浙教版八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试精练

这是一份浙教版八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试精练，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图案是轴对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
2．以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是( )
A．3，4，6B．15，20，25C．5，12，15D．10，16，25
3．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的中线相等B．等腰三角形两腰上的高线相等
C．等腰三角形的中线与高重合D．等腰三角形底边的中线上任一点到两腰的距离相等
5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有( )
A．AD与BDB．BD与BCC．AD与BCD．AD，BD与BC
6．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，ΔABC的面积为8cm，AP垂直ABC的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
8．如图，已知：∠MON=30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．6B．12C．32D．64
二、填空题
9．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是_______三角形．
10．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
11．如图所示，∠C=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是____________．
12．在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，则斜边上的中线长为____．
13．如图，直线AC是四边形ABCD的对称轴，则______垂直平分______.
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD⊥AC于D，则∠DBC=______度.
三、解答题
15．如图，AD是△ABC的高线，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD．求证：AD＝BD．
16．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD的长．
17．如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，△ADF是等腰三角形吗？请说明理由．
18．已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．
求证：（1）；
（2）为等边三角形．
19．如图，一架梯子长米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．
（1）求这个梯子的顶端离地面的高度；
（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
20．如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一直线上，连结AD，BE，分别交CE和AC于点G，H，连结GH.
(1)请说出AD＝BE的理由；
(2)试说出△BCH≌△ACG的理由；
(3)试猜想△CGH是什么特殊的三角形，并加以证明．
参考答案
1．D
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
轴对称图形是图形两部分沿对称轴折叠后可重合．A,B,C图都不满足条件，只有D沿某条直线（对称轴）折叠后，图形两部分能重合，
故选D．
2．B
【分析】
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、32+42≠62，故不是直角三角形，故不正确；
B、152+202=252，故是直角三角形，故正确；
C、52+122≠152，故不是直角三角形，故不正确；
D、102+162≠252，故不是直角三角形，故不正确．
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
3．D
【分析】
根据三角形内角和为180°，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案.
【详解】
①∵∠A+∠B=∠C，
∴∠A+∠B+∠C=2∠C =180°
∴∠C=90°
∴△ABC是直角三角形，故小题正确；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴最大角∠C=180°×=90°
故小题正确
③∵∠A=90°-∠B
∴∠A+∠B=90°
∴∠C=180°-90°=90°
故正确
④∵∠A＝∠B＝∠C
∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C+∠C=2∠C=180°
∴∠C=90°
故正确
综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个.
故选D.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，根据这个定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键.
4．C
【详解】
试题解析：根据全等三角形的判定定理SAS，A选项正确；
根据全等三角形的判定定理SAS，B选项正确；
非等边三角形的等腰三角形的腰上的中线与高不重合，C错误；
根据三线合一的性质，D正确；
故选C．
考点：命题与定理．
5．A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质可得CD=BD=AD，可得结论．
【详解】
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD=AD=AB，
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6．A
【详解】
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∴BC边上的高．
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC边的距离相等，设为h，
则，
解得，
，
解得．
故选A
7．C
【分析】
延长AP交BC于E，根据AP垂直ABC的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得出△PBC的面积．
【详解】
解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直ABC的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP=S△BEP，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=4cm2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查面积及等积变换的知识点．能正确作出辅助线并理解同底等高的三角形面积相等是解题关键．
8．C
【详解】
分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．
【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°．∴∠2=120°．
∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°．
又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°．
∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1．∴A2B1=1．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．
∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3．
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°．∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3．
∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16．
以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7的边长为32．故选C．
9．等边
【分析】
由于AB=AC，∠B=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，判断得出△ABC为等边三角形即可解决问题．
【详解】
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，
故答案是：等边．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质：有一个60°的等腰三角形为等边三角形；三个角都相等，每一个角等于60°．
10．5或
【详解】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．
11． AC=AD(答案不唯一)
【分析】
由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD．
【详解】
条件是AC=AD，
∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
故答案为AC=AD．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定，知道“HL”即为斜边及一直角边对应相等的两直角三角形全等是解题的关键．
12．2.5或
【解析】
【分析】
分两种情况:①AB为斜边时；②AB和BC为直角边长时，在直角三角形中，已知两直角边根据勾股定理可以求得斜边的长度；根据斜边的中线长等于斜边长的
半即可解题
【详解】
解:在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3,
①AB为斜边时，斜边中线长为AB＝2.5；
②AB和BC为直角边长时，
由勾股定理得:斜边长＝
则斜边中线长为
故答案为:2.5或.
