人教B版 (2019)必修 第一册1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定课后作业题

七　全称量词命题与存在量词命题的否定

【基础全面练】　(15分钟·30分)

1.(2021·广州高一检测)设命题p：∀x∈[0，1]，都有x2－1≤0.则p为(　　)

A．∃x∈[0，1]，使x2－1≤0

B．∀x∈[0，1]，使x2－1≥0

C．∃x∈[0，1]，使x2－1>0

D．∀x∈[0，1]，使x2－1>0

【解析】选C.根据全称量词命题的否定为存在量词命题，命题p：∀x∈[0，1]，都有x2－1≤0的否定为：∃x∈[0，1]，使x2－1>0.

2．设命题p：∃k∈N，k2>2k＋3，则p为(　　)

A．∀k∈N，k2>2k＋3

B．∃k∈N，k2<2k＋3

C．∀k∈N，k2≤2k＋3

D．∃k∈N，k2≤2k＋3

【解析】选C.因为命题p：∃k∈N，k2>2k＋3，所以p：∀k∈N，k2≤2k＋3.

3．设命题p：∀x∈Q，x2∈Q，则(　　)

A．p为真命题

B．p：∀x∈Q，x2∉Q

C．p：∃x∉Q，x2∈Q

D．p：∃x∈Q，x2∉Q

【解析】选D.因为命题p为真命题，所以命题p的否定为假命题，p：∃x∈Q，x2∉Q.

4．(2021·惠州高一检测)命题“存在一个正整数，既不是合数，也不是素数”的否定是________．

【解析】因为原命题为：“存在一个正整数，既不是合数，也不是素数”，为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，否定为：“任取一个正整数，则这个数是合数或者是素数”．

答案：任取一个正整数，则这个数是合数或者是素数

【补偿训练】

若命题p：∀x∈R，<0，则p：________.

【解析】p：∃x∈R，使>0或x－2＝0.

答案：∃x∈R，使>0或x－2＝0

5．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为__________，此命题的否定是____________，是________命题(填“真”或“假”).

【解析】此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题．

答案：∃x，y∈R，x＋y＞1　∀x，y∈R，x＋y≤1　假

6．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是________．

【解析】命题的否定是∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0.

答案：∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0

【综合突破练】　(20分钟·40分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　)

A．p：所有四边形的内角和都是360°

B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0

C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数

D．s：对所有实数a，都有|a|＞0

【解析】选BD.A.p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题．B.q：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x ＋1)2＋1≥1＞0恒成立．C.r：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题．D.s：存在实数a，使|a|≤0，真命题．

2．∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋1 998的否定是(　　)

A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋1 998

B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋1 998

C．∀m，n∈Z，使得m2≠n2＋1 998

D．以上都不对

【解析】选C.这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是：∀m，n∈Z，有m2≠n2＋1 998.

3．(2021·郑州高一检测)已知命题p：∀x∈R，2x2＋5x＋4>0，则命题p的真假以及否定分别为(　　)

A．真，p：∀x∈R，2x2＋5x＋4≤0

B．假，p：∀x∈R，2x2＋5x＋4≤0

C．真，p：∃x∈R，2x2＋5x＋4≤0

D．假，p：∃x∈R，2x2＋5x＋4≤0

【解析】选C.对于函数y＝2x2＋5x＋4，Δ＝25－32<0，故命题p为真．

又p：∃x∈R，2x2＋5x＋4≤0.

4．(2021·巢湖高一检测)若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．　　B．∪

C．    D．∪

【解析】选C.若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，

则其否定“∀x∈R，使得3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，

所以Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2021·大名高一检测)若命题p：∃x∈R，x2－4x＋a＝0为假命题，则实数a的取值范围是________，p的否定是________．

【解析】若命题p为假命题，则p：∀x∈R，x2－4x＋a≠0为真命题，

则Δ＝2－4a<0，解得a>4.

答案：　∀x∈R，x2－4x＋a≠0

6．已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是________．

【解析】因为p为假命题，所以命题p的否定：∀x＞0，x＋a－1≠0是真命题，所以x≠1－a，

所以1－a≤0，所以a≥1.

答案：[1，＋∞)

三、解答题

7．(10分)命题p是“对任意实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．

(1)写出命题p的否定．

【解析】(1)命题p的否定：存在实数x，有x－a≤0且x－b＞0.

(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？

【解析】要使命题p的否定为真，则需要使不等式组的解集不为空集．

通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b＜a.

【补偿训练】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：

(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立．

【解析】(1)全称量词命题．￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．

 (2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.

【解析】存在量词命题．￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．