数学4.3单位圆与诱导公式教案及反思

1.4.3 单位圆与诱导公式

内容要求：　

1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.

2.理解诱导公式的推导过程(重点).

3.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点)．

复习旧知：

知识点　单位圆与正弦函数、余弦函数的性质

【复习评价】　

(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R.(√)

(2)函数y＝sin x在[0，π]上是单调减函数．(×)

(3)函数y＝cos x在[0，π]上的值域是[0,1]．(×)

(4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.(√)

预习新知：

知识点　2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式

对任意角α，有下列关系式成立：

sin(2kπ＋α)＝sin α，     cos(2kπ＋α)＝cos α.(1.8)

sin(－α)＝－sin α，      cos(－α)＝cos α.(1.9)

sin(2π－α)＝－sin α，     cos(2π－α)＝cos α.(1.10)

sin(π－α)＝sin α，        cos(π－α)＝－cos α.(1.11)

sin(π＋α)＝－sin α，      cos(π＋α)＝－cos α.(1.12)

这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．

【预习评价】

1．视α为锐角，则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下表.

2.设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？试完成下表.

诱导公式的应用：

方向1　给角求值问题

【例1】　求下列三角函数的值：

(1)sin；            (2)cos 960°.

解　(1)sin＝－sinπ＝－sin

＝－sinπ＝－sin＝－sin＝－.

(2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240°

＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.

方向2　给值求值问题

【例2】　已知sin(α－75°)＝－，求sin(105°＋α)的值．

解　sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]

＝－sin(α－75°)＝.

方向3　化简问题

【例3】　化简.

解　原式＝

＝

＝＝1.

规律方法　1.解决条件求值问题的策略

(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

2．化简三角函数式的策略

(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值．

(2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角.

课堂达标

1．sin 585°的值为(　　)

A．－ B.

C．－   D.

解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)

＝－sin 45°＝－.

答案　A

2.
解：因为，所以

所以

3．已知cos＝，则cos＝________.

解析　cos＝cos

＝－cos＝－.

答案　－

课堂小结

1．求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，同时注意周期性在求解时的作用．

2．明确各诱导公式的作用

(1)将角转化为0～2π之间的角求值；(2)将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值；(3)将负角转化为正角求值．

3．诱导公式的记忆

诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.

作业：

A组： 2、7              选8