初中数学22.5 菱形课堂检测

22.5菱形同步练习冀教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，菱形OABC的顶点，，，若菱形绕点O顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到菱形，那么点的坐标是

A.  B.  C.  D.

2. 顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是

A. 菱形 B. 矩形
C. 正方形 D. 邻边不等的平行四边形

3. 如图，菱形ABCD的边长为13，对角线，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则

A. 13 B. 10 C. 12 D. 5

4. 如图，在菱形ABCD中，于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，点E是CD的中点，且，则菱形的周长为

A. 12
B. 16
C. 20
D. 32

6. 如图，在直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为，点B的纵坐标是，则菱形OACB的边长为

A. 3 B.  C. 5 D.

7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则OH的长为
    

A. 4 B. 8 C.  D. 6

8. 如图，菱形ABCD中，，则

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在菱形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，且AC：：4，于点E，则AE的长是

A. 4
B.
C. 5
D.

10. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，则OE的长为

A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4cm
D.

11. 如图，在菱形ABCD中，，，于点H，则BH的长为

A. 3
B.
C. 2
D.

12. 如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形，边与AD，DC交于E，E，F不重合，连接EB，在旋转过程中，下列判断错误的是

A. EB平分 B. FB平分
C. 的周长是一个定值 D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且，A点的坐标是，则直线AC的表达式是______．
    
    
     

14. 如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，AEBE，C，若BD，则DE_________cm．
     

15. 如图，菱形ABCD的边长为1，，F分别是BC，BD上的动点，且，则的最小值为______．

16. 如图，有一块菱形纸片ABCD，沿高DE剪下后拼成一个矩形，矩形的长和宽分别是5cm，的长是______．

17. 如图，在菱形ABCD中，，点E在CD上，若，则______

18. 如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC与BD相交于点O，，，垂足为点E，则______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，四边形ABCD是平行四边形，，，垂足分别为E，F，且．
    求证：四边形ABCD是菱形；
    连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若，，求EG的长．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，中，．
    作点A关于BD的对称点C；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
    在所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．
    求证：四边形ABCD是菱形；
    取BC的中点E，连接OE，若，，求点E到AD的距离．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、B两点，点C在第四象限，轴．
    求k的值；
    以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标．

22. 图，图都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为在图，图中已画出线段AB，且点A，B均在格点上．
    在图中以AB为对角线画出一个矩形，使矩形的另外两个顶点也在格点上，且所画的矩形不是正方形；
    在图中以AB为对角线画出一个菱形，使菱形的另外两个顶点也在格点上，且所画的菱形不是正方形；
    图中所画的矩形的面积为______；图中所画的菱形的周长为______．

23. 在中，，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F，连接CF．
    求证：．
    求证：四边形ADCF是菱形．

24. 如图，四边形ABCD为矩形，，且，过点E作AD的垂线交AC于点F．
    依题意补全图，并证明四边形EFCD是菱形； 
    若，，求平行线DE与AC间的距离．
     

25. 如图，在菱形ABCD中，过点D作于点E，作于点F，连接EF．
    求证：≌；
    ．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：作于D，则，
四边形OABC是菱形，，，
，，
，
，，
点C的坐标为，
若菱形绕点O顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到菱形，
则菱形OABC绕点O连续旋转2020次，旋转4次为一周，旋转2020次为周，
绕点O连续旋转2020次得到菱形与菱形OABC重合，
点与C重合，
点的坐标为，
故选：D．
作于D，由菱形的性质得出，，由直角三角形的性质得出，，则点C的坐标为，则菱形OABC绕点O连续旋转2020次，旋转4次为一周，绕点O连续旋转2020次得到菱形与菱形OABC重合，点与C重合，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、点的坐标规律等知识；熟练掌握菱形的性质，求出点C的坐标，找出规律是解题的关键．
 

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接AC、BD，
、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
，三角形的中位线等于第三边的一半，
矩形ABCD的对角线，
，
四边形EFGH是菱形．
故选：A．  

3.【答案】B
 

【解析】解：连接BD，交AC于点O，如图：
菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
，，，
、BD是菱形的对角线，，
，，，
又，，
，，
，，
四边形BDEG是平行四边形，
，
在中，，，，
，
，
；
故选：B．
连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得，利用勾股定理求出OD的长，，即可求出EG．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：连接AC，如图：
四边形ABCD是菱形，
，，，，
，
，点E是AB中点，
，
是等边三角形，
，
，；
即菱形ABCD的较大内角度数为；
故选：B．
连接AC，证明是等边三角形，得出，则，，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：菱形ABCD的对角线相交于点O，
，
点E是CD的中点，
，
，
所以菱形的周长为：
．
故选：D．
根据三角形中位线定理可得BC的长，进而可求菱形的周长．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：连接AB交OC于点D，
四边形ABCD是菱形，
，，，
点C的坐标是，点B的纵坐标是，
，，
，
菱形OACB的边长为．
故选：D．
首先连接AB交OC于点D，由菱形OACB中，点C的坐标是，点B的纵坐标是，即可求得菱形OACB的边长．
此题考查了菱形的性质、点与坐标的关系．解题的关键是熟练应用菱形的性质解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得．
由菱形的性质得出，，，则，由直角三角形斜边上的中线性质得出，再由菱形的面积求出，即可得出答案．
【解答】
解：四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
，
，
菱形ABCD的面积，
，
；
故选A．  

