高中数学北师大版必修1第一章 集合1集合的含义与表示课堂检测

集合的含义

 [A组　学业达标]

1．下列对象能构成集合的是(　　)

A．高一年级全体较胖的学生

B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1

C．全体很大的自然数

D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点

解析：对于A，高一年级较胖的学生，因为较胖学生不确定，所以不满足集合元素的确定性，故A错误；对于B，由于如sin 30°＝cos 60°＝，不满足集合元素的互异性，故B错误； 对于C，全体很大的自然数，因为很大的自然数不确定，所以不满足集合元素的确定性，故C错误；对于D，平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是△ABC外接圆的圆心，满足集合的定义，D正确，故选D.

答案：D

2．下列说法正确的是(　　)

A.∈N     B．－1∈N     C.∈N  D．9∈N

解析：集合N表示非负整数集，所以，－1，不是集合中的元素．

答案：D

3．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取(　　)

A．1        B．－1     C．－1和1  D．1和0

解析：由集合元素的互异性知，a2≠1，即a≠±1.

答案：C

4．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是

(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．等腰三角形

解析：由集合中元素的互异性知，三角形三边两两不等．

答案：D

5．若不等式3－2x＜0的解集为M，则下列结论正确的是(　　)

A．0∈M,2∈M  B．0∉M,2∈M

C．0∈M,2∉M  D．0∉M,2∉M

解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M的关系，因此只需判断0和2是否为不等式3－2x＜0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0不属于M，即0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2属于M，即2∈M.

答案：B

6．用符号“∈”或“∉”填空：

(1)________Z，________R，________N；

(2)若A表示由所有质数组成的集合，则1________A，2________A，3________A.

解析：(1)不是整数，是实数，是自然数；

(2)由2,3为质数，1不是质数得，1∉A,2∈A,3∈A.

答案：(1)∉　∈　∈　(2)∉　∈　∈

7．由实数t，|t|，t2，－t，t3所构成的集合M中最多含有________个元素．

解析：由于|t|至少与t和－t中的一个相等，故集合M中至多有4个元素．

答案：4

8．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．

解析：方程x2－5x＋6＝0的解是2,3；方程x2－x－2＝0的解是－1,2.由集合中元素的互异性知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素．

答案：3

9．已知集合M中含有3个元素：0，x2，－x，求x满足的条件．

解析：根据集合中元素的互异性知即

故x满足的条件为x≠0，且x≠－1.

10．若所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断3－9是否是集合A中的元素．

解析：∵3－9＝－9＋3＝3×(－3)＋×3.

得a＝－3，b＝3，则－3∈Z,3∈Z.

∴3－9是集合A中的元素．

[B组　能力提升]

11．已知集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a的值为(　　)

A．2  B．2或4

C．4  D．0

解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.故选B.

答案：B

12．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中：x＝a＋b(a，b∈Q)，则下列元素中不属于集合M的元素个数是________．

①x＝0；②x＝；③x＝3－2π；④x＝；⑤x＝＋.

解析：当a＝b＝0时，x＝0，①正确；当a＝0，b＝1时，x＝，②正确；当a＝3，b＝－2π时，b∉Q，x＝3－2π∉M，③不正确；当x＝3，b＝2时，x＝3＋2＝，④正确；x＝＋＝2－＋2＋＝4.当a＝4，b＝0时，x＝4，⑤正确．

答案：1

13．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？

解析：∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；

当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．

14．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

(1)若2∈A，试求出A中其他元素；

(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他元素；

(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．

解析：(1)由于2∈A，则∈A，即－1∈A.

所以∈A，即∈A.

所以∈A，即2∈A，

故A中其他元素为－1，.

(2)如：若3∈A，则A中其他元素为－，.(答案不唯一)

(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.

证明如下：若a∈A，a≠1，则有∈A，且≠1.

所以有＝∈A，且≠1，

进而有＝a∈A.

又因为a≠因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解，

所以≠，故A中只能有3个元素，

它们分别是a，，，且三个数的乘积是－1.