初中数学冀教版八年级下册22.3 三角形的中位线课堂检测

22.3三角形的中位线同步练习冀教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，，则OE的长是

A. 2
B.
C. 1
D.

2. 如图，在中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，，且，，则EF的长是

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

3. 如图，在中，，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若，且的面积为1，则BC的长为

A.  B. 5 C.  D. 10

4. 在中，，，，D、E分别为AC、AB边上的中点，连接DE并延长DE到F，使得，连接BF，则BF长为   

A. 2
B.
C. 4
D.

5. 三角形的面积是，则它的三条中位线组成的三角形的面积是

A.  B.  C.  D.

6. 在中，，，，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为

A. 4 B.  C. 3 D.

7. 如图，DE是的中位线，点F在DE上，且，若，，则EF的长为   

A.
B.
C. 4
D. 5

8. 若的周长为20cm，点D，E，F分别是三边的中点，则的周长为

A. 5cm B. 10cm C. 15cm D.

9. 如图，在中，点D，E分别是边AB，AC的中点，，垂足为点F，，，则BF的长为

A. 4
B.
C.
D.

10. 如图，的周长为4，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则的周长是

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

11. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边中点，下列结论正确的是

A. 若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH是矩形
B. 若四边形ABCD是菱形，则四边形EFGH是正方形
C. 若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是矩形
D. 若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH是正方形

12. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，中，，，，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果，那么点P和点B间的距离等于______．
     

14. 如图，▱ABCD中，，，于E，F为边CD上一动点，连接AF、EF，点G，H分别为AF、EF的中点，则GH的长为______．

15. 如图，在中，，点E、Q、F分别是边AC、AB、BC的中点，若，则________．

16. 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连结CA，CB，分别延长到点M，N，使，，测得，则A，B间的距离为________m．

17. 如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，，，，，则的度数为______．
18. 如图，在中，D，E分别是AB，BC的中点，F在CA的延长线上，，，则四边形AEDF的周长为______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，在四边形ABCD中，，，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
    
    求证：
    若，AC平分，，求BN的长．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图1，在等腰三角形ABC中，，，点D、E分别在边AB、AC上，，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
    观察猜想．
    图1中，线段NM、NP的数量关系是______，的大小为______．
    探究证明
    把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断的形状，并说明理由；
    拓展延伸
    把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值．

21. 中，，点D、E分别为AB、AC边中点，连接DE，取DE中点F，连接AF，若，求AF的长．
     

22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，分别连接BE，CE，若点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点．
    

求证：四边形EFGH是平行四边形；

设四边形EFGH的面积为，四边形ABCD的面积为，请直接写出的值．






 

23. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OA，OC的中点，连接BE，DE，BF，DF．
    求证：四边形BEDF是平行四边形；
    若，请判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

24. 如图，在中，点D在BC上，且，，垂足为E，点F是AB的中点．求证：．
     

25. 如图1，与都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN．
    
    观察猜想：
    图1中，PM与PN的数量关系是____，位置关系是____．
    探究证明：
    将图1中的绕着点C顺时针旋转，得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H，判断的形状，并说明理由；
    拓展延伸：
    把绕点C任意旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，
，
点E是边BC的中点，
所以OE是的中位线，
．
故选：A．
根据平行四边形的性质得，所以OE是的中位线，根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
本题利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理求解，需要熟练掌握．
 

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：点D，E分别是边AB，AC的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故选B．  

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
过A作于H，根据已知条件得到，求得，求得，根据三角形的面积公式得到，得到，求得负值舍去，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：过A作于H，

是AB的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的面积为1，
，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
，
．
故选：A．  

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查对顶角、邻补角、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形以及三角形中位线定理的知识点，解题关键点是熟练掌握这些性质．
首先可得，，然后可得，，，进而求得为等边三角形，即可求解．
【解答】
解：中，，，，
，，
、E分别为AC、AB边上的中点，
，，，
，
即，
，
，
，
为等边三角形，
．
故选C．  

5.【答案】C
 

【解析】解：是的中位线，
，即，
同理，，，
，
∽，
，

故选：C．
根据三角形中位线定理得到，证明∽，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：、E分别是AB、AC的中点，
是的中位线，
，
故选：D．
证DE是的中位线，再由三角形中位线定理求解即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用三角形中位线定理可得，进而可得答案．
此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【解答】
解：为AB中点，，，
，
是的中位线，，
，
，
故选：B．  

8.【答案】B
 

【解析】解：点D，E，F分别是三边的中点，
、EF、DF分别等于三边的一半，
的周长 cm．
故选B．
利用三角形的中位线性质得到所求三角形的三边与原三角形的周长之间的关系，进而求解．
本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的一半．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：在中，，，，
，
，，
，
，
，
．
故选：C．
先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．
本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：的周长为4，
，
点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
，，，
的周长，
故选：B．
根据三角形中位线定理得到，，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】D
 

【解析】 结合三角形中位线定理可知，
当四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是平行四边形；
当四边形ABCD是菱形时，四边形EFGH是矩形；
当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形；
当四边形ABCD是正方形时，四边形EFGH是正方形．
 

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形中位线定理得到，，得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

【解答】
解：是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，
，，
，
，
，
，
故选C．

13.【答案】或10
 

【解析】

【分析】
此题考查了折叠的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
在中，根据勾股定理可求AB的长，根据折叠的性质可得，，根据三角形中位线定理可得，，，再在中，根据勾股定理可求QP，继而可求得答案．
【解答】
解：在中，，，，
，
如图，由折叠的性质可得，，
又，
，
是AB的中点，
，，，

当点P在DE右侧时，
，
在中，，
即，
解得，
则．
当点P在DE左侧时，同知，，
故答案为或10．  

14.【答案】
 

【解析】解：，，于E，
，
点G，H分别为AF、EF的中点，
，
故答案为：．
根据含的直角三角形的性质得出AE，进而利用三角形中位线得出GH即可．
此题考查平行四边形的性质和三角形中位线定理，关键是根据含的直角三角形的性质得出AE解答．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识已知CD是斜边AB的中线，那么是的中位线，则EF应等于AB的一半．

【解答】

解：，点E、Q、F分别是边AC、AB、BC的中点，

，

．

故答案为．

16.【答案】100
 

【解析】

【分析】

本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】

解：，，
是的中位线，
，

故答案为100．

17.【答案】
 

【解析】解：连接BD，

、F分别是边AB、AD的中点，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接BD，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

18.【答案】16
 

【解析】解：在中，
，，
，
是BC的中点，
，
，
，
，
，
、E分别是AB、BC的中点，
，，
四边形AEDF是平行四边形
四边形AEDF的周长．
故答案为：16．
根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而不难求得其周长．
本题考查了三角形中位线定理的运用，熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：证明：，M为AC中点，，

为AC中点，N为DC中点，，

，

，AC平分，

，

，，

，

由三角形中位线定理得， ，
， ， 

是等腰直角三角形，由勾股定理得．

【解析】略
 

20.【答案】解：；；
是等边三角形．
理由如下：由旋转可得，，
又，，
≌，
，，
点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
，，，，
，，，
，
，
，
是等边三角形；
根据题意得，，即，
，
的面积，
的面积的最大值为．
 

【解析】

【分析】
本题是三角形的一个综合题，主要考查了等边三角形的判定，三角形的中位线定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，关键证明三角形全等和运用三角形中位线定理使已知与未知联系起来．
先由，，得，再由三角形的中位线定理得NM与NP的数量关系，由平行线性质得的大小；
先证明≌得，再由三角形的中位线定理得，由平行线性质得，再根据等边三角形的判定定理得结论；
由，得，再由等边三角形的面积公式得的面积关于MN的函数关系式，再由函数性质求得最大值便可．
【解答】
解：，，
，
点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
，，，，
，，，
，
，
，
故答案为：；；
见答案；
见答案．  

21.【答案】解：点D、E分别为AB、AC边中点，
是的中位线，
，
在中，点F是DE中点，
．
 

【解析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

22.【答案】证明：点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点，
，HG是的中位线，
，，
四边形EFGH是平行四边形；
：4．
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线．
利用三角形的中位线可得，，再由平行四边形的判定可得；
由可得平行四边形EFGH的面积等于三角形BCE的面积的一半，再由三角形BCE的面积等于平行四边形ABCD面积的一半可得．
【解答】
解：见答案；
点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点，
平行四边形EFGH的面积三角形BCE的面积的一半，
三角形BCE的面积平行四边形ABCD面积的一半，
平行四边形EFGH的面积平行四边形ABCD面积，
即．
故答案为1：4．  

23.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
又，F分别为AO，OC的中点，
，
四边形BEDF是平行四边形；
解：四边形BEDF是矩形，理由如下：
，，，
，
，F分别为OA，OC的中点，
，
，
四边形BEDF是平行四边形，
平行四边形BEDF是矩形．
 

【解析】由平行四边形的性质得，，再怎，即可得出结论；
证明，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定，证明四边形BEDF为平行四边形是解题的关键．
 

24.【答案】证明： ，
，
又为AB中点，
为中位线，
，
即．
 

【解析】根据等腰三角形三线合一的性质求出，然后求出EF为的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质与定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：；
如图中，设AE交BC于O，

和是等腰直角三角形，
，，，
，
≌，
，，
又，，
，
点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
，；，，
，
，
，
，
可知是等腰直角三角形；
由可知是等腰直角三角形，，
当BD的值最大时，PM的值最大，的面积最大，
当B、C、D共线时，BD的最大值，
，
的面积的最大值．
 

【解析】

【分析】
本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理的运用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
由等腰直角三角形的性质易证≌，由此可得，再根据三角形中位线定理即可得到，由平行线的性质可得；
中的结论仍旧成立，由中的证明思路即可证明；
由可知是等腰直角三角形，，推出当BD的值最大时，PM的值最大，的面积最大，推出当B、C、D共线时，BD的最大值，由此即可解决问题．
【解答】
解：，，理由如下：
延长AE交BD于O．

和是等腰直角三角形，
，，．
在和中，

≌，
，，，
，
，
，即，
点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
，，
，
，，，
，，，
，
，
即．
故答案为，；
见答案；
见答案．