高中数学北师大版必修41.2向量的概念同步训练题

2020-2021学年北师大版必修四   2.1.2 向量的概念    作业

一、选择题

1、下列命题正确的是（    ）

A．若都是单位向量，则

B．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同

C．向量与是两个平行向量

D．若，则四点是平行四边形的四个顶点

2、
已知向量与为单位向量，满足，则向量与的夹角为（    ）。

A．     B．     C．     D．

3、对于任意向量,下列命题中正确的是(  )

A.若满足且与同向,则      B.若,则或

C.                              D.

4、如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（   ）

A． B． C． D．

5、下列说法中正确的是（    ）

A．平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B．长度相等的向量叫相等向量

C．零向量的长度为零 D．共线向量是在一条直线上的向量

6、下列命题正确的是（    ）

A．若、都是单位向量，则

B．若，则四点、、、构成平行四边形

C．若，则是的相反向量

D．与是两平行向量

7、向量概念下列命题中正确的是

A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合

B.模相等的两个平行向量是相等向量

C.若和都是单位向量,则=

D.两个相等向量的模相等

8、给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则＝；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)

A．①    B．③    C．①③    D．①②

9、在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0且·＝，则△ABC为(　　)

A．三边均不相等的三角形     B．直角三角形

C．等腰非等边三角形      D．等边三角形

10、已知向量，则向量的单位向量是（  ）

A.     B.     C.     D.

11、已知单位向量，则下列各式成立的是（   ）

A.      B.       C.        D.

12、若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的端点，得到的向量中有个是两两不相等的，则n的最大值是（    ）

A.6 B.8 C.10 D.12

二、填空题

13、△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是__________．

14、①若·=·，则=    ②若，则·=0

③若//，//，则//    ④若与是单位向量，则·=1

上述命题正确的是         

15、下列命题中正确的有________.(填序号)

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若，则；

③若，则四点构成平行四边形；

④在？ABCD中，一定有；

⑤若，，则；

⑥若，，则；

16、平面向量的单位向量坐标为___________.

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．

(1)写出与向量相等的向量；

(2)写出与向量共线的向量．

18、（本小题满分12分）判断下列命题是否正确，请说明理由：

（1）若向量与同向，且，则；

（2）若向，则与的长度相等且方向相同或相反；

（3）对于任意向量，若与的方向相同，则=；

（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；

（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．

19、（本小题满分12分）如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

(1)与相等的向量共有几个？

(2)与平行且模为的向量共有几个？

(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？

参考答案

1、答案C

解析利用单位向量的定义可判断A；利用向量相等的定义可判断B；利用平行向量的定义可判断C；利用向量相等的定义可判断D.

详解：对于A，单位长度为的向量为单位向量，

都是单位向量，但方向可能不同，故A不正确；

对于B，模相等，方向相同的向量为相等向量，故B不正确；

对于C，向量与为相反向量，所以两个为平行向量，故C正确；

对于D，，若四点在同一条直线上，

不能构成平行四边形，故D不正确；

故选：C

点睛

本题考查了向量的基本概念，需理解单位向量、相等向量、共线向量的概念，属于基础题.

2、答案C

解析向量与为单位向量，满足，平方得，得，得得，故选C.
 

3、答案D

解析

4、答案D

详解：因为是两个单位向量，所以它们的长度相等，但方向不一定相同，故选D．

点睛：本题考查了单位向量的概念，试题属于基础题，熟记单位向量的概念和向量的概念是解答的关键．

5、答案C

解析直接根据共线向量、相等向量、零向量的概念判断即可．

详解：解：平行向量也叫共线向量，是指方向相同或相反的两个向量，另外规定零向量与任意向量平行，故A，D错；

相等向量是指长度相等、方向相同的向量，故B错；

长度为零的向量叫零向量，故C对；

故选：C．

点睛

本题主要考查平面向量的有关概念，属于基础题．

6、答案D

解析根据相等向量的定义判断A、B选项的正误；根据相反向量的定义可判断C选项的正误；根据平行向量的定义可判断D选项的正误.综合可得出结论.

详解

对于A选项，、都是单位向量，但是这两个向量方向不一定相同，、不一定相等，A选项错误；

对于B选项，若，则直线或、、、四点共线，B选项错误；

对于C选项，若是的相反向量，则，C选项错误；

对于D选项，，所以，与是两平行向量，D选项正确.

故选：D.

点睛

本题考查与向量概念相关命题真假的判断，正确把握相等向量、相反向量以及平行向量的概念是解答的关键，考查推理能力，属于基础题.

7、答案D

解析A若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定相等的；B模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C若和都是单位向量，则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D两个相等向量的模相等是正确的.

考点：向量的概念.

8、答案A

解析根据零向量的定义、单位向量的概念和相等向量的概念，对三个命题的真假性逐一进行判断，由此得出正确选项.

详解

.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．所以选A.

点睛

本小题主要考查零向量的定义，考查单位向量的概念以及考查相等向量的概念.属于基础题.

9、答案D

解析

10、答案C

解析向量的单位向量是

故选C

11、答案D

解析由题意可得，单位向量的定义为模长为1的向量为单位向量，因此任意两个单位向量之间除了模长相等之外，其余并没有任何关系，综合以上性质，故选D

考点：单位向量的定义及性质.

12、答案B

解析画出图形,根据相等向量的定义找到符合条件的向量即可

详解

如图,两两互不相等的有：、、、、、、、,共8个

故选：B

点睛

本题考查相等向量的定义,方向大小均相同的向量为相等向量,与位置无关

13、答案模相等

解析因为△ABC是等腰三角形，所以AB＝AC，

即||＝||.

14、答案②

解析

15、答案④⑤

解析根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案.

详解：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；

,由于与方向不确定，所以与不一定相等，故②不正确；

，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确；

在？ABCD中，,所以一定有，所以④正确；⑤显然正确；

零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，故⑥不正确．

故答案为：④⑤.

点睛

本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题.

16、答案

解析结合所给的向量将其单位化即可确定平面向量的单位向量.

详解

由所给的向量可知其单位向量为：，即.

故答案为：．

点睛

本题主要考查向量的单位化及其计算，属于基础题.

17、答案(1)∵四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，

∴AB綊ED，AB綊DC.

从而＝，＝，∴＝.

故与向量相等的向量是，.

(2)由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.

解析

18、答案（1）不正确，理由见解析（2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析（4）不正确，理由见解析（5）不正确，理由见解析

详解：（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

（2）不正确．由|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．

（3）正确．因为|，且与同向，由两向量相等的条件，可得=

（4）不正确．依据规定：与任意向量平行．

（5）不正确．因为向量与若有一个是零向量，则其方向不定．

点睛

本题主要考查平面向量的相关概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

解析

19、答案(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．

(2)与向量平行且模为的向量在每一个小正方形中有两个，共有24个．

 (3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．

解析