin∈，
即函数f(x)＝sin∈．
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，
最小值为－．
对点训练4.(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
巩固训练
一、单项选择题
1． 函数y＝sin2x－sin2x的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：y＝sin2x－sin2x＝－sin2x＝－sin2x－cos2x＝－sin(2x＋φ)，其中φ为参数，所以周期T＝＝π．
2． 若sin＝，则cos2α的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：cosα＝1－2sin2＝1－2×＝，cos2α＝2cos2α－1＝2－1＝－．
3． 在ΔABC中，2cosBsinA＝sinC，则ΔABC的形状一定是__________．
A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D.等边三角形
答案：B
解析：在ΔABC中，C＝π－(A＋B)，
∴ 2cosBsinA＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB．
∴ －sinAcosB＋cosAsinB＝0．即sin(B－A)＝0．∴ A＝B，故ΔABC的形状一定是等腰三角形．
4． 在ΔABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，
∴ tan(A＋B)＝＝－．又0＜A＋B＜π，
∴ A＋B＝π，∴ C＝．
5． 若＝，则tan2α的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：由＝，得2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα，即tanα＝－3．则tan2α＝＝＝．
6． sin18°cos36°的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：原式＝＝＝＝．
二、多项选择题
7． 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数， ，则常数θ的可能值为（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
解析：依题意，f(－x)＝f(x)恒成立，所以sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)．即sin(θ－x)－sin(x＋θ)＝cos(x－θ)－cos(x＋θ)成立．
所以sinθcosx－cosθsinx－sinxcosθ－cosxsinθ＝(cosxcosθ＋sinxsinθ－cosxcosθ＋sinxsinθ)，
所以2cosθsinx＋2sinxsinθ＝0对任意x成立．又sinx≠0，所以cosθ＋sinθ＝0，
tanθ＝－，所以θ＝kπ－(k∈Z)．
8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，则sin的可能值为（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，所以cos β＝或cos β＝－.
所以sin＝－sin＝－sin βcos －cos βsin ＝×＋×＝.
或sin＝－sin＝－sin βcos －cos βsin ＝×-×＝-.
三、填空题
9． 函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·|cosx|的最大值为__________．
答案：
解析：当cosx＞0时，f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝sin2x－2cos2x－2
＝sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝，此时f(x)的最大值为－2＝．
当cosx＜0时，f(x)＝(3sinx－4cosx)(－cosx)＝4cos2x－3sinxcosx＝2cos2x＋2－sin2x
＝sin(θ－2x)＋2，其中tanθ＝，此时f(x)的最大值为＋2＝．由以上可知f(x)的最大值为．
10．在△ABC中，若tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是________．
答案：
解析：由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
所以A＋B＝，则C＝，cosC＝．
11．已知A(xA，yA)是单位圆(圆心为坐标原点O，半径为1)上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B(xB，yB)，已知m>0，若myA－2yB的最大值为3，则m＝________．
答案：＋1
解析：myA－2yB＝msinθ－2sin(θ＋60°)＝(m－1)sinθ－cosθ，则(m－1)2＋3＝9，
而m>0，故m＝＋1．
12．已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .
答案：－
解析：∵sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，∴(sin α＋cos β)2＝，(sin β－cos α)2＝，
即sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，①sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝.②
①＋②得2＋2sin(α－β)＝，∴sin(α－β)＝－.
四、解答题
13．(1) 已知2sinβ＝sinα＋cosα，sin2γ＝2sinα·cosα．求证：cos2γ＝2cos2β；
(2) 已知5sinα＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tanβ＝0．
证明：(1) 4sin2β＝1＋2sinαcosα，
所以4sin2β＝1＋sin2γ，
所以1－sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)，即cos2γ＝2cos2β．
(2) 因为5sinα＝3sin(α－2β)，
所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，
所以5sin(α－β)·cosβ＋5cos(α－β)·sinβ＝3sin(α－β)·cosβ－3cos(α－β)·sinβ，
所以2sin(α－β)·cosβ＋8cos(α－β)·sinβ＝0，
依题意知，β≠kπ＋，α－β≠kπ＋，k∈Z．
所以tan(α－β)＋4tanβ＝0．
14．在ΔABC中，A，B，C为三个内角，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB．
(1) 若f(B)＝2，求角B；
(2) 若f(B)－m＞2恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1) f(B)＝4cosB×＋cos2B－2cosB
＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB
＝2cosBsinB＋cos2B ＝sin2B＋cos2B
＝2sin．
∵ f(B)＝2，∴ 2sin＝2，＜2B＋＜π，
∴ 2B＋＝．∴ B＝．
(2) f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立．
∵ 0＜B＜π，∴ 2sin∈[－2，2]，
∴ 2＋m＜－2．∴ m＜－ 4
专题19三角恒等变换公式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型
一、关键能力
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。
会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
能运用上述公式进行简单的恒等变换。
二、教学建议
从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考内容，但很少独立命题．预测2022年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求三角函数的值等．题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档.
