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数学必修32.2.1用样本的频率分布估计总体教学演示课件ppt
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这是一份数学必修32.2.1用样本的频率分布估计总体教学演示课件ppt，共32页。PPT课件主要包含了自学导引，频率分布，数字特征，提取信息，传递信息，最大值，最小值，列频率分布表，频率组距，名师点睛等内容，欢迎下载使用。
用样本估计总体的两种情况(1)用样本的_________估计总体分布．(2)用样本的_________估计总体数字特征．数据分析的基本方法(1)借助于图形分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此法可以达到两个目的，一是从数据中_________ ，二是利用图形_________．(2)借助于表格分析数据的另一方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式．
作频率分布直方图的步骤(1)求极差：即一组数据中_______和_______的差；(2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数_____；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组．(3)将数据分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间．(4) ______________．一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频率合计应是样本容量，频率合计是1.
(5)画频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示_________．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．
将数据的样本进行分组的目的是什么？提示 从样本中的一个个数字中很难直接看出样本所包含的信息，通过分组，并计算其频率，目的是通过描述样本数据分布的特征估计总体的分布情况．
频率分布折线图与总体密度曲线(1)连接频率分布直方图中各小长方形上端的_____，就得到频率分布折线图．(2)在样本频率分布直方图中，当样本容量逐渐增加，作图时所分的组数增加， _____减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
茎叶图(1)定义：顾名思义，茎是指_____的一列数，叶就是从茎的_____生长出来的数，中间的数字表示十位数，旁边的数字表示个位数．(2)茎叶图的优点与不足①优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．②不足：当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便．
1．关于频率分布直方图的理解
(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1.(3)同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到图的形式也不一样，不同的形状给人不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断．(4)频率分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布．
列频率分布直方图的步骤及注意事项(1)步骤：①计算数据中最大值和最小值的差，知道了极差就知道了这组数据的变动范围有多大．②决定组数和组距．组距是指每个小组的两个端点之间的距离．③决定分点．④列频率分布表．⑤绘制频率分布直方图．(2)注意事项：①组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．②分点数的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05，以此类推．
几种表示频率分布的方法的优点与不足(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势时不太方便．(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在频率分布表中看不清楚的数据模式．例如，从教材中调查100位居民的月均用水量的问题所示的图中可以清楚地看到，居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的，另外还有一定的对称性．这说明，大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少．但是从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．
(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势．如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体密度曲线．(4)用茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到．二是茎叶图便于记录和表示数据，能够展示数据的分布情况．但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．
题型一 频率分布直方图的绘制
调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165171 169 167 169 151 168 170 168 160 174165 168 174 159 167 156 157 164 169 180176 157 162 161 158 164 163 163 167 161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图．
[思路探索] 确定组距与组数是解决“样本中的个体取不同值较多”这类问题的出发点．解 (1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
(2)频率分布直方图如图所示．
规律方法 (1)解决此类问题的关键是绘制频率分布表，在绘制频率分布表时要体现分组的合理性，针对具体问题具体分析，体会组数太多或太少对处理问题的影响．(2)如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．
在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
解 (1)频率分布表如下：
频率分布直方图如图所示．(2)纤度落在[1.38,1.50)的可能性即为纤度落在[1.38，1.50)的频率，即为0.3＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.
某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
题型二 茎叶图及其应用
解 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88分，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段．因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．
规律方法 茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征．
甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：甲组：76 90 84 86 81 87 86 82 85 83乙组：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74用茎叶图表示两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些．解 茎叶图如图所示(中间的茎为十位上的数字)：
为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55,11.65]，2(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；(3)据上述图表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几；(4)数据小于11.20的可能性是百分之几．审题指导 根据画频率分布直方图的步骤先画频率分布直方图，再画折线图．
题型三 频率分布直方图的综合应用
[规范解答] (1)频率分布表如下：
(2)频率分布直方图及频率分布折线图，如图(3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为1－(0.03＋0.09)－(0.07＋0.04＋0.02)＝0.75＝75%，即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%. (10分)(4)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率，设为x，则(x－0.41)÷(11.20－11.15)＝(0.67－0.41)÷(11.25－11.15)，所以x－0.41＝0.13，即x＝0.54，从而估计数据小于11.20的可能性是54%. (12分)
【题后反思】 (1)用样本的频率分布估计总体的分布，是列频率分布表和画频率分布直方图的主要目的，频率分布表比较准确地反映样本的频率分布，而频率分布直方图则能直观地反映样本的频率分布．(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
(2012·盐城高一检测)为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
数形结合思想是中学数学很重要的方法之一，是高考的重要内容之一，基本思想是根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数学关系的讨论．
方法技巧 数形结合思想
(2009·安徽高考)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405, 412,414,415,421,423,423,427,430,430,434, 443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394, 395,397,397,400,401,401,403,406,407,410, 412,415,416,422,430
(1)完成数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．[思路分析] (1)根据茎叶图的特点制作茎叶图；(2)问考查茎叶图的优点；(3)问根据茎叶图中数的分布规律写出结论．
解 (1)(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．
用样本估计总体的两种情况(1)用样本的_________估计总体分布．(2)用样本的_________估计总体数字特征．数据分析的基本方法(1)借助于图形分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此法可以达到两个目的，一是从数据中_________ ，二是利用图形_________．(2)借助于表格分析数据的另一方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式．
作频率分布直方图的步骤(1)求极差：即一组数据中_______和_______的差；(2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数_____；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组．(3)将数据分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间．(4) ______________．一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频率合计应是样本容量，频率合计是1.
