高中数学北师大版必修44.3单位圆与诱导公式教案

1.4.3 单位圆与诱导公式

一、教材分析

教材的地位和作用

本节教学内容是三组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用.承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的定义、三角函数线、同角三角函数关系、诱导公式（一）等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容.同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉，这些构成了学生的知识基础.诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想.

目标定位

诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大.我们认为，诱导公式的教学价值主要体现在以下几个方面：

第一，感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探索发现任意角三角函数间的数量关系式，即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示.

第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题并求解.

第三，领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法.

第四，积累数学经验，为学生认识任意角的三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备.

课型 :新授课

二、教学设计分析

在进行本课教学设计时，有以下两条典型教学路线可供选择：（1）两个角的终边有哪些特殊的对称关系？（2）怎样把非第一象限的角转化为第一象限的角？笔者最终选择了第一条路线，主要基于以下两点考虑：

尊重教材的编写方式：从对教材的分析来看，教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，从而统整各组诱导公式.教材的编写处理体现了教材专家的集体智慧和版本教材的一贯特色，教师应该努力体会和把握，不宜轻率抛开教材另搞一套.

切合学生的认知水平：利用学生熟悉的圆及其对称性研究三角函数的相关性质，符合学生的认知心理.同时，单位圆及其对称性的表象对学生推导诱导公式、理解公式之间的内在联系、形象记忆三角函数诱导公式都将起到事半功倍的效果.

三、教学目标分析

（一）教学目标

  .知识与技能

1.能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；

2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题.

过程与方法

1.经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力；

2.通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.

情感态度与价值观

1.通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度.

2.在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神.

（二）教学重点、难点

教学重点：探求π－的诱导公式.π＋与－的诱导公式在小结π－的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出.

教学难点：π＋，－与角终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”.

四、教学方法

问题教学法、合作学习法

五、教学准备

 教具：三角尺、多媒体课件（几何画板）

 学具：圆规、三角尺

六、教学程序

基于以上分析，我们确定了如下的本节课教学路线图：

   围绕这个教学路线（当然也是学生的研究路线），我将教学分成6个环节并设计成问题串的形式，通过这些问题解构教材，让学生学习数学知识，培养数学能力，体会数学思想，积累数学经验。

环节1 问题提出

 如何利用三角函数定义求任意角三角函数.

教师活动：同学们，我们已经将角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值怎么求呢？先看一个具体的问题：求的正弦值.

学生活动：学生利用结合任意角三角函数定义自主探究并回答问题.

【设计意图】前面的学习中，已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，学习了任意角三角函数的定义，接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求.于是，先安排求特殊值再过渡到一般情形比较符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在求三角函数值时抓坐标、抓角终边之间的关系.

环节2 尝试推导

如何利用对称推导出角π α与角α的三角函数之间的关系.

教师活动：

利用三角函数定义，我们得到，请大家回忆一下哪一个锐角的正弦值也等于？

得到，猜想sin(π α) = sinα成立，

并引导学生利用定义验证.

通过交点的横纵坐标关系，进而得到：

sin(π α)= sinα

cos(π α)=  cosα，   （公式三）

                tan(πα) =  tanα.

教师活动：

〖思考〗请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式三)的?

学生活动：学生小组讨论并回答问题

教师活动：师生共同总结

因为与角α和角π-α终边关于y轴对称且单位圆也关于y轴对称，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.于是，我们就得到了角πα与角α的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角的数量关系→终边及圆的对称关系→交点的坐标关系→三角函数值间关系.

【设计意图】阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用.将上述研究过程进行梳理，得出“角的数量关系→终边及圆的对称关系→交点的坐标关系→三角函数值间关系”的研究路线图.

环节3 自主探究

如何利用对称推导出π+ α与α， α与α的三角函数值之间的关系.

教师活动：

刚才我们利用单位圆，得到了终边关于y轴对称的角π-α与角的三角函数值之间的关系，我们常见的对称关系中还有什么情况？

学生活动：学生回忆相关知识并回答问题

教师活动：

两个角的终边关于 x轴对称, 这两个角有怎样的数量关系?三角函数值之间呢？两个角的终边关于原点对称呢？

学生活动：学生以小组为单位讨论后，分组汇报并给出论证思路

角α与角α的终边关于x轴对称，有：

sin(α) = sinα，

            cos(α) =  cosα，（公式四）  

tan(α) = tanα.                                                      

角π +α与角α终边关于原点O对称，有：

sin(π +α) = sinα，

cos(π +α) = cosα，（公式二）

tan(π +α) = tanα.