三、自主梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos α cos β＋sinα sin β
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ
S(α－β)
sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosα sinβ
T(α－β)
tan(α－β)＝；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
2.二倍角公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α
tan 2α＝
四、高频考点+重点题型
考点一、两角和差的正弦余弦正切公式
例1-1（公式逆用）
设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】D
【解析】由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈[0，]为增函数，所以sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b。
例1-2（公式正用）
（2021·安徽高三其他模拟（文））已知，为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由已知求出，再利用差的正切公式可求.
【详解】
因为，为锐角，所以.所以，，
又，
则.
故选：C.
对点训练1.(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【答案】D
【解析】由已知得2tan θ－＝7，解得tan θ＝2.
对点训练2．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B.
对点训练3.（2021·广东高三其他模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记，)，则___________.
【答案】
【解析】
根据题意得到，，结合两角差的正切公式，即可求解.
【详解】
由题意，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍，可得，，
所以.
故答案为：.
例1-3（角的变换）
（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由正切的二倍角公式求得，再由可求.
【详解】
因为，
所以
.
故选：A.
对点训练1.（2019·河南鹤壁高中高考模拟（文））平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．
【答案】
【解析】
由题意知：，，由，得，
，故答案为：.
例1-4（变形用）
（1）（2021·贵溪市实验中学高二期末）的值是______.
（2）已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围________．
【答案】 【答案】[－，]
【解析】（1）由进行转化，可得答案.
【详解】
解：由
故答案为：.
（2）【解析】由题知sin αcos β＝，①
设cos αsin β＝t，②
①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝＋t，
即sin(α＋β)＝＋t，
①－②得sin αcos β－cos αsin β＝－t，
即sin(α－β)＝－t.
∵－1≤sin(α±β)≤1，
∴
∴－≤t≤.
对点训练1.（2021·高唐县第一中学高一月考）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，
联立方程组，可得，
又由.
对点训练2.（2021·福建省南安市侨光中学）在中，，，下列各式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】，，
，，选项A，B错误；
，
①，
又②，
联立①②解得，，故选项C，D正确:
考点二、二倍角公式
例2-1（正用和逆用）
（2021·江苏淮安市·高三三模）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a的范围；利用二倍角公式化简b、c，结合函数单调性，可得到b、c的大致范围；从而，可以比较a、b、c的大小.
【详解】
因为，所以有，
即，所以；
因为，而，
所以有，所以，即；
因为，而
所以；
显然，，而，所以，即
所以
故选：D
对点训练1.(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( )
A. B．
C. D.
【答案】A
【解析】∵3cos 2α－8cos α＝5，
∴3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故选A.
例2-2（降次公式）
已知α为第三象限角，且sin2α－2＝2cos 2α，则sin的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
【答案】D
【解析】sin2α－2＝2cos 2α⇒sin2α－2＝2(1－2sin2α)⇒sin α＝±，由α为第三象限角，所以sin α＝－，cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝1－2sin2α＝－，
所以sin＝(sin 2α－cos 2α)＝.
对点训练1.已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝( )
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】因为sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，解得sin A＝.
因为A为钝角，
所以cos A＝－＝－ ＝－.
由sin B＝，且B为钝角，
可得cos B＝－＝－ ＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
又A，B都为钝角，即A，B∈，
所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝.故选C.
考点三、公式的综合应用
例3-1（給值求值）
（2019·江苏高考真题）已知，则的值是_____.
【答案】.
【解析】
由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
例3-2（给角求值）
－＝
答案：－4
解析：－＝－＝
＝＝＝－4．
例3-3（给值求角）
已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．
答案：－
解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，∴0<α<．
又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1．
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－．
例3-4（化简解析式）
设函数f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋λ的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的最值.
【解析】 (1)f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ
＝sin 2ωx－cos 2ωx＋λ
＝2sin＋λ，
因为图象关于直线x＝π对称，
所以2πω－＝＋kπ(k∈Z)，
所以ω＝＋(k∈Z)，又ω∈，
令k＝1时，ω＝符合要求，
所以函数f(x)的最小正周期为＝.
(2)因为f＝0，
所以2sin＋λ＝0，则λ＝－.
所以f(x)＝2sin－.
由0≤x≤π，知－≤x－≤π，
∴当x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值－1－.
当x－＝，即x＝π时，f(x)取最大值2－.
