第18讲-同角函数基本关系与诱导公式（解析版）学案

第18讲-同角函数基本关系与诱导公式

一、                       考情分析

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；

2.能利用定义推导出诱导公式.

二、                       知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan__α.

2.三角函数的诱导公式

[微点提醒]

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

三、                       经典例题

考点一　同角三角函数基本关系式　

角度1　公式的直接运用

【例1－1】已知α∈，且sin α＝－，则cos α＝(　　)

A.－   B.   C.±   D.

【解析】　因为α∈，且sin α＝－>－＝sin，所以α为第三象限角，所以cos α＝－＝－＝－.

角度2　关于sin α，cos α的齐次式问题

【例1－2】 已知＝－1，求下列各式的值.

(1)；

(2)sin2α＋sin αcos α＋2.

【解析】　由已知得tan α＝.

(1)＝＝－.

(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.

角度3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系

【例1－3】 已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.

(1)求sin x－cos x的值；

(2)求的值.

【解析】　(1)由sin x＋cos x＝，

平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.

由x∈(－π，0)，知sin x<0，又sin x＋cos x>0，

所以cos x>0，则sin x－cos x<0，

故sin x－cos x＝－.

(2)＝

＝＝＝－.

规律方法　1.同角三角函数关系的用途：根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.(2)利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.

2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.

3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

考点二　诱导公式的应用

【例2-1】 (1)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.

(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________.

【解析】　(1)∵f(α)＝

＝＝＝，

∴f＝＝＝.

(2)∵cos＝cos

＝－cos＝－a，

sin＝sin＝a，

∴cos＋sin＝－a＋a＝0.

规律方法　1.诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

2.含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.

考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用

【例3】 (1)已知α∈，sin＝，则tan(π＋2α)＝(　　)

A.   B.±   C.±   D.

(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】　(1)∵α∈，sin＝，

∴cos α＝，sin α＝－，tan α＝＝－2.

∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝＝.

(2)由已知得

消去sin β，得tan α＝3，

∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，

化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角).

 (3)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.

①求sin x－cos x的值；

②求的值.

【解析】　①由已知，得sin x＋cos x＝，

两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2 x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，

由－π<x<0知，sin x<0，

又sin xcos x＝－<0，

∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，

故sin x－cos x＝－.

②＝

＝

＝＝－.

规律方法　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.

2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；

(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.

 [方法技巧]

1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.

2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.

(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.

(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ(1＋)＝tan 等.

3.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.

特别注意函数名称和符号的确定.

4.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

四、                       课时作业

1．（2020·山西省太原五中高三月考（理））已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为

所以，即

因为，所以，

所以，即

又，所以，即解得或

因为，所以

2．（2020·福建省高三其他（文））若则(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】sinx＝3sin（x-）＝﹣3cosx，

解得：tanx＝﹣3，

所以：cosxcos（x）＝﹣sinxcosx==，

3．（2020·广东省高三其他（文））若，则（    ）

A．或 B． C．或 D．

【答案】D

【解析】因为

所以.

4．（2020·湖南省高一月考）已知为第三象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵为第三象限角

∴

∵

∴

5．（2020·渭南市尚德中学高一月考）中，，，则为（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】A

【解析】中，，则，

由，所以，

即，所以为锐角，

由，则，

.

6．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知，，则的化简结果为（    ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】B

【解析】，，故为第三象限角，.

7．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））在中，,则的值为（    ）

A． B． C． D．±

【答案】B

【解析】因为在中，,所以，因此，

又，

所以.

8．（2020·开鲁县第一中学高一期中（文））已知 ，则（    ）

A．  B．2 C．  D．

【答案】C

【解析】，

9．（2020·山西省高三其他（理））若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以．

10．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为

所以

11．（2020·山西省高三其他（文））已知sin（），则sin2x的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设,则，,选C.

12．（2020·湖南省高一月考）化简的结果为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【解析】原式.

13．（2020·渭南市尚德中学高一月考）的值为 ( )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，故选B.

14．（2020·湖南省高三二模（文））已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，

所以.

15．（2020·陕西省西安中学高一期中）设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

，

只需比较的大小，

在上单调递减，

，

16．（多选题）（2020·山东省高一月考）下列化简正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】利用诱导公式，及

A选项：，故A正确；

B选项：，故B正确；

C选项：，故C不正确；

D选项：，故D不正确

17．（多选题）（2020·湖南省湖南师大附中高二期末）下列命题中为真命题的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AD

【解析】A项,当时,则,

又,所以恒成立,命题为真；

B项,因为,所以方程无解,命题为假；

C项,因为对恒成立,则命题错误；

D项,结合指数函数与对数函数在上的图像,命题为真,

18．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列化简正确是（    ）

A． B．

C． D．

E.若，则

【答案】ABE

【解析】对于A，根据三角函数的诱导公式可知，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D错误；

对于E，.

∵

∴，

∴，故E正确.

19．（2020·上海高一期中）若，则______．

【答案】

【解析】因为，

所以，即，

解得.

20．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知，则__________.

【答案】

【解析】

21．（2020·上海高一课时练习）化简下列各式：

（1）__________；

（2）________；

（3）________．

【答案】           

【解析】（1）；

（2）因为，，，，

所以，原式；

（3）因为，，，

，，，

所以原式.

22．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知关于x的方程的两根为，，.求：

（1）；

（2）m的值；

（3）方程的两根及此时θ的值．

【解析】由韦达定理可得，.

（1）原式

.

（2）由，

两边平方可得：

，

，.

（3）由可解方程：

，得两根和.

∴或

∵，

∴或.

23．（2020·湖南省高一月考）已知，求：

（1）；

（2）

【解析】（1）

（2）

24．（2020·渭南市尚德中学高一月考）

已知.

（1）化简; （2）若是第三象限角,且,求的值.

【解析】①=

②

又为第三象限角，，

25．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知

（1）求的值；

（2）求的值．

【解析】（1）

，∴；

（2）原式分子分母同除以得：

原式

．