教师活动：上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式，他们有什么特征呢？

 结论：的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．总结为一句话：函数名不变，符号看象限

【设计意图】从两个角的终边关于y轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式二和四，并将问题2研究方法一般化.

环节4  应用提升，小试牛刀

例：求下列各三角函数值：

    (1)       ； (2) ；（3）     

学生活动：学生独立动脑思考，完成说理，其中后两小题由学生板演

教师活动：师生共同分析，再作评价

教师活动：通过练习，你能体会出这四组公式的作用吗？

教师活动：师生共同分析

用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:

例2  化简：

【设计意图】初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性.

环节5  回顾反思

教师活动：请你选择下面一个或几个关键词谈一谈研究的过程中的体会：

          知识、方法、思想、收获、喜悦……

学生活动：知识上，学会了四组诱导公式；思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的化归思想；诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系.主要体现了化归和数形结合的数学思想.

【设计意图】开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获.这些问题的提出，侧重于诱导公式推导方法的回顾和反思，侧重于个体情感体验的分享和表达，从而区别于侧重公式规律的总结和记忆.

环节6  分层作业

 1.阅读课本23-24页，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；

     2.必做题：必做题 课本27页第1、2、3题；

     3.选做题：

      角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系（比如关于y=x、y=-x对称）你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？

【设计意图】分层作业有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力.阅读课本旨在引导学生教科书是学习的根本，阅读课本有利于培养学生良好的回归课本的学习习惯.而出现选做题目，目的是提供多元化和挑战性选择，促使学有余力的学生课后思考和自主探究几组公式之间的内在联系.

 .板书设计

七、教后思考分析

1．关于设计定位的反思

就三角函数的诱导公式来说，教学设计定位时一般会出现以下几种倾向：其一，定位于知识的学习，学生知道存在一些公式，可以将任意角的三角函数进行一些转化。其二，定位于公式的学习，学生努力分析和总结各组公式的形式规律，背诵“函数名不变，符号看象限”等口诀，追求灵活运用等解题能力的提高。公式理解强过公式记忆。关于公式规律的总结和口诀的记忆，当然很重要，但这不是第一节课的重点内容。此外，采用本课的利用对称性的方法来学习诱导公式，可以通过图形的对称性来形象记忆，可以减轻学生记忆负担，规避死记硬背现象的发生。其三，聚焦诱导公式的推导过程，强调对公式产生的过程的深入理解。其四，在关注知识学习的同时，渗透数学思想方法的理解和领悟。本课主要涉及数形结合、从一般到特殊或从特殊到一般、模型思想、化归思想、追求简易等数学思想方法。我们认为新授知识是很重要的，而数学思想方法是蕴含其中的，应该潜移默化地渗透，不能贴标签，更不能因为数学思想方法的重要而喧宾夺主地过渡渲染。

2．关于教学难点的突破

1）本节课的难点在于从问题2出发，发现关于y轴对称的三角函数诱导公式，从而总结出研究线路图。从对教材的分析来看，教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，这样处理的好处是简化了任意角的象限分类和化归，起到了利用直观的对称这个工具和研究手法去研究诱导公式的变化规律的目的，揭示了代数和几何的有机结合和统一。

2）任意性循环上升。在这节课中，角的任意性是一个教学难点，为此我们设置了三个点：（1）问题2中非30°不可吗？任意角α行不行？ （2）几何画板拖动演示感受角α的任意性。（3）习题中进一步深化学生认识。随着学生学习的深入，对这个问题还会有进一步的认识。事实上，有许多同学在一开始是将角α当成锐角去处理的，但我在教学中不过分强调角α的任意性，因为对待数学知识的教学不能一步到位，不应毕其功于一役，而应循环上升，力求顺其自然，水到渠成。

3．关于问题串的设置调控

在本节课中，我们将教学设计成以一以贯之的问题串形式，通过这些问题串起相互关联的数学问题，使学生学习知识，形成能力，发展认知。我在设计过程中，尽量将问题的难易程度定位在学生的最近发展区内，问题的设计从思维的角度来说具有一定的开放性，使得学生可以从不同的角度来思考；问题的设计从解决的难度来说具有一定的层次性，使得不同的学生尽量愿意提出自己的见解。教师通过问题串的这个脚手架便于组织教学，并和学生形成互动，促进学生在学习知识的同时形成网状知识联结。实践证明，问题串的使用让教学组织有章可循，内容推进自然而不造作，完整而不破碎。