高中数学人教版新课标B必修22.4.2空间两点的距离公式教案设计

空间直角坐标系的建立技巧

　　运用“坐标法”解答空间几何体问题时，往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系，是解决问题的基础和关键．为此，下面例谈几种常见的建系技巧．

一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系

例1　如图1，正方体的棱长为，、分别是、的中点，求的长．

解：如图１，以为坐标原点，分别以棱、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则、、、．由中点坐标公式，得、，．

所以．

二、利用线面垂直关系建系

例2　如图2，已知，，平面，且，，，求线段的长度．

解：如图2，以为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴，以在平面内过作垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则有、．

∵平面，平面，

∴．

又∵，

∴在中，

，

∴．

故．

三、利用面面垂直关系建系

例3　如图3，在三棱柱中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，为的中点．求证：．

证明：取中点为，连结．

∵，

∴且．

∵平面平面，

平面平面，

∴平面，∴．

如图3，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则、、．由中点公式得．

∴，

又∵，∴．

四、利用正棱锥的中心与高所在的直线建系

例4　如图4所示，正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，为的中点，与交于点，问在线段上是否存在一点，使得的长为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由．

解：设分别为的中点．如图4，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，．

∵，

∴．

∵为的中点，∴．

∵所在的直线方程为，

∴假设在上存在一点，，使得，

整理得，．

故在线段上存在点或满足题意。

空间直角坐标系考点分析

空间直角坐标系是平面直角坐标系知识的推广，教材中涉及该知识的内容较少，空间直角坐标系为将来学习向量方法解决立体几何问题打下了基础，因此空间直角坐标系也是高考的重点内容。高考对空间直角坐标系的考查一般是与空间向量结合起来，不单独命题。也可能以选择题、填空题的形式出现，如考查空间直角坐标系中有关点的坐标的求解，空间两点的距离等。

一、考查基本知识点

例1、下列命题中，正确的个数是（   ）

（1）在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）；

（2）在空间直角坐标系中，yOz平面上点的坐标可以写成（0，b，c）；

（3）在空间直角坐标系中，z轴上点的坐标可以记做（0，0，c）；

（4）在空间直角坐标系中，xOz平面上点的坐标是（a，0，c）

A、1             B、2            C、3              D、4

解：在空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有两个为0（如x轴上的点的纵坐标、竖坐标均为0）；坐标平面内的点的坐标有一个为0（如xOz平面内的点的纵坐标为0），因此题目中（2）（3）（4）三个命题正确，故选C.

点评：学习空间直角坐标系必需会用空间直角坐标表示点的位置，求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足所对应的数值即为点在该轴上的坐标。

二、解决实际应用问题

例2、正方体的棱长为a，，

求MN的长

解：如图，建立空间直角坐标系，A（a，0，0），C（0，a，0），所以，

因为，所以N点的坐标为，又M在平面内，

所以同理可知M点的坐标为，

所以

点评：《考试说明》要求“会推导空间两点的距离公式”，因此考生要了解公式的推导过程，并能够利用公式解决一些简单的问题，在建立空间直角坐标系时，要注意原点的选取和各点的坐标的设法，求距离时两个点相对应的坐标之间是相减而不是相加。