数学人教版新课标A4.3 空间直角坐标系教案

4．3　空间直角坐标系

4．3．1　空间直角坐标系

4．3．2　空间两点间的距离公式

Q

在直线上，我们可以用一个实数刻画点的位置；在平面上，我们可以用一对有序实数对(x，y)来刻画点的位置；那么在空间中如何来刻画一个点的位置呢？

平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式|AB|＝，那么空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样的呢？

X

1．空间直角坐标系

2．坐标

如右图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的__平面__，依次交x轴、y轴和z轴于点P，Q和R．设点P，Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组(x，y，z)是__一一对应__的关系，有序实数组__(x，y，z)__叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__M(x，y，z)__，其中x叫做点M的__横坐标__，y叫做点M的__纵坐标__，z叫做点M的__竖坐标__．

[归纳总结]

(1)空间直角坐标系中特殊位置点的坐标

如下表所示

(2)空间直角坐标系中特殊对称点的坐标

设点P(a，b，c)为空间直角坐标系中的点，则

关于谁谁不变，其它变相反

3．空间两点间的距离公式

空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离是|P1P2|＝____．

Y

1．点P(1，4，－3)与点Q(3，－2，5)的中点坐标是(　C　)

A．(4，2，2)　　 　　 　 　 B．(2，－1，2)

C．(2，1，1)  D．(4，－1，2)

[解析]　根据空间中点坐标公式，可得中点坐标为(，，)，即(2，1，1)．

2．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和点B(2，－1，6)的距离是(　D　)

A．2　　 B．2

C．9　　 D．

[解析]　|AB|＝＝．

3．点A在z轴上，它到点(2，，1)的距离是，则点A的坐标是(　C　)

A．(0，0，－1)  B．(0，1，1)

C．(0，0，1)  D．(0，0，13)

[解析]　设点A的坐标为(0，0，z)，

∵点A到点(2，，1)的距离是，

∴(2－0)2＋(－0)2＋(z－1)2＝13，

解得z＝1，故点A的坐标为(0，0，1)．

4．已知点(1，－1，2)关于x轴的对称点为A，则点A的坐标为__(1，1，－2)__．

[解析]　点(1，－1，2)关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，∴A(1，1，－2)．

H

命题方向1　⇨空间点的坐标及位置确定

典例1 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．

(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；

(2)求点N的坐标．

[解析]　(1)显然A(0，0，0)，

由于点B在x轴的正半轴上，且|OB|＝4，

所以B(4，0，0)．

同理，可得D(0，3，0)，A1(0，0，5)．

由于点C在坐标平面xOy内，BC⊥AB，CD⊥AD，则点C(4，3，0)．

同理，可得B1(4，0，5)，D1(0，3，5)，与C的坐标相比，点C1的坐标中只有竖坐标不同，CC1＝AA1＝5，则点C1(4，3，5)．

(2)由(1)知C(4，3，0)、C1(4，3，5)，则C1C的中点为(，，)，即N(4，3，)．

『规律方法』　确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作MB⊥y轴于点B；③设P(x，y，z)，则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|．当点A，B，C分别在x，y，z轴的正半轴上时，则x，y，z的符号为正；当点A，B，C分别在x，y，z轴的负半轴上时，则x，y，z的符号为负；当点A，B，C与原点重合时，则x，y，z的值为0．

〔跟踪练习1〕 

已知棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．

[解析]　①对于图一，因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D′(0，0，2)．

因为B点在xDy平面上，它在x轴、y轴上的射影分别为A、C，所以B(2，2，0)．

同理，A′(2，0，2)，C′(0，2，2)．

因为B′在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D′，所以B′(2，2，2)．

②对于图二，A，B，C，D都在xD′y平面的下方，所以其z坐标都是负的，A′，B′，C′，D′都在xD′y平面上，所以其z坐标都是零．因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D′(0，0，0)，A′(2，0，0)，C′(0，2，0)，D(0，0，－2)．

同①得B′(2，2，0)，A(2，0，－2)，C(0，2，－2)，B(2，2，－2)．

命题方向2　⇨空间两点间距离公式

典例2 如右图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD⊥AC于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离．

[思路分析]　先根据空间直角坐标系，求出点B1，E，O1，D的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．

[解析]　由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0，3，0)，O1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B1(2，3，2)，C1(0，3，2)．

∵E是BC的中点，∴点E的坐标为(1，3，0)．

∴由两点间的距离公式得

|B1E|＝＝．

设D(x，y，0)，在Rt△AOC中

|OA|＝2，|OC|＝3，|AC|＝，

∴|OD|2＝2＝．

又OO1⊥平面 OABC，∴OO1⊥OD．

∴|O1D|＝＝＝　　

『规律方法』　1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：

(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；

(2)充分利用几何图形的对称性．

2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离添上正负号)确定第三个坐标．

〔跟踪练习2〕 

如图所示，在河的一侧有一塔CD＝5 m，河宽BC＝3 m，另一侧有点A，AB＝4 m，求点A与塔顶D的距离AD．

[解析]　以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标系．

则D(0，0，5)，A(3，－4，0)，

∴AD＝＝5，

即点A与塔顶D的距离为5米．

Y 　空间点的坐标的求法

典例3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．

[错解]　如图，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．显然A(0，0，0)，

又∵各棱长均为1，且B，C，A1均在坐标轴上，

∴B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，

B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，

∴B1(1，0，1)，C1(0，1，1)，

∴各点坐标为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)．

[错因分析]　因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy≠90°．故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线作为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．

[正解]　取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，OO1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∵三棱柱各棱长均为1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝，

∵A，B，C均在坐标轴上，

∴A(0，－，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，

点A1与C1在yOz平面内，A1(0，－，1)，C1(0，，1)，点B1在xOy面内投影为B，且BB1＝1，B1(，0，1)，

∴各点的坐标为A(0，－，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，A1(0，－，1)，B1(，0，1)，C1(0，，1)．

K

1．下列点在x轴上的是(　C　)

A．(0.1，0.2，0.3)　　　　 B．(0，0，0.001)

C．(5，0，0)  D．(0，0.01，0)

[解析]　x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0，故选C．

2．在空间直角坐标系中，点M(－1，2，－4)关于x轴的对称点的坐标是(　A　)

A．(－1，－2，4)  B．(－1，－2，－4)

C．(1，2，－4)  D．(1，－2，4)

[解析]　关于x轴对称的点的纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，故选A．

3．如下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　C　)

A．(1，0，0)  B．(1，0，1)

C．(1，1，1)  D．(1，1，0)

[解析]　点B1的坐标为(1，1，1)．

4．在空间直角坐标系中，点(1，1，3)与点(1，－3，0)的距离为__5__．

[解析]　所求距离d＝＝＝5．