高中数学1.1回归分析的基本思想及其初步应用优秀练习

A级　基础巩固

一、选择题

1.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( C )

A.变量x与y正相关，u与v正相关

B.变量x与y正相关，u与v负相关

C.变量x与y负相关，u与v正相关

D.变量x与y负相关，u与v负相关

[解析]　题图1中的数据y随x的增大而减小，因此变量x与y负相关；题图2中的数据随着u的增大，v也增大，因此变量u与v正相关，故选C.

2.已知x和y之间的一组数据

则y与x的线性回归方程＝x＋必过点( D )

A.(2,2)　　　　　　　 B.(，0)

C.(1,2)  D.(，4)

[解析]　∵＝(0＋1＋2＋3)＝，＝(1＋3＋5＋7)＝4，∴回归方程＝x＋必过点(，4).

3.两个相关变量满足如下关系：

则两变量的回归方程为( A )

A.＝0.56x＋997.4  B.＝0.63x－231.2

C.＝0.56x＋501.4  D.＝60.4x＋400.7

[解析]　由已知＝20，＝1008.6，代入A，B，C，D四个方程只有A适合，故选A.

4.在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( B )

A.越大   B.越小

C.可能大也可能小  D.以上均错

[解析]　当R2越大时，残差平方和越小.

5.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是( A )

A.l1和l2有交点(s，t)

B.l1与l2相关，但交点不一定是(s，t)

C.l1与l2必定平行

D.l1与l2必定重合

[解析]　由题意知(s，t)是甲、乙两位同学所做试验的样本点的中心，而线性回归直线恒过样本点的中心，故选A.

6.关于随机误差产生的原因分析正确的是( D )

(1)用线性回归模型来近似真实模型所引起的误差；

(2)忽略某些因素的影响所产生的误差；

(3)对样本数据观测时产生的误差；

(4)计算错误所产生的误差.

A.(1)(2)(4)   B.(1)(3)

C.(2)(4)  D.(1)(2)(3)

[解析]　理解线性回归模型y＝bx＋a＋e中随机误差e的含义是解决此问题的关键，随机误差可能由于观测工具及技术产生，也可能因忽略某些因素产生，也可以是回归模型产生，但不是计算错误.

二、填空题

7.回归分析是处理变量之间_相关__关系的一种数量统计方法.

[解析]　回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法.

8.已知x，y的取值如下表：

若x，y具有线性相关关系，且回归方程为＝0.95x＋a，则a的值为_2.6__.

[解析]　由已知得＝2，＝4.5，而回归方程过点(，)，则4.5＝0.95×2＋a，

∴a＝2.6.

三、解答题

9.某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：

(1)以工作年限为自变量x，推销金额为因变量y，作出散点图；

(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；

(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.

[解析]　(1)依题意，画出散点图如图所示，

(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为＝x＋.

则＝＝＝0.5，＝－＝0.4，

∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为＝0.5x＋0.4.

(3)由(2)可知，当x＝11时，

＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元).

∴可以估计第6名推销员的年销售金额为5.9万元.

B级　素养提升

一、选择题

1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( B )

A.11.4万元  B.11.8万元

C.12.0万元  D.12.2万元

[解析]　＝＝10，

＝＝8，

＝－＝8－0.76×10＝0.4，

所以当x＝15时，＝x＋＝11.8.

2.由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程＝x＋，则下列说法不正确的是( B )

A.直线＝x＋必过点(，)

B.直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点

C.直线＝x＋的斜率为

D.直线＝x＋和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线

3.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是( D )

A.y＝2x－2  B.y＝()x

C.y＝log2x  D.y＝(x2－1)

[解析]　可以代入检验，当x取相应的值时，所求y与已知y相差平方和最小的便是拟合程度最高的.

4.在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )

A.y＝2x  B.y＝log2x

C.y＝(x2－1)  D.y＝2.61cosx

[解析]　作散点图，从图中观察可知，应为对数函数模型.

二、填空题

5.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_0.254__万元.

[解析]　由题意知其回归系数为0.254，故家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元.

6.某市居民2016～2020年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表：

根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_13__，家庭年平均收入与年平均支出有_正__线性相关关系.

[解析]　把2016～2020年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系.

三、解答题

7.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：

(1)求y关于t的回归方程＝t＋；

(2)用所求回归方程预测该地区2021年(t＝6)的人民币储蓄存款.

附：回归方程＝t＋中，

＝，＝－ .

[解析]　(1)

由上表，＝3，＝＝7.2，＝55，iyi＝120.

∴＝＝1.2.

＝－＝7.2－1.2×3＝3.6.

∴所求回归直线方程为＝1.2t＋3.6.

(2)当t＝6时，代入＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).

∴预测该地区2021年的人民币储蓄存款为10.8千亿元.

C级　能力提高

1.在如图所示的5组数据中，去掉_D(3,10)__后，剩下的4组数据线性相关性更强.

[解析]　根据散点图判断两变量的线性相关性，样本数据点越集中在某一直线附近，其线性相关性越强，显然去掉D(3,10)后，其余各点更能集中在某一直线的附近，即线性相关性更强.

2.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.

(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程＝x＋；

(2)已知该 厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

(参考参数：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

参考公式：.

[解析]　(1)＝＝4.5，＝＝3.5，

xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，

x＝32＋42＋52＋62＝86，

∴＝＝＝0.7，

＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35.

∴＝0.7x＋0.35.

∴所求的回归直线方程为＝0.7x＋0.35.

(2)现在生产100吨甲产品用煤，

＝0.7×100＋0.35＝70.35，

∴90－70.35＝19.65.

∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤.