冀教版八年级下册22.5 菱形评优课课件ppt

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想一想：1.菱形、矩形的定义？2.它们分别比平行四边形多了哪些性质？3.怎样判定一个四边形是矩形？
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
互相垂直且平分每一组对角
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们是如何到的它们的判定方法呢？那么类比着它们，菱形的判定方法是什么？
由对角线的位置关系判定菱形
1. 用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小 钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡 皮筋，做成一个四边形.2. 任意转动木条，这个四边形 总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？继续转 动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱 形？你能证明你的猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 这个命题的前提是什么？结论是什么？用几何语言表示命题如下：已知：在□ABCD 中，对角线AC⊥BD，求证：□ABCD 是菱形.分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90º及AO=AO，得△AOB ≌△AOD，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD ) ，最后证得□ABCD 是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示：此方法包括两个条件——(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
例1 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作直线EF⊥BD，分别交AD，BC 于点E 和点F，连接BE，DF. 求证：四边形BEDF 是菱形．
若要证明四边形BEDF 是菱形，需要先证明四边形BEDF 是平行四边形，而由题意易知DE∥BF，只需要证明DE＝BF，即可判定四边形BEDF 是平行四边形，证明DE＝BF 可通过证明△OED ≌△OFB 来实现．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB＝OD，AD∥BC.∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB.∴△OED ≌△OFB. ∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF 是平行四边形.∵EF⊥BD，∴四边形BEDF 是菱形．
证明一个四边形是菱形时，若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形．
已知：如图，在▱ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD，BC 分别交于点E，F. 求证：四边形AFCE 是菱形.
∵O 为AC 的中点，EF⊥AC，∴AE＝EC，AF＝FC，在▱ABCD 中，∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠OCF，在△AEO 与△CFO 中，∴△AEO ≌△CFO，∴AE＝CF.∴AE＝EC＝CF＝FA.∴四边形AFCE 是菱形．
如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD 与AC 交于点O，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥ BC；③四边形 ABCD 是菱形；④△ABD ≌△CDB.其中正确的是____________(只填写序号).
如图，画两条等长的线段AB，AD.分别以点B， D 为圆心，AB 为半径画弧，两弧相交于点C 连接BC，CD.得到四边形ABCD.四边形ABCD 是菱形吗？
事实上，我们有：四条边相等的四边形是菱形.现在，我们来证明这个结论.已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形是菱形.证明：∵AB=CD.且BC=AD，∴四边形ABCD 是平行四边形.又∵AB=AD.∴四边形ABCD 是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
例2 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE∥AC，交AB 于点E，DF∥AB，交AC 于点F.求证：四边形AEDF 是菱形.
∵ DE∥AC， DF∥AB，∴四边形AEDF 是平行四边形.∴∠1=∠3.又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3.∴AE=DE.∴四边形AEDF 是菱形.
能证明四边形是平行四边形时，可以先证明四边形是平行四边形，然后证明有一组邻边相等来证明四边形是菱形 .
1 如图，在△ABC 中，AB=AC，画出点A 关于BC 的对称点A'.请用两种不同的方法证明四边形ABA'C 是菱形.
如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF⊥ BD 于点H，交BC 延长线于点F，交DC 于点G. 求证：DC 与EF 互相平分.
连接AC，则AC⊥BD，又因为EF⊥BD，∴AC∥EF.∵E 是AD 的中点，∴G 是DC 中点．易得△DEG ≌△CFG，∴EG＝FG，∴DC 与EF 互相平分．
已知：如图，四边形ABCD 是菱形，两条对角线交于点O，DE 为∠ADB 的平分线，交AC 于点E，DF 为∠CDB 的平分线，交AC 于点F，连接BE，BF. 求证：四边形DEBF 是菱形.
∵四边形ABCD 是菱形，AC、BD 是其两条对角线，∴EF 垂直平分DB，∴ED＝EB，DF＝BF.∵DE、DF 分别平分∠ADB，∠CDB，∠ADB＝∠CDB，∴∠ADE＝∠CDF.在△ADE 和△CDF 中，∴△ADE ≌△CDF，∴DE＝DF，∴DE＝DF＝BE＝BF.∴四边形DEBF 是菱形．
例3 如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD， 点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中 点．试说明：四边形EFGH 是菱形．
由于点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中点，可知EH，HG，GF，FE 分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD的中位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形EFGH 是菱形．
∵点E，H 分别为AD，AC 的中点，∴EH 为△ACD 的中位线，∴EH＝ CD.同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.∵AB＝CD，∴EH＝EF＝FG＝HG，∴四边形EFGH 是菱形．
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也可以通过先证四边形EFGH 是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，大家不妨试一试．
如图在▱ABCD 中，∠D=60°，以顶点A 为圆心，AB 为半径画弧，交BC 于点E，交AD 于点F.请你指出图中的等腰三角形、平行四边形和菱形.
