北师大版必修32.2建立概率模型达标测试

二十　建立概率模型

(20分钟·35分)

1.从甲、乙、丙三人中任选2名代表,甲被选中的概率为 (　　)

A.   B.   C.   D.1

【解析】选C.本题为古典概型.从甲、乙、丙三人中任选两人,共有3种选法(甲乙、甲丙、乙丙),其中甲被选中的有两种选法,所以甲被选中的概率为.

2.若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.任意抽取一本得到任何一本书的可能性是相同的,故为古典概型,其中总基本事件数n=10,事件A“抽得物理书”包含的基本事件数m=3,所以依据古典概型概率的计算公式得P(A)==.

3.(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是              (　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【解析】选D.两位男同学和两位女同学随机排成一列,共有24种不同的排法;其中两位女同学相邻的排法有12种, 所以两位女同学相邻的概率P==.

4.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是              (　　)

A.     B.

C.     D.

【解析】选D.设Ω={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的基本事件总数n=15,事件“b>a”为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的基本事件数m=3.其概率P==.

5.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________. 

【解析】所有的基本事件有(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,红),(白,白),(白,蓝),(蓝,红),(蓝,白),(蓝,蓝),共9种,其中颜色相同的有(红,红),(白,白),

(蓝,蓝),共3种,故所求的概率为=.

答案:

6.不透明袋子中装有编号为A1,A2,A3的3个黑球和编号为B1,B2的2个红球,所有球除颜色和编号以外均相同,从中任意摸出2个球.

(1)写出所有不同的结果;

(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;

(3)求至少摸出1个红球的概率.

【解析】(1)从5个球中任意摸出2个球,有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,

A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10种情况.

(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A,则

事件A包含的基本事件为A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共6个基本事件.

所以P(A)==0.6.

(3)记“至少摸出1个红球”为事件B,则事件B包含的基本事件为A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共7个基本事件,所以P(B)==0.7.

(30分钟·60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课,则体育课不排在第一节的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.我们不考虑语文、数学、历史排在第几节,只考虑体育的排法,体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节,共4个基本事件,因此体育课不排在第一节的概率为.

2.从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.从集合A,B中分别选取一个数记为(k,b),则共有9个基本事件,设直线y=kx+b不经过第三象限为事件M,则k<0,b≥0,从而M包含的基本事件是(-1,1),(-1,2),共有2个基本事件,则P(M)=.

3.某同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,则在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x-y=1上的概率为

(　　)

A.   B.    C.   D.

【解析】选A.先后投掷一枚骰子两次,所有可能的结果有36种,其中以(x,y)为坐标的点落在直线2x-y=1上的结果有(1,1),(2,3),(3,5),共3种,所以所求概率P==.

【补偿训练】

小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是              (　　)

A.   B.    C.   D.

【解析】选C.从M,I,N中取一个字母,从1,2,3,4,5中取一个数字,共有如下结果:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),

(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种,其中能打开计算机的只有一种,故成功开机的概率为.

4.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典长篇小说四大名著.若在这四大名著中,任取2部进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.建立古典概型.将四大名著分别编号为1,2,3,a,任取2部进行阅读,记“取到《红楼梦》”为事件A,则所有基本事件(无序)有:12,13,1a,

23,2a,3a,共6个,事件A含有1a,2a,3a,共3个,所以所求的概率P(A)=.

【补偿训练】

(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为              (　　)

A.    B.    C.    D.

【解析】选C.从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫)共10种取法,取出的2支彩笔中含有红色彩笔的有(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫)共4种取法.因此所求概率为=.

5.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线),其包括10个基本事件,所以所求概率等于=.

【补偿训练】

在5张卡片上分别写1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是              (　　)

A.0.2   B.0.4   C.0.6   D.0.8

【解析】选C.一个数能否被2或5整除取决于个位数字,故可只考虑个位数字的情况.因为组成的五位数中,个位数共有1,2,3,4,5五种情况,其中个位数为2或4时能被2整除,个位数为5时能被5整除.故所求概率为P==0.6.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.设集合P={-2,-1,0,1,2},x∈P且y∈P,则点(x,y)在圆x2+y2=4内部的概率为________. 

【解析】以(x,y)为基本事件,可知满足x∈P且y∈P的基本事件有25个,且每个基本事件发生的可能性都相等.点(x,y)在圆x2+y2=4内部,则x,y∈{-1,1,0},可知满足x∈{-1,1,0}且y∈{-1,1,0}的基本事件有9个.所以点(x,y)在圆x2+y2=4内部的概率为.

答案:

7.现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品.

(1)如果从中取出一件,然后放回,再任取一件,则连续2次取出的都是正品的概率为________; 

(2)如果从中一次取2件,则2件都是正品的概率为________. 

【解析】(1)由题意知,基本事件数n=10×10=100,连续2次抽取都是正品包含基本事件数为m=8×8=64,故所求的概率P==0.64.

(2)因为是不放回抽取,故所求的概率为P==.

答案:(1)0.64　(2)

8.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________. 

【解析】从题图中的数据知甲的平均成绩为=90.

若甲、乙两人平均成绩相等,则有90×5-(83+83+87+99)=98.

若甲的平均成绩超过乙的平均成绩,则被污损的数字可为0,1,…,7,共8种情况,故其概率P==.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.设甲、乙、丙3个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这3个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.

(1)求应从这3个协会中分别抽取的运动员的人数;

(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.

①用所给编号列出所有可能的结果;

②设事件A为“编号为A5和A6的2名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.

【解析】(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为(A1,A2),

(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),

(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种.

②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共9种.

因此,事件A发生的概率P(A)==.

10.某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.先从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,

①用产品编号列出所有可能的结果;

②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.

【解析】(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:

其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.

(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1,A2},

{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},

{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共15种.

②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共6种.所以P(B)==.

1.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正十边形A1A2A3…A10的中心,A1在x轴正半轴上,任取不同的两点Ai,Aj(其中1≤i,j≤10,且i∈N,j∈N),点P满足2++=0,则点P落在第二象限的概率是(　　)

A.   B.   C.    D.

【解析】选B.在正十边形A1A2A3…A10的十个顶点中任取两个,不同的取法有45种,满足2++=0,且点P落在第二象限的不同取法有(A1,A7),(A1,A8),

(A1,A9),(A1,A10),(A2,A8),(A2,A9),(A8,A10),(A9,A10),共8种,所以点P落在第二象限的概率为.

2.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量(单位:辆)如表:

按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

(1)求z的值;

(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个样本,从中任取一个数xi(1≤i≤8,i∈N),设样本平均数为,求|xi-|≤0.5的概率.

【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,由题意得=,所以n=2 000,则z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400.

(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,由题意得=,得a=2,所以抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.

用A1,A2分别表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3分别表示3辆标准型轿车,

用E表示事件“在该样本中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车”.从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),

(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个,

其中事件E包含的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),

(A2,B2),(A2,B3),共7个.

故P(E)=,即所求的概率为.

(3)样本平均数=×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.设D表示事件“从样本中任取一个数xi(1≤i≤8,i∈N),|xi-|≤0.5”,则从样本中任取一个数有8个基本事件,事件D包括的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个.

所以P(D)==,即所求的概率为.

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