北师大版2.3互斥事件课时练习

第三章　概率

2　古典概型

2.3　互斥事件

[课时作业]

[A组　基础巩固]

1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是(　　)

A．对立事件

B．必然事件

C．互斥事件，但不是对立事件

D．以上答案均不对

答案：C

2．从1，2，3，…，9中任取两数，给出下列各组事件：

①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”；

②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”；

③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”；

④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”．

其中是对立事件的是(　　)

A．①　　　　　　　 B．②④

C．③  D．①③

解析：本题考查对立事件的概念．

从1，2，3，…，9中任取两数，有以下三种情况：

(1)两个奇数；

(2)两个偶数；

(3)一个奇数和一个偶数．

所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生．

答案：C

3．据某医疗机构调查，某地区居民血型分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现有一血型为A的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为(　　)

A．65%  B．45%

C．20%  D．15%

答案：A

4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)

A.   B.

C.  D．1

答案：C

5．设事件A的对立事件为事件B，已知事件B的概率是事件A的概率的2倍，则事件A的概率是________．

解析：由P(A)＋P(B)＝1，且P(B)＝2P(A)，知P(A)＝.

答案：

6．在一个口袋中装有3个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出2个球，至少摸到1个黑球的概率是________．

解析：3个白球编号为1，2，3，2个黑球编号为4，5.

则基本事件是：

(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共有10个基本事件．

设至少摸到1个黑球为事件A，

其对立事件为B，则B包含的基本事件是(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个．

所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝.

答案：

7．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

若每辆车的投保金额均为2 700元，则赔付金额大于投保金额的概率约为________(用频率估计概率)．

解析：设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率，得P(A)＝＝0.16，P(B)＝＝0.11，由于投保金额为2 700元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.16＋0.11＝0.27.

答案：0.27

8．袋中12个小球，分别有红球，黑球，黄球各若干个(这些小球除颜色外其他都相同)，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球的概率比得到黄球的概率多，则得到黑球、黄球的概率分别是__________．

解析：因为得红球的概率为，所以得到黑球或黄球的概率为.

记“得到黄球”为事件A，“得到黑球”为事件B，则

所以P(A)＝，P(B)＝.

答案：、

9．某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件．如果是，再判断它们是不是对立事件．

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.

解析：(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．

(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．

10．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.

(1)求他乘火车或乘飞机的概率；

(2)求他不乘轮船的概率．

解析：(1)记“乘火车”为事件A1，“乘轮船”为事件A2，“乘汽车”为事件A3，“乘飞机”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．

故P(A1∪A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.

所以他乘火车或乘飞机的概率为0.7.

(2)设他不乘轮船的概率为P，

则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8，

所以他不乘轮船的概率为0.8.

[B组　能力提升]

1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：由题意可知，

即，即，解得<a≤.

答案：D

2．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：

事件A：恰有一件次品；

事件B：至少有两件次品；

事件C：至少有一件次品；

事件D：至多有一件次品．

并给出以下结论：

①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∩B＝C；④A∩D＝C.

其中正确结论的序号是(　　)

A．①②  B．③④

C．①③  D．②③

解析：事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以①正确；

事件A∩B＝∅，③不正确；

事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；

事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以④不正确．

答案：A

3．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球各若干个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别为______，______，________．

解析：从袋中任取一球，记事件摸到红球，摸到黑球，摸到黄球，摸到绿球分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D两两互斥．

则有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝；

P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝；

P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.

把P(B)，P(C)，P(D)看成未知数，解方程组

得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，即得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.

答案：　　

4．甲射击一次，中靶的概率是p1，乙射击一次，中靶的概率是p2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且p1满足方程 x2－x＋＝0，则甲射击一次，不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________．

解析：由p1满足方程x2－x＋＝0知，p－p1＋＝0，解得p1＝.因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以 ·＝6，解得p2＝.因此甲射击一次，不中靶的概率为1－＝，乙射击一次，不中靶的概率为1－＝.

答案：　

5．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

解析：记A表示事件：该车主购买甲种保险；

B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．

(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A＋B，

所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.

(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.

6．某医院派出医生下乡免费坐诊，派出医生人数及其概率如下：

(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；

(2)若派出医生不超过4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．

解析：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，

得0.1＋0.16＋x＝0.56，

所以x＝0.3.

(2)由派出医生不超过4人的概率为0.96，

得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.

由派出医生至少3人的概率为0.44，

得y＋0.2＋z＝0.44，

所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.