数学必修11集合的含义与表示课后练习题

集合的表示

[A组　学业达标]

1．已知集合A＝{x∈N|x＜6}，则下列关系式错误的是(　　)

A．0∈A  B．1.5∉A

C．－1∉A  D．6∈A

解析：A＝{0,1,2,3,4,5}，故选D.

答案：D

2．集合{0,1,2,3,4,5,6,7}用描述法可表示为(　　)

A．{x|x是不大于7的整数}

B．{x∈N|x≤7}

C．{x∈Q|0≤x≤7}

D．{x|0≤x≤7}

解析：集合{0,1,2,3,4,5,6,7}表示前7个自然数，故用描述法可表示为{x∈N|x≤7}．

答案：B

3．集合A＝{x∈R|2x2＋3＝0}中元素的个数是(　　)

A．不确定      B．2        C．1  D．0

解析：∵集合A中的代表元素x是方程2x2＋3＝0的根，而方程2x2＋3＝0无解，∴不存在这样的x满足集合A，故A中元素个数为0.

答案：D

4．集合{x∈Z|－1＜x＜5}的另一种表示形式是(　　)

A．{0,1,2,3,4}  B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3,4,5}  D．{1,2,3,4,5}

解析：集合{x∈Z|－1＜x＜5}＝{0,1,2,3,4}．

答案：A

5．下列说法中正确的是(　　)

①0与{0}表示同一个集合；

②集合M＝{1,2}与N＝{(1,2)}表示同一个集合；

③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；

④集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示．

A．只有①和④  B．只有②和③

C．只有②  D．以上都不对

解析：{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数1,2的集合，而集合N是实数对(1,2)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．

答案：D

6．用符号“∈”或“∉”填空．

(1)2________R,2________{x|x＜}；

(2)3________{x|x＝n2＋1，n∈N＋}；

(3)(1,1)________{y|y＝x2}；

(1,1)________{(x，y)|y＝x2}．

解析：(1)2∈R，而2＝＞，∴2∉{x|x＜}．

(2)要判定3是否为集合中的元素，只需分析方程n2＋1＝3(n∈N＋)是否有解．

∵n2＋1＝3，∴n＝±∉N＋，

∴3∉{x|x＝n2＋1，n∈N＋}．

(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y＝x2}表示二次函数函数值构成的集合，

故(1,1)∉{y|y＝x2}．

集合{(x，y)|y＝x2}表示抛物线y＝x2上的点构成的集合(点集)，且满足y＝x2，

∴(1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．

答案：(1)∈　∉　(2)∉　(3)∉　∈

7．已知集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．

解析：∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4.

故A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．

答案：{－1,4}

8．已知集合A＝{x|－2＜x＜2，x∈Z}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则集合B用列举法表示为________．

解析：由题意知A＝{－1,0,1}，而B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，所以B＝{1,2}．

答案：{1,2}

9．选择适当的方法表示下列集合：

(1)被5除余1的正整数组成的集合；

(2)24的所有正约数组成的集合；

(3)在平面直角坐标系内，两坐标轴上的点组成的集合；

解析：(1){x|x＝5k＋1，k∈N}．

(2){1,2,3,4,6,8,12,24}．

(3){(x，y)|xy＝0}．

10.用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点构成的集合．

解析：阴影部分的点P(x，y)的横坐标x的取值范围为－1≤x≤3，纵坐标y的取值范围为0≤y≤3.故阴影部分的点构成的集合为{(x，y)|－1≤x≤3,0≤y≤3}．

[B组　能力提升]

11．已知集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，R＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈Q，则有(　　)

A．a＋b∈P

B．a＋b∈Q

C．a＋b∈R

D．a＋b不属于P，Q，R中任意一个

解析：设a＝2m(m∈Z)，b＝2n＋1(n∈Z)，

所以a＋b＝2m＋2n＋1＝2(m＋n)＋1.

又m＋n∈Z，故与集合Q中元素特征x＝2k＋1(k∈Z)相符合，说明a＋b∈Q，故选B.

答案：B

12．设a，b都是非零实数，则y＝＋＋可能取值组成的集合为(　　)

A．{3}  B．{3,2,1}

C．{3，－2,1}  D．{3，－1}

解析：当a＞0，b＞0时，y＝3；当a＞0，b＜0时，y＝－1；当a＜0，b＞0时，y＝－1；当a＜0，b＜0时，y＝－1.

答案：D

13．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，用列举法表示集合C＝______________.

解析：∵C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，

∴满足条件的点为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．

故集合C可表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}．

答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}

14．已知A＝{2,3，a2＋2a－3}，B＝{|a＋3|,2}，若5∈A，且5∉B，则a＝________.

解析：∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5.∴a＝2或a＝－4.

又5∉B，∴|a＋3|≠5.∴a≠2，且a≠－8，∴a＝－4.

答案：－4

15．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．

(1)若1∈A，求a的值；

(2)若A为单元素集合，求a的值；

(3)若A为双元素集合，求a的取值范围．

解析：(1)∵1∈A，∴a×12－3×1＋1＝0，∴a＝2.

(2)当a＝0时，x＝；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，

∴a＝.∴a＝0或a＝时A为单元素集合．

(3)当a≠0，且Δ＝(－3)2－4a＞0，即a＜时，

方程ax2－3x＋1＝0有两解，

∴a＜且a≠0.

16．集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．

(1)若c∈C，问是否存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b；

(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论．

解析：(1)令c＝6m＋3(m∈Z)，则c＝3m＋1＋3m＋2.

令a＝3m＋1，b＝3m＋2(m∈Z)，则c＝a＋b.

故若c∈C，一定存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立．

(2)不一定有a＋b∈C.

证明如下：设a＝3m＋1，b＝3n＋2，m，n∈Z，

则a＋b＝3(m＋n)＋3.

因为m，n∈Z，所以m＋n∈Z.

不妨设m＋n＝k，则a＋b＝3k＋3(k∈Z)．

当k为偶数，即k＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3，

此时a＋b∈C.

当k为奇数，即k＝2q＋1(q∈Z)时，a＋b＝6q＋6＝6(q＋1)．

此时a＋b∉C.故不一定有a＋b∈C.