(5)画频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示_________．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．
将数据的样本进行分组的目的是什么？提示 从样本中的一个个数字中很难直接看出样本所包含的信息，通过分组，并计算其频率，目的是通过描述样本数据分布的特征估计总体的分布情况．
频率分布折线图与总体密度曲线(1)连接频率分布直方图中各小长方形上端的_____，就得到频率分布折线图．(2)在样本频率分布直方图中，当样本容量逐渐增加，作图时所分的组数增加， _____减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
茎叶图(1)定义：顾名思义，茎是指_____的一列数，叶就是从茎的_____生长出来的数，中间的数字表示十位数，旁边的数字表示个位数．(2)茎叶图的优点与不足①优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．②不足：当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便．
1．关于频率分布直方图的理解
(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1.(3)同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到图的形式也不一样，不同的形状给人不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断．(4)频率分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布．
列频率分布直方图的步骤及注意事项(1)步骤：①计算数据中最大值和最小值的差，知道了极差就知道了这组数据的变动范围有多大．②决定组数和组距．组距是指每个小组的两个端点之间的距离．③决定分点．④列频率分布表．⑤绘制频率分布直方图．(2)注意事项：①组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．②分点数的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05，以此类推．
几种表示频率分布的方法的优点与不足(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势时不太方便．(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在频率分布表中看不清楚的数据模式．例如，从教材中调查100位居民的月均用水量的问题所示的图中可以清楚地看到，居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的，另外还有一定的对称性．这说明，大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少．但是从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．
(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势．如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体密度曲线．(4)用茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到．二是茎叶图便于记录和表示数据，能够展示数据的分布情况．但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．
题型一 频率分布直方图的绘制
调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165171 169 167 169 151 168 170 168 160 174165 168 174 159 167 156 157 164 169 180176 157 162 161 158 164 163 163 167 161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图．
[思路探索] 确定组距与组数是解决“样本中的个体取不同值较多”这类问题的出发点．解 (1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
(2)频率分布直方图如图所示．
规律方法 (1)解决此类问题的关键是绘制频率分布表，在绘制频率分布表时要体现分组的合理性，针对具体问题具体分析，体会组数太多或太少对处理问题的影响．(2)如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．
在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；(2)估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
解 (1)频率分布表如下：
频率分布直方图如图所示．(2)纤度落在[1.38,1.50)的可能性即为纤度落在[1.38，1.50)的频率，即为0.3＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.
某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
题型二 茎叶图及其应用
解 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88分，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段．因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．
规律方法 茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征．
甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：甲组：76 90 84 86 81 87 86 82 85 83乙组：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74用茎叶图表示两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些．解 茎叶图如图所示(中间的茎为十位上的数字)：
为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55,11.65]，2(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；(3)据上述图表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几；(4)数据小于11.20的可能性是百分之几．审题指导 根据画频率分布直方图的步骤先画频率分布直方图，再画折线图．
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[规范解答] (1)频率分布表如下：
(2)频率分布直方图及频率分布折线图，如图(3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为1－(0.03＋0.09)－(0.07＋0.04＋0.02)＝0.75＝75%，即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%. (10分)(4)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率，设为x，则(x－0.41)÷(11.20－11.15)＝(0.67－0.41)÷(11.25－11.15)，所以x－0.41＝0.13，即x＝0.54，从而估计数据小于11.20的可能性是54%. (12分)
【题后反思】 (1)用样本的频率分布估计总体的分布，是列频率分布表和画频率分布直方图的主要目的，频率分布表比较准确地反映样本的频率分布，而频率分布直方图则能直观地反映样本的频率分布．(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
(2012·盐城高一检测)为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
数形结合思想是中学数学很重要的方法之一，是高考的重要内容之一，基本思想是根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数学关系的讨论．
方法技巧 数形结合思想
(2009·安徽高考)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405, 412,414,415,421,423,423,427,430,430,434, 443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394, 395,397,397,400,401,401,403,406,407,410, 412,415,416,422,430
(1)完成数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．[思路分析] (1)根据茎叶图的特点制作茎叶图；(2)问考查茎叶图的优点；(3)问根据茎叶图中数的分布规律写出结论．
解 (1)(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．
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