初中数学湘教版八年级下册1.3 直角三角形全等的判定课时练习

1.3直角三角形全等的判定同步练习湘教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列结论正确的是

A. 有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B. 顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C. 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
D. 两个等边三角形全等．

2. 如图，若要用“HL”证明≌，则还需补充条件

A.
B.
C.
D. 以上都不正确
 

3. 如图，中，，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是

A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对

4. 下列说法中，正确结论的个数为
   有两边对应相等的两个直角三角形全等；
   有一角为，且腰长相等的两个等腰三角形全等；
   全等的两个图形一定关于某一条直线对称；
   等腰三角形中两底角的角平分线相等；
   如果点M与N到直线l的距离相等，那么点M与点N关于直线l对称．

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

5. 如图，己知，，判定和全等的依据是

A. AAS B. SAS C. ASA D. HL

6. 下列结论正确的是

A. 有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B. 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
C. 两个等边三角形全等
D. 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等

7. 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是

A. 两条直角边分别对应相等
B. 两个锐角分别对应相等
C. 一条直角边和斜边分别对应相等
D. 一个锐角和一条斜边分别对应相等

8. 如图，在中，，于点D，，若，则等于   

A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 7cm

9. 如图，已知在和中，，，且，由此判定≌的理由是 

A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. HL

10. 如图，，，，要根据“HL”证明≌，则还需要添加一个条件是   

A.
B.
C.
D.

11. 下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是

A. 斜边和一直角边对应相等 B. 两个锐角对应相等
C. 一锐角和斜边对应相等 D. 两条直角边对应相等

12. 下列结论错误的是

A. 全等三角形对应边上的高相等
B. 全等三角形对应边上的中线相等
C. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等
D. 两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，中，于D，要使≌，若根据“HL”判定，还需要加条件______．
    
     

14. 如图，已知，，，要说明≌，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______；若添加条件，则可以用______公理或定理判定全等．
15. 如图，AB，CAAB于A，DBAB于B，且ACm，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动_______分钟后CAP与PQB全等．
     

16. 如图，BE，CD是的高，且，判定≌的依据是___________．
    
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图在中，，，于A，于B，试判断AB与AD，BE之间的数量关系，并证明．
     

18. 如图，点B、F、C、E在直线l上、C之间不能直接测量，点A、D在l异侧，，，测得．
    
    求证：≌； 
    若，，求FC的长度．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图所示，，，，求证：．
    
    
     

20. 已知：如图，BE，CD分别是的高线，且求证：为等腰三角形．
    
    
    
     

21. 如图，线段AD，CE相交于点B，，，求证：．
    
    
     

22. 如图，已知，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且，求证：≌．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知：，，．
    求证：≌；
    ．

24. 如图，在中，，，，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，且．
     

求证：≌；

若，，求AD的长度．






 

25. 如图，已知，，AC与BD交于点O，连接求证：是等腰三角形．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：A、有两个锐角相等的两个直角三角形不一定全等，故不符合题意；
B、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故符合题意；
C、一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故不符合题意；
D、两个等边三角形相似但不一定全等，故不符合题意；
故选：B．
根据全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：若要用“HL”证明≌，则还需补充条件或，
故选：B．
图形中已有条件，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．
此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“HL”．
 

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，全等直角三角形的判定，线段垂直平分线的性质；由，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得≌，≌，≌，又由EF是AC的垂直平分线，证得≌．
【解答】
解：，D是BC的中点，
，，
 ．
在和中，，，，
；
在和中，，，，
 ；
在和中，，，，
；
是AC的垂直平分线，
，，
在和中，，，
．
图中全等的三角形的对数是4，
故答案为D．  

4.【答案】D
 

【解析】解：有两边对应相等的两个直角三角形全等，正确．
有一角为，且腰长相等的两个等腰三角形全等，错误，理由是角不一定都是底角或顶角．
全等的两个图形一定关于某一条直线对称，错误，不一定有对称关系．
等腰三角形中两底角的角平分线相等，角平分线是射线，不相等．
如果点M与N到直线l的距离相等，那么点M与点N关于直线l对称．错误，不一定有对称关系．
故选：D．
根据全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的定义等知识一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，轴对称的性质，属于中考常考题型．
 

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了直角三角形全等的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
根据HL证明和全等即可．
【解答】
解：，，
，
在和中，

