高中人教版新课标B2.4.2空间两点的距离公式教案

数学必修②2.4教材解读《空间直角坐标系》

一、学习目标

1．了解空间右手直角坐标系，掌握空间中点的坐标，会用空间直角坐标系来刻画点的位置．

2．通过特殊实例，类比平面上两点间距离公式的推导过程，探索并得出空间中两点间的距离公式．

二、知识点全解

1．空间直角坐标系的建立

（1）在数轴上，一个实数就能确定点的位置；在坐标平面上，一对有序实数才能确定一点的位置；在空间确定一点的位置需要三个实数，比如要确定一架飞机在空中的位置，我们不仅要指出地面的经度、纬度，还需要指出飞机距地面的高度．

如图1，是正方体，以为原点，分别以射线的方向为正方向（线段的长为单位长）．建立三条数轴：轴、轴、轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，轴、轴、轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面．

在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向通常这样选择：从轴的正方向看，轴正半轴沿逆时针方向转90°能与轴的正半轴重合．让右手拇指指向轴正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系．一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系．

（2）在平面上画空间直角坐标系时，一般使，．

2．空间直角坐标系中点的坐标

如图2，设为空间一个定点，过分别作垂直于轴、轴、轴的平面，依次交轴、轴、轴于点．设点和在轴、轴和轴上的坐标分别为，那么点就对应唯一的有序实数组，记作．其中也可称为点的坐标分量．

反之，任意给定三个实数的有序数组，就能确定空间一个点的位置与之对应．我们可以在轴、轴、轴上依次各取坐标为的点，分别过各作一个平面，分别垂直于轴、轴、轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组（，，）确定的点．

这样，我们就在空间任意一点与三个有序的实数组（点的坐标）之间，建立起一一对应的关系（）．

其中叫做点的横坐标，也叫点的坐标；叫做点的纵坐标，也叫点的坐标；叫做点的竖坐标，也叫点的坐标．

平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如（，0）的点构成的点集，其中为任意实数；

平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如（0，）的点构成的点集，其中为任意实数；

平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如（，0，）的点构成的点集，其中，为任意实数．

轴是坐标形如（，0，0）的点构成的点集，其中为任意实数；

轴是坐标形如（0，，0）的点构成的点集，其中为任意实数；

轴是坐标形如（0，0，）的点构成的点集，其中为任意实数．

3．空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的推广式，推导原理是利用直角三角形中的勾股定理．空间任意一点到原点的距离．空间任意两点，之间的距离．

三、方法、技巧与规律小结

1．点的位置应在一个基础平面（如平面）的前提下确定．

2．对称点的确定可类比平面直角坐标系中的对称性质来确定．

3．结合长方体的长、宽、高理解点的坐标（），培养立体思维，增强空间想象能力．

4．在利用两点间距离公式时，要特别注意点的位置，再就是注意方程思想在本节中的应用．

四、思维误区警示

易犯的错误：一是点的坐标没有求对；二是没有掌握好空间坐标的求法和对称问题的求法；三是与其他知识联系时出错．要避免这类错误的发生，一是要记住各种特殊点的规律；二是复习与其相关的其他知识，特别是立体几何的有关知识．