高中数学人教A版必修第一册4.2.1 指数函数的概念课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册4.2.1 指数函数的概念课时作业含解析，共1页。


[对应学生用书P52]
知识点 指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
[微思考]
指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?
提示：规定a大于0且不等于1的理由：
(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．
(2)如果a<0，如y＝(－2)x，对于x＝eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…时在实数范围内函数值不存在．
(3)如果a＝1，y＝1x是一个常量，对它无研究价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.
[对应学生用书P53]
探究一 指数函数的概念
(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)x B．y＝πx
C．y＝－4x D．y＝ax＋2 (a>0，a≠1)
(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
解 (1)B [利用指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)定义知，A中a＝－4<0，C中的系数是－1，D中ax的系数是a2. 它们都不是y＝ ax的形式，所以不是指数函数. 只有B中y＝πx为指数函数．]
(2)C [由指数函数的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋3＝1，,a＞0，,a≠1，))解得a＝2.]
[方法总结]
1．判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征. 只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
2．已知某函数是指数函数，求参数值的基本步骤
[跟踪训练1] 下列函数中，哪些是指数函数．
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；
④y＝(2a－1)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＞\f(1,2)，且a≠1))；⑤y＝2·3x.
解 只有④是指数函数．
①中底数－8＜0，∴不是指数函数．
②中指数不是自变量x，而是x的函数，∴不是指数函数．
③中底数a，只有规定a＞0，且a≠1时，才是指数函数．
⑤中3x前的系数是2，而不是1，∴不是指数函数．
探究二 求指数函数的解析式
已知函数f(x)为指数函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)，则f(－2)＝________.
解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)得a－eq \f(3,2)＝eq \f(\r(3),9)，
所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9).
答案 eq \f(1,9)
[方法总结]
要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
[跟踪训练2] 若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x D．f(x)＝x eq \s\up7(\f(1,3))
B [设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由f(3)＝8，得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x.]
探究三 指数函数的应用问题
某地2012年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2022年底该地区人均住房面积至少为7 m2，平均每年新增住房面积至少为________万m2(精确到1万m2；参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7)．
解析 设平均每年新增住房面积为x万m2，则
eq \f(500×6＋10x,5001＋1%10)≥7，解得x≥86.61≈87(万m2)．
答案 87
[跟踪训练3] 某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )
A．12 h B．4 h
C．3 h D．2 h
C [设需经过x次分裂，则2x＝4 096，解得x＝12.所以所需时间t＝eq \f(12×15,60)＝3(h)．]
[对应学生用书P53]
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．解答增长率问题时注意指数函数模型的运用．
课时作业(二十) 指数函数的概念
[见课时作业(二十)P162]
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
答案 D
2．若指数函数f(x)＝ax的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，27))，则底数a的值是( )
A．3 B．9
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,9)
B [a eq \s\up7(\f(3,2)) ＝27，解得a＝9(a>0)．]
3．指数函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)·f(2)等于( )
A．8 B．16
C．32 D．64
D [设f(x)＝ax，由条件知f(－2)＝eq \f(1,4)，故a－2＝eq \f(1,4)，所以a＝2，因此f(x)＝2x，所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.]
4．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
解析 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq \f(1,2)，且a≠1，所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)， 1))∪(1，＋∞)．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)， 1))∪(1，＋∞)
5．指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，e)，则f(－π)＝________.
解析 设指数函数为y＝ax(a>0，且a≠1)，则aπ＝e，
∴f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝eq \f(1,e).
答案 eq \f(1,e)
6．已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，则a＋b＝________.
解析 由指数函数的定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2. 故a＋b＝4.
答案 4
1．下列一定是指数函数的是( )
A．形如y＝ax的函数 B．y＝xa(a＞0，且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)ax
C [∵y＝(|a|＋2)－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|a|＋2)))x，|a|＋2≥2，∴0＜eq \f(1,|a|＋2)≤eq \f(1,2)，符合指数函数定义．]
2．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为( )
A．7 B．8
C．12 D．16
A [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝3.))
所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋3，所以f(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＋3＝4＋3＝7.]
3．设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中不正确的是( )
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝eq \f(fx,fy)
C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)
D [f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A对；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝eq \f(ax,ay)＝eq \f(fx,fy)，B对；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，C对；[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n≠(axy)n，D错．]
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2，则f(1)与f(－1)的大小关系是( )
A．f(1)>f(－1) B．f(1)C．f(1)＝f(－1) D．不确定
B [∵f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2，∴f(1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＋2＝eq \f(5,2)，f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＋2＝4，eq \f(5,2)＜4，故f(1)5．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________.
解析 因为f(x)的图象过(0，－2)，(2,0)且a>1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝a0＋b，,0＝a2＋b，))所以a＝eq \r(3)，b＝－3，所以f(x)＝(eq \r(3))x－3，f(3)＝(eq \r(3))3－3＝3eq \r(3)－3.
答案 3eq \r(3)－3
6．(拓广探索)已知f(x)＝eq \f(ax,ax＋1)(a>0，且a≠1)，求f(e2)＋f(－e2)的值．
解 由f(x)＋f(－x)＝eq \f(ax,ax＋1)＋eq \f(a－x,a－x＋1)＝eq \f(ax,ax＋1)＋eq \f(1,1＋ax)＝1，知f(e2)＋f(－e2)＝1.
课程标准
核心素养
通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
通过对指数函数概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.