，
故选：D．  

6.【答案】D
 

【解析】解：A、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以有两个锐角相等的两个直角三角形全等的说法错误；
B、由于直角三角形除了直角，还需两个条件才能判断这两个直角三角形全等，所以一条斜边对应相等的两个直角三角形全等的说法错误；
C、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以两个等边三角形全等的说法错误；
D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法正确；
故选：D．
利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了直角三角形全等的判定方法，关键是掌握全等三角形的5种判定方法．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．
根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
B.两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
C.可以利用HL判定两三角形全等，不符合题意；
D.可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．
故选B．  

8.【答案】C
 

【解析】略
 

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考点在直角三角形全等的判定，本题的注意点在两个三角形的公共边，这个也是容易忘记的点，从题目的已知条件可知道，，题目中还有一个影藏的条件在公共边，根据HL就可以判定≌．

【解答】

解：在和中

，

，

≌．

故选D．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】
解：条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
≌，
故选D．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证。
【解答】
解：A、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意；
B、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意。
故选B。  

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质可判断A，B，根据全等三角形的判定可判断C，D．
【解答】
解：根据全等三角形的性质可知：A、B的结论均正确；
根据全等三角形的判定定理可知：C选项符合ASA或AAS的条件，因此结论也正确；
D选项中，由于没有边的参与，因此结论不成立．
故选D．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“HL”可得需要添加条件．
【解答】解：还需添加条件，
于D，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：．  

14.【答案】  HL
 

【解析】解：，，
，
；
又，
在和中，
当时，
≌；
在和中，
，
≌；
故答案分别是：、HL．
根据已知条件知若以“SAS”为依据判定≌，结合已知条件缺少对应边；若添加条件，则可以利用直角三角形全等的判定定理证明≌．
本题综合考查了全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
 

15.【答案】4
 

【解析】解：于A，于B，
，
设运动x分钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
若，则，
，，，
≌；
若，则，
解得：，，
此时与不全等；
综上所述：运动4分钟后与全等；
故答案为：4．
设运动x分钟后与全等；则，，则，分两种情况：若，则，此时，≌；若，则，得出，，即可得出结果．
本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
 

16.【答案】HL
 

【解析】

【分析】
本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的HL定理．需证和是直角三角形，可证≌的依据是HL．
【解答】
解：、CD是的高，
，
在和中，
，，
≌，
故答案为HL．  

17.【答案】解：结论：．
证明：于A，于B．
；
，
，；
；
又，
在和中，
，
≌；
，；
．
 

【解析】先证明≌，根据全等三角形的对应边相等得出其两边相等，再利用边与边之间的关系即可得出AB是BE与AD的和．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．证明一条线段等于两条线段和的问题经常用三角形全等来解决．
 

18.【答案】解：证明：，

，
在与中
，
≌；
≌，
，
，
，
，，
．
 

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．
先证明，再根据ASA即可证明．
根据全等三角形的性质即可解答．
 

19.【答案】证明：，，

．

在和中，

≌．

．

，

．

．

．

【解析】本题考查直角三角形全等的判定与性质，首先根据已知条件推出，利用直角三角形全等的判定证明≌，最后根据全等三角形的性质定理和角度之间的关系求得结论．
 

20.【答案】证明：已知BE，CD分别是的高线，
，
在和中，

≌，
，
为等腰三角形．
 

【解析】本题主要考查了直角三角形全等的判定及性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定及性质是解题的关键，根据题意可得，然后判定≌，得出，即可求证．
 

21.【答案】证明：，

．

又，

，

即．

在与中，
 

．

【解析】此题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
根据SAS定理进行判定即可．
 

22.【答案】证明：，
，即，
，
与都为直角三角形，
在和中，

≌．
 

【解析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到．
由通过等量代换得到，结合，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
 

23.【答案】解：证明：，
，
在和中，

≌；
≌，
．
，，
．
．
即．
 

【解析】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，做题时要注意思考，认真寻找全等三角形全等的条件是解决本题的关键．
根据已知利用HL即可判定≌；
根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到，从而不难求得．
 

24.【答案】解：证明：，
，
和是直角三角形，
在和中，  
；
解：，，
又，直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半，
在中，由勾股定理得：，
由可知：，
全等三角形对应边相等．
 

【解析】本题主要考查直角三角形全等的判定、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟记性质准确确定出全等三角形；
根据直角三角形全等的判定和已知条件易证≌；
由三角形内角和定理可求出，再由直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半，，在中，由勾股定理得：，由可知：，则，即可求得AD的长度．
 

25.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即是等腰三角形．
 

【解析】【试题解析】

此题主要考查了直角三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出≌是解题关键．利用HL定理得出≌，即可得出，再利用等腰三角形的判定得出即可．