对点训练1.已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝．
(1)求sin α的值； (2)求β的值．
解析：(1)∵tan＝，∴tan α＝＝＝，
由解得sin α＝．
(2)由(1)知cos α＝＝ ＝，又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝，∴sin(β－α)＝＝ ＝，
于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝×＋×＝．
又β∈，∴β＝．
对点训练2. 化简：sin 50°(1＋tan 10°)＝________．
答案：1
解析：sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°×
＝sin 50°×
＝＝＝＝1．
对点训练3.已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解析：(1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin．
所以f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)由x∈得2x－∈，
则sin∈，
即函数f(x)＝sin∈．
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，
最小值为－．
对点训练4.(2019年高考全国Ⅰ卷文)函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
巩固训练
一、单项选择题
1． 函数y＝sin2x－sin2x的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：y＝sin2x－sin2x＝－sin2x＝－sin2x－cos2x＝－sin(2x＋φ)，其中φ为参数，所以周期T＝＝π．
2． 若sin＝，则cos2α的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：cosα＝1－2sin2＝1－2×＝，cos2α＝2cos2α－1＝2－1＝－．
3． 在ΔABC中，2cosBsinA＝sinC，则ΔABC的形状一定是__________．
A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D.等边三角形
答案：B
解析：在ΔABC中，C＝π－(A＋B)，
∴ 2cosBsinA＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB．
∴ －sinAcosB＋cosAsinB＝0．即sin(B－A)＝0．∴ A＝B，故ΔABC的形状一定是等腰三角形．
4． 在ΔABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，
∴ tan(A＋B)＝＝－．又0＜A＋B＜π，
∴ A＋B＝π，∴ C＝．
5． 若＝，则tan2α的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：由＝，得2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα，即tanα＝－3．则tan2α＝＝＝．
6． sin18°cos36°的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：原式＝＝＝＝．
二、多项选择题
7． 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数， ，则常数θ的可能值为（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
解析：依题意，f(－x)＝f(x)恒成立，所以sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)．即sin(θ－x)－sin(x＋θ)＝cos(x－θ)－cos(x＋θ)成立．
所以sinθcosx－cosθsinx－sinxcosθ－cosxsinθ＝(cosxcosθ＋sinxsinθ－cosxcosθ＋sinxsinθ)，
所以2cosθsinx＋2sinxsinθ＝0对任意x成立．又sinx≠0，所以cosθ＋sinθ＝0，
tanθ＝－，所以θ＝kπ－(k∈Z)．
8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，则sin的可能值为（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，所以cos β＝或cos β＝－.
所以sin＝－sin＝－sin βcos －cos βsin ＝×＋×＝.
或sin＝－sin＝－sin βcos －cos βsin ＝×-×＝-.
三、填空题
9． 函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·|cosx|的最大值为__________．
答案：
解析：当cosx＞0时，f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝sin2x－2cos2x－2
＝sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝，此时f(x)的最大值为－2＝．
当cosx＜0时，f(x)＝(3sinx－4cosx)(－cosx)＝4cos2x－3sinxcosx＝2cos2x＋2－sin2x
＝sin(θ－2x)＋2，其中tanθ＝，此时f(x)的最大值为＋2＝．由以上可知f(x)的最大值为．
10．在△ABC中，若tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是________．
答案：
解析：由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
所以A＋B＝，则C＝，cosC＝．
11．已知A(xA，yA)是单位圆(圆心为坐标原点O，半径为1)上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B(xB，yB)，已知m>0，若myA－2yB的最大值为3，则m＝________．
答案：＋1
解析：myA－2yB＝msinθ－2sin(θ＋60°)＝(m－1)sinθ－cosθ，则(m－1)2＋3＝9，
而m>0，故m＝＋1．
12．已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .
答案：－
解析：∵sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，∴(sin α＋cos β)2＝，(sin β－cos α)2＝，
即sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，①sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝.②
①＋②得2＋2sin(α－β)＝，∴sin(α－β)＝－.
四、解答题
13．(1) 已知2sinβ＝sinα＋cosα，sin2γ＝2sinα·cosα．求证：cos2γ＝2cos2β；
(2) 已知5sinα＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tanβ＝0．
证明：(1) 4sin2β＝1＋2sinαcosα，
所以4sin2β＝1＋sin2γ，
所以1－sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)，即cos2γ＝2cos2β．
(2) 因为5sinα＝3sin(α－2β)，
所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，
所以5sin(α－β)·cosβ＋5cos(α－β)·sinβ＝3sin(α－β)·cosβ－3cos(α－β)·sinβ，
所以2sin(α－β)·cosβ＋8cos(α－β)·sinβ＝0，
依题意知，β≠kπ＋，α－β≠kπ＋，k∈Z．
所以tan(α－β)＋4tanβ＝0．
14．在ΔABC中，A，B，C为三个内角，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB．
(1) 若f(B)＝2，求角B；
(2) 若f(B)－m＞2恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1) f(B)＝4cosB×＋cos2B－2cosB
＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB
＝2cosBsinB＋cos2B ＝sin2B＋cos2B
＝2sin．
∵ f(B)＝2，∴ 2sin＝2，＜2B＋＜π，
∴ 2B＋＝．∴ B＝．
(2) f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立．
∵ 0＜B＜π，∴ 2sin∈[－2，2]，
∴ 2＋m＜－2．∴ m＜－ 4
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