数学八年级下册第1章 直角三角形1.3 直角三角形全等的判定同步训练题

[直角三角形全等的判定]

一、选择题

1.如图,AC=BC,AC⊥OA,CB⊥OB,则直接判定Rt△AOC≌Rt△BOC的理由是 (　　)

A.SSS B.ASA C.SAS D.HL

2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则图中的全等三角形共有              (　　)

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

3.下列条件中,不能作出唯一直角三角形的是(　　)

A.已知两个锐角 

B.已知两条直角边长

C.已知一条直角边长和斜边长

D.已知一个锐角和其所对直角边长

4.如图,∠ACB=∠EDB=90°,AC=ED,则下列条件中,不能判定△ABC≌△EBD的是(　　)

A.∠A=∠E B.AB=BD C.BC=BD D.∠ABE=∠CBD

二、填空题

5.如图,已知AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别是C,D,若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD,则应添加的条件是　　　　　　(写一种即可). 

6.如图,MN∥PQ,AB⊥PQ于点B,交MN于点A,点D,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=BE,DE=EC,则AB=　　　　. 

7.如图,已知CA⊥AB,垂足为A,AB=8米,AC=4米,射线BM⊥AB,垂足为B.一动点E从点A出发以2米/秒的速度沿射线AN运动,D为射线BM上一动点,随着点E的运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E运动　　　　　　　秒时,△DEB与△BCA全等. 

三、解答题

8.如图,已知∠C=∠D=90°,BC与AD交于点E,AC=BD.求证:AE=BE.

图   

9.如图,已知AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,且AD=AF,AC=AE.求证:BC=BE.

10.在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.

(1)若点B,C在DE的同侧(如图①所示),且AD=CE.求证:AB⊥AC.

(2)若点B,C在DE的两侧(如图②所示),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.

 [阅读理解与分类讨论] 问题提出:学习了全等三角形的判定方法(“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

初步思考:将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,则AB是否等于DE?可对∠ABC进行分类,分为“∠ABC是锐角、直角、钝角”三种情况进行探究.

第一种情况:若∠ABC是锐角,则AB不一定等于DE;

第二种情况:若∠ABC是直角,根据“HL”,可得△ABC≌△DEF,则AB=DE;

第三种情况:若∠ABC是钝角,则AB=DE.

问题解决:如图,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,且∠ABC是钝角.求证:AB=DE.

方法归纳:化归是一种有效的数学思维方式,一般是将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题,观察发现第三种情况可以转化为第二种情况,如图①,过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G.

(1)在△DEF中用尺规作出DE边上的高FH,不写作法,保留作图痕迹;

(2)请你在完成(1)中作图的基础上,证明AB=DE.

答案

1.D　2.B　3.A

4. B　A项符合ASA;C项符合SAS;D项符合AAS;B项中AB与BD不是对应边.故选B.

5.答案不唯一,如BC=AD

6. 7

 ∵MN∥PQ,AB⊥PQ,∴AB⊥MN,

∴∠DAE=∠EBC=90°.

在Rt△ADE和Rt△BEC中,

∵DE=EC,AD=BE,

∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL),∴AE=BC.

∵AD+BC=7,

∴AB=BE+AE=AD+BC=7.

7. 0或2或6或8　

 ①当点E在线段AB上,AC=BE时,△ACB≌△BED.

∵AC=4米,∴BE=4米,

∴AE=8-4=4(米),

∴点E的运动时间为4÷2=2(秒);

②当点E在射线BN上,AC=BE时,△ACB≌△BED,

∵AC=4米,∴BE=4米,

∴AE=8+4=12(米),

∴点E的运动时间为12÷2=6(秒);

③当点E在线段AB上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,这时点E在点A处未动,因此运动时间为0秒;

④当点E在射线BN上,AB=EB时,△ACB≌△BDE,AE=8+8=16(米),点E的运动时间为16÷2=8(秒).

8.证明:在Rt△ACB和Rt△BDA中,

∵AB=BA,AC=BD,

∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL),

∴∠ABC=∠BAD,∴AE=BE.

9.证明:∵AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,

∴∠ADC=∠AFE=90°.

在Rt△ADC和Rt△AFE中,

∵AD=AF,AC=AE,

∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴CD=EF.

在Rt△ABD和Rt△ABF中,

∵AD=AF,AB=AB,

∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL),∴BD=BF,

∴BD-CD=BF-EF,即BC=BE.

10.解:(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,

∴∠ADB=∠CEA=90°.

在Rt△ABD和Rt△CAE中,

∵AB=CA,AD=CE,

∴Rt△ABD≌Rt△CAE,

∴∠DAB=∠ECA.

∵∠EAC+∠ECA=90°,

∴∠DAB+∠EAC=90°,

∴∠BAC=180°-(∠DAB+∠EAC)=90°,∴AB⊥AC.

(2)AB与AC仍垂直.

证明:同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE,

∴∠DAB=∠ECA.

∵∠EAC+∠ECA=90°,

∴∠EAC+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,

∴AB⊥AC.

[素养提升]

解:(1)如图所示,FH即为所作.

(2)证明:∵∠ABC=∠DEF,

∴∠CBG=∠FEH.

∵CG⊥AB,FH⊥DE,

∴∠BGC=∠EHF=90°.

又∵BC=EF,

∴△CBG≌△FEH(AAS),

∴BG=EH,CG=FH.

在Rt△ACG和Rt△DFH中,

∵AC=DF,CG=FH,

∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),

∴AG=DH,

∴AG-BG=DH-EH,

即AB=DE.