高中数学北师大版必修32.2建立概率模型课后复习题

第三章　概率

2　古典概型

2．1　古典概型的特征和概率计算公式

2．2　建立概率模型

[课时作业]

[A组　基础巩固]

1．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为(　　)

A.　　　　 B.　　　　

C.　　　　 D.

解析：设两款优惠套餐分别为A，B，列举基本事件如下：

可得甲、乙、丙三名学生选同一款套餐的概率为＝.

答案：C

2．有五根细木棒，长度分别为1，3，5，7，9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案：D

3．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是(　　)

A．一定不会淋雨  B．淋雨的可能性为

C．淋雨的可能性为  D．淋雨的可能性为

答案：D

4．某天放学以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析：2位男同学和2位女同学走出教室的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，所以第2位走出的是男同学的概率是P＝＝，故选A.

答案：A

5．甲、乙两人随意入住三间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．

解析：设房间的编号分别为A、B、C，事件“甲、乙两人各住一间房”包含的基本事件有：甲A乙B，甲B乙A，甲B乙C，甲C乙B，甲A乙C，甲C乙A共6个，基本事件总数为3×3＝9，所以所求的概率为＝.

答案：

6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．

解析：设从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，组成实数对(a，b)，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15种，其中b>a的有(1，2)，(1，3)，(2，3)3种，

所以b>a的概率为＝.

答案：

7．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．

解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数为6个，由1，3，4组成的三位自然数为6个，由2，3，4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为＝.

答案：

8．高三(1)班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是________．(结果用最简分数表示)

解析：设4名男生用1，2，3，4表示，3名女生用a，b，c表示，从中任选3人有35种选法，其中只有男生有4种选法，所以至少有一名女生的概率为.

答案：

9．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

解析：法一：(列举法)

从三件产品中不放回地取出两件，基本事件的个数不是很大，我们可以一一列举出来．

每次取一个，取后不放回地连续取两次，基本事件如下：(a1，a2)、(a1，b1)、(a2，a1)，(a2，b1)、(b1，a1)、(b1，a2)．

共有6个，由于是随机的抽取，我们认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件产品中，恰有一件次品”这一事件，A共包含以下4个基本事件：(a1，b1)、(a2，b1)、(b1，a1)、(b1，a2)，所以P(A)＝＝.

法二：(列表法)

因为每次取出后不放回，所以两次所取产品不可能为同一产品，因此应去掉表中左上到右下对角线上的三种结果，故共有9－3＝6(种)不同情况，即n＝6.设事件A为“取出的两件产品中，恰好有一件次品”，即含有b1的情况，由表易知共有4种，即m＝4，所以P(A)＝＝.

法三：(坐标法)

从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，可能出现的情况如图所示．

因每次取出后不放回，所以应去掉角平分线上的情况，因此共有9－3＝6(种)情况，其中，含有b1产品的基本事件共有4种，所以P＝＝.

法四：(树状图法)

从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次的所有可能结果可用树状图列举如下：

易得P＝＝.

10．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件，连续取两次．

(1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

(2)若每次取出后放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

解析：(1)不放回地连续取两次，其基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，共6个．

记“取出的两件产品中恰有一件次品”为事件A，

则事件A由(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)这4个基本事件组成，因而P(A)＝＝.

(2)有放回地连续取两次，其基本事件为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，共9个．

记“取出的两件产品中恰有一件次品”为事件B，

则事件B由(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)这4个基本事件组成，因而P(B)＝.

[B组　能力提升]

1．甲、乙两人一起去游览公园，他们约定各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们在同一个景点的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析：甲、乙最后一小时所在的景点共有36种情况，甲、乙最后一小时在同一个景点共有6种情况．由古典概型的概率公式，知后一小时他们在同一个景点的概率是＝.

答案：D

2．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损(图中阴影表示)，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析：由88＋89＋90＋91＋92＝83＋83＋87＋99＋x，得x＝98，要使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，则污损部分的数字应比8小，即可取0，1，2，3，4，5，6，7，因此所求概率为＝.

答案：C

3．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．

解析：从盒中随机取出2个球的所有可能结果为(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(红3，黄1)，(红3，黄2)，(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(黄1，黄2)，共10种等可能发生的结果，所取出的2个球颜色不同包括：(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(红3，黄1)，(红3，黄2)，共6种可能结果，由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为＝.

答案：

4．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是________．

解析：十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，…，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，以3为十位比37大的“渐升数”有2个，分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的“渐升数”共有2＋15＝17个，故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是.

答案：

5．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3.这三张卡片除标记的数字外，其他完全相同．现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

解析：(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．

设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)＝＝.

因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.

(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，所以P(B)＝1－P()＝1－＝，

因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.

6．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3个黄球、3个白球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板，上面写道：

摸球方法：一次从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．

(1)一次摸出的3个球均为白球的概率是多少？

(2)一次摸出的3个球为2个黄球和1个白球的概率是多少？

(3)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)的收入．

解析：(1)把3个黄球分别记为A，B，C，3个白球分别记为1，2，3.

从6个球中随机摸出3个球的所有基本事件为ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12，A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23，C12，C13，C23，123，共20个．

记“一次摸出的3个球均为白球”为事件E，则事件E包含的基本事件只有1个，故P(E)＝＝0.05.

(2)记“一次摸出的3个球为2个黄球和1个白球”为事件F，则事件F包含的基本事件有9个，故P(F)＝＝0.45.

(3)记“一次摸出的3个球为同一颜色”为事件G，则P(G)＝＝0.1.

假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生10次，不发生90次．

故该摊主一天的收入为90×1－10×5＝40(元)，一个月的收入为40×30＝1 200(元)．