2020-2021学年3函数的单调性随堂练习题

函数的单调性（ 二）

 [A组　学业达标]

1．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)

A．2         B.        C.       D．－

解析：作出图像(图略)可知y＝在[2,3]上是减函数，ymin＝＝.

答案：B

2．函数y＝x2－2x－3在[0,3]上的最大值，最小值为(　　)

A．－3,0  B．－4,0

C．0，－3  D．0，－4

解析：作出函数图像如图，根据图像可知函数的最大值为0，最小值为－4.

答案：D

3．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为(　　)

A．42,12  B．42，－

C．12，－  D．无最大值，最小值为－

解析：∵f(x)＝2－，x∈(－5,5)，

∴当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值．

答案：D

4．f(x)＝的最大值是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：当0≤x≤1时，f(x)max＝f(1)＝2；

当1＜x＜2时，f(x)＝2；

当x≥2时，f(x)＝3，则f(x)的最大值为3.

答案：D

5．已知函数f(x)＝在[1，a]上的最小值为，则a＝________.

解析：∵f(x)＝在[1，a]上是减函数，

∴函数的最小值为f(a)＝＝，∴a＝4.

答案：4

6．f(x)的图像如图所示，则f(x)的值域为________．

解析：由图可知，当x∈[－2,4]时，f(x)∈[－2,3]；当x∈[5,8]时，f(x)∈[－4,2.7]，∴当x∈[－2,4]∪[5,8]时，函数f(x)的值域为[－4,3]．

答案：[－4,3]

7．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，求该公司能获得的最大利润．

解析：设该公司在甲地销售x辆车，则在乙地售(15－x)辆车，由题意：

得总利润y＝－x2＋21x＋2(15－x)(0≤x≤15，x∈N)，即y＝－x2＋19x＋30.

开口向下，对称轴为x＝，

∵x∈N，∴x＝9或10时，ymax＝120.

8．已知函数f(x)＝(x≠1)．

(1)证明：f(x)在(1，＋∞)上是减函数；

(2)当x∈[3,5]时，求f(x)的最小值和最大值．

解析：(1)证明：设1＜x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝.

∵x1＞1，x2＞1，∴x1－1＞0，x2－1＞0，

∴(x1－1)(x2－1)＞0.

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，

∴f(x1)＞f(x2)，

∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数．

(2)∵[3,5]⊆(1，＋∞)，∴f(x)在[3,5]上是减函数，

∴f(x)max＝f(3)＝2，f(x)min＝f(5)＝.

[B组　能力提升]

9．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)

A．－1       B．0        C．1  D．2

解析：f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，

∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数，

则f(x)min＝f(0)＝a＝－2，

∴f(x)max＝f(1)＝3＋a＝1.

答案：C

10．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．R  B．(－∞，－1]

C．[－1，＋∞)  D．∅

解析：当x≥1时，f(x)＝2x－3是增函数，

则f(x)≥f(1)＝2×1－3＝－1，则m≤－1.

答案：B

11．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．

解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图像应为图中实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点坐标为(4,6)．由图像可知，函数f(x)的最大值为6.

答案：6

12．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________ m.

解析：设矩形花园的宽为y m，

则＝，即y＝40－x，

矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，

当x＝20 m时，面积最大．

答案：20

13．(2019·福州高一模拟)已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．

(1)判断函数f(x)的单调性，并利用函数单调性定义进行证明；

(2)求函数f(x)的最大值和最小值．

解析：(1)函数f(x)＝，在[3,5]上是单调递增函数．证明如下：

任取x1，x2∈[3,5]，且x1＜x2，

f(x1)－f(x2)＝－＝，

∵3≤x1＜x2≤5，

∴x1－x2＜0，(x1＋2)(x2＋2)＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，

即f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在[3,5]上为增函数．

(2)由(1)知f(x)＝在[3,5]上单调递增，

∴函数f(x)的最大值f(x)max＝f(5)＝＝，函数f(x)的最小值f(x)min＝f(3)＝＝.

14．已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.

(1)若函数f(x)在区间[－5,5]上为单调函数，求实数a的取值范围；

(2)求a的值，使f(x)在区间[－5,5]上的最小值为－1.

解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2.

(1)因为f(x)图像的对称轴为x＝－a，

由题意知－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5.

故实数a的取值范围为a≤－5或a≥5.

(2)当a＞5时，f(x)min＝f(－5)＝27－10a＝－1，

解得a＝(舍去)；

当－5≤a≤5时，f(x)min＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，

解得a＝±；

当a＜－5时，f(x)min＝f(5)＝27＋10a＝－1，

解得a＝－(舍去)．综上：a＝±.