△ABE，△AEF 是等腰三角形．四边形ABCD、四边形ABEF、四边形CDFE 是平行四边形，四边形ABEF 是菱形．
如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =60°，M 为AB 中点，P 为对角线AC 上的一个动点，PM+PB 的最小值是3. 求AB 的长.
作点M 关于AC 对称的点M ′，则M ′在边AD上．且M ′为AD 的中点，连接BM ′，易得BM ′的长为PM＋PB 的最小值，∴BM ′＝3. 连接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD 为等边三角形．∴∠ABM ′＝30°，∠AM ′B＝90°，∴AM ′＝ AB，AB 2－AM ′2＝BM ′2＝9，∴AB＝2 .
如图，绿丝带下部重叠部分是什么图形？请说明理由.
解：菱形. 理由略．
如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是(　　)A．BA＝BC B．AC，BD 互相平分C．AC＝BD D．AB∥CD
如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有(　　)A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
如图，将▱ABCD 沿AE 翻折，使点B 恰好落在AD上的点F 处，则下列结论不一定成立的是(　　)A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE
如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B，C 两点不重合)，过点D 作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC 于E，F 两点，下列说法正确的是(　　)A．若AD⊥BC，则四边形AEDF 是矩形B．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形D．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形
如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为 (　　)A．52 cm　 B．40 cm C．39 cm D．26 cm
如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE∥AC 交AB 于点E，DF∥AB 交AC 于点F.如果AE＝4 cm，那么四边形AEDF 的周长为(　　)A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．22 cm
下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是__________(填序号)．
易错点：臆造菱形的判定方法导致出错
如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE 交AB 于点F，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；③BC＝FB； ④PF＝PC，其中正确结论的个数为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
如图，分别以Rt△ABC 的斜边AB 和直角边AC 为边向△ABC 外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G，EF 与AC 交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：①EF⊥AC；　　　②四边形ADFE 为菱形；③AD＝4AG；④FH＝ BD.其中正确的结论是(　　)A．①②③　 B．①②④　 C．①③④　 D．②③④
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D，E 分别是边BC，AB上的中点，连接DE 并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)求证：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．
(1)证明：∵点D，E 分别是边BC，AB上的中点， ∴DE∥AC，且DE＝ AC. ∴AC＝2DE.∵EF＝2DE， ∴EF＝AC，又∵EF∥AC， ∴四边形ACEF 是平行四边形．∴AF＝CE.(2)解：四边形ACEF 是菱形．理由如下： ∵在Rt△ABC 中，E 为AB 的中点，∴EC＝ AB. ∵∠B＝30°，∴AC＝ AB.∴AC＝EC. ∵四边形ACEF 是平行四边形， ∴四边形ACEF 是菱形．
如图，在矩形ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分线BE、DF 分别交边AD、BC 于点E、F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．
(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB∥DC、AD∥BC， ∴∠ABD＝∠CDB. ∵BE 平分∠ABD、DF 平分∠BDC， ∴∠EBD＝ ∠ABD，∠FDB＝ ∠BDC. ∴∠EBD＝∠FDB. ∴BE∥DF. 又∵AD∥BC， ∴四边形BEDF 是平行四边形．
(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF 是菱形． 理由：∵BE 平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°. ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A＝90°. ∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°. ∴∠EDB＝∠EBD＝30°. ∴EB＝ED. 又∵四边形BEDF 是平行四边形， ∴四边形BEDF 是菱形．
如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 的垂直平分线交AD 于点E，交CB 的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE ≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠AEG＝∠BFG. ∵EF 垂直平分AB，∴AG＝BG. 在△AGE 和△BGF 中， ∴△AGE ≌△BGF (AAS)．(2)解：四边形AFBE 是菱形，理由如下： ∵△AGE ≌△BGF，∴AE＝BF. ∵AD∥BC，∴四边形AFBE 是平行四边形． 又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE 是菱形．
如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证：△BDF 是等腰三角形；(2)如图②，过点D 作DG∥BE，交BC 于点G，连接FG 交BD 于点O.①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG 的长．
(1)由折叠得，△BDC ≌△BDE， ∴∠DBC＝∠DBE. 又∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠FDB， ∴∠DBE＝∠FDB，∴DF＝BF， ∴△BDF 是等腰三角形．
(2)①四边形BFDG 是菱形．理由如下： ∵四边形ABCD 是矩形， ∴FD∥BG.∵DG∥BE， ∴四边形BFDG 是平行四边形． ∵DF＝BF， ∴四边形BFDG 是菱形．
②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A＝90°.∴BD＝ ＝10.∵四边形BFDG 是菱形，∴GF⊥BD，FG＝2OF，OB＝ BD＝5.设DF＝BF＝x，则AF＝AD－DF＝8－x，在Rt△ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得：x＝ . ∴FB＝ .在Rt△FOB 中，FO＝ ，∴FG＝2FO＝ .