【点睛】
熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质是本题的解题关键.
13．AC; BD.
【解析】
【分析】
根据直线AC是四边形ABCD的对称轴，结合对称轴将图形分为完全相同的两份，得到OB=OD，再通过已知条件确定∠DOC的大小，即可证明AC垂直平分BD.
【详解】
如图：
直线AC是四边形ABCD的对称轴，
∴DO=BO，CD=CB，CO=CO，
∴△COD≌△COB，
∴∠DOC=∠BOC，
又∠BOD=180°，
∴∠DOC=90°，
∴AC⊥BD，
即AC垂直平分BD.
故答案为AC、BD
【点睛】
此题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答此题的关键.
14．20
【解析】
∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+2∠ACB=180°，
又∵∠A=40°，
∴，即∠DCB=70°，
∵BD⊥AC，
∴在Rt△BDC中，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DBC=90°-∠DCB=90°-70°=20°.
故本题应填20.
15．见解析
【分析】
根据HL，证Rt△BDF≌Rt△ADC，再根据全等三角形性质可得AD＝BD.
【详解】
证明：∵BF=AC，FD=CD，AD⊥BC，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，
∴AD＝BD.
【点睛】
本题考核知识点：全等三角形的判定和性质.解题关键点：运用HL证三角形全等.
16．AB=10，CD=4.8.
【详解】
试题分析：在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可．
试题解析：解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB==10．∵S△ABC=AB•CD=AC•BC，∴CD===4.8．
17．△ADF是等腰三角形,理由见解析.
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,再根据等角的余角相等得到∠EFC=∠EDB,再由∠EDB=∠ADF，根据等角对等边判定△ADF是等腰三角形．
【详解】
证明：∵AB=AC,
∴∠B=∠C（等边对等角）,
∵DE⊥BC于E,
∴∠FEB=∠FEC=90°,
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°,
∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）,
∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等）,
∴∠EFC=∠ADF,
∴△ADF是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及判定的理解及运用,解决本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的判定.
18．（１）见解析；（２）见解析．
【分析】
（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．
（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．
【详解】
证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量加等量和相等）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
19．（1）这个梯子的顶端离地面米；（2）梯子底部在水平方向滑动了米．
【分析】
（1）根据勾股定理计算即可；
（2）计算出长度，根据勾股定理求出，问题得解．
【详解】
解：（1）由题意得，是直角三角形，且90°，，
，
答：这个梯子的顶端离地面．
（2）由题意可得，是直角三角形，且90°，，，
，
（米）．
答：梯子底部在水平方向滑动了米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，难度不大，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△CGH是等边三角形.
【解析】
【分析】
(1)证明△ACD≌△BCE即可得出答案;
(2)根据△ACD≌△BCE，
∴∠CBH＝∠CAG，由∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条
直线上，得出∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
根据AC＝BC即可证明；
(3)由△ACG≌△BCH，
∴CG＝CH，根据∠ACG＝60°即可证明.
【详解】
解：(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE
(2)∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBH＝∠CAG.
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°.
又∵AC＝BC，
∴△BCH≌△ACG(ASA)
(3)△CGH是等边三角形，
理由：∵△ACG≌△BCH，
∴CG＝CH，
又∵∠ACG＝60°，
∴△CGH是等边三角形