8.【答案】D
 

【解析】解：四边形ABCD是菱形，，
，，
，
，
；
故选：D．
由菱形的性质得出，，求出，即可得出．
此题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用菱形的面积求出AE的长是解题关键．
根据AC：：4和菱形对角线的性质得：AO：：4，设，，则，由，可得AE的长．
【解答】
解：四边形ABCD是菱形，
，，，
：：4，
：：4，
设，，则，
，
，，
，，
，
，
，
故选：B．  

10.【答案】D
 

【解析】解：由题意得，，，
在中，，
又，，
是的中位线，
．
故选：D．
先求出OD、OC的长度，然后在中利用勾股定理求出CD的长度，继而根据OE是的中位线，利用中位线定理可得出OE的长度．
此题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，属于基础题，求出CD的长度，判断OE是的中位线，是解答本题的关键．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：在菱形ABCD中，，，
，，
，
，
，
，
故选：C．
利用菱形的对角线互相平分且垂直，即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式即可求出DH的长，再由勾股定理即可求出BH的长．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，利用面积法求菱形的高是解题关键．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：如图，过点B作于H，于M，于N．

菱形是由菱形ABCD旋转得到，菱形的每条边上的高相等，
，
于H，于M，于N，
平分，BF平分，故选项A，B不符合题意，
，，，
≌，
，
同法可证，，
的周长，
，，，
≌，
，
，
，
的周长定值，故选项C不符合题意，
故选：D．
如图，过点B作于H，于M，于利用角平分线的判定定理证明选项A，B正确，再利用全等三角形的性质证明的周长定值，即可判断．
本题考查旋转变换的性质，菱形的性质，角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图，
，
由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是，得
．
又，
．
，，
．
设AC的解析式为，
将A，C点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
直线AC的表达式是，
故答案为：．
根据菱形的性质，可得OC的长，根据含的直角三角形及勾股定理，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据含的直角三角形及勾股定理得出C点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．
 

14.【答案】8
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键，由含角的直角三角形的性质得出，进而得出，即，再根据得出结论．
【解答】
解：四边形ABCD是菱形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为8．  

15.【答案】
 

【解析】解：如图，连接AC，过点C作，使得，连接AT．

四边形ABCD是菱形，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：
如图，连接AC，过点C作，使得，连接证明≌，推出，推出，求出AT即可解决问题．

本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】1cm
 

【解析】解：四边形ABCD是菱形，
，
，，
在中，，
，
故答案为1cm．
根据菱形的四边相等，可得，在中，求出AE即可解决问题．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】115
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
由菱形的性质得出AC平分，，由平行线的性质得出，，求出，则，由等腰三角形的性质得出，由此即可得出答案．
【解答】
解：四边形ABCD是菱形，
平分，，
，，
，
，
，
，
；
故答案为115．  

18.【答案】
 

【解析】解：菱形ABCD的周长为20，
，
菱形ABCD，
，，
在中，，
，
，
．
故答案为．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．
先根据菱形的性质得，利用勾股定理得出，，再利用面积法计算OE的长．
 

19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，，
，且，，
≌，
，
四边形ABCD是菱形；
如图，

，
，
，，
，且，
．
 

【解析】利用全等三角形的性质证明即可解决问题；
由直角三角形的性质可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示：点C即为所求；

证明：，
，
是点A关于BD的对称点，
，，
，
四边形ABCD是菱形；
过B点作于F，
四边形ABCD是菱形，
，，
是BC的中点，
，
，
，
四边形ABCD是菱形，
，
，
故点E到AD的距离是．
 

【解析】根据点关于直线的对称点的画法，过点A作BD的垂线段并延长一倍，得对称点C；
根据菱形的判定即可求解；
过B点作于F，根据菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式即可求解．
此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出BC，AC的长是解题关键．
 

21.【答案】解：点在直线上，
，
即点A的坐标为，
点是反比例函数的图象与正比例函数图象的交点，
，
即k的值是2；
由题意得：，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
，
点，
，
菱形ABCD是以AB、BC为边，且轴，
，
．
 

【解析】根据点在上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，即可求得k的值；
因为B是反比例函数和正比例函数的交点，列方程可得B的坐标，根据菱形的性质可确定点D的坐标．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】8 
 

【解析】解：如图所示，矩形ACBD即为所求；
如图所示，菱形AFBE即为所求；
矩形ACBD的面积；菱形AFBE的周长，
故答案为：8，．
根据矩形的性质画图即可；
根据菱形的性质画图即可；
根据矩形的面积公式和菱形的周长公式即可得到结论．
本题考查了作图应用与设计作图．熟记矩形和菱形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．
 

23.【答案】证明：，

是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
，
在和中，
，
≌

由知，，且，
，且，
四边形ADCF是平行四边形
，D是BC的中点，

四边形ADCF是菱形
 

【解析】由“AAS”可证≌，可得；
由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形的性质可得，即可得四边形ADCF是菱形．
本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明是本题的关系．
 

24.【答案】证明：根据题意补全图，如图1：

四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
，
，
又，
四边形EFCD是平行四边形，
又，
，
四边形EFCD是菱形；
解：过点D作于G，如图2：

在中，，，
，，
，
，
在中，，，
平行线DE与AC间的距离是．
 

【解析】根据矩形的性质得出，再利用菱形的判定证明即可；
过点D作于G，利用三角函数进行解答即可．
此题考查菱形的判定，关键是根据矩形的性质得出，再利用菱形的判定进行分析．
 

25.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
，，
，，
，
在和，
，
≌；
四边形ABCD是菱形，
，
≌，
，
，
．
 

【解析】利用菱形的性质得到，，进而利用AAS证明两三角形全等；
根据≌得到，结合菱形的四条边相等即可得到结论．
本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的性质以及AAS证明两三角形全等，此题难度一般．