高中数学人教A版必修第一册3.1.1 函数的概念课时作业含解析练习

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这是一份高中数学人教A版必修第一册3.1.1 函数的概念课时作业含解析，共1页。

3.1.1 函数的概念
[对应学生用书P27]
知识点1 函数的定义及相关概念
(1)函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)相关概念：x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.
(3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
[微思考]
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？
提示：不一定，两个集合必须是非空的数集.
(2)什么样的对应可以构成函数关系？
提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．
知识点2 区间及相关概念
(1)一般区间的表示
设a，b是两个实数，而且a(2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
(3)特殊区间的表示
[微体验]
1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是( )
A．(－2,0) B．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－2)∪[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪(0，＋∞)
C [集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为 (－∞，－2)∪[0，＋∞)．]
2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为( )
①A＝{0,1,5,10}；②{x|2③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；
⑥{x|x >1，x∈Q}．
A．2 B．3
C．4 D．5
D [用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示．]
3．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．
解析 {x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．
答案 (1,2)∪(2，＋∞)
[对应学生用书P28]
探究一函数关系的判断
下列对应中是A到B的函数的个数为( )
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0；
(4)A＝{1,2,3}，B＝{a，b}，对应关系如下图所示：
(5)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：
A．1 B．2
C．3 D．4
B [(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；
(4)集合B不是确定的数集，故不是A到B的函数；
(5)集合A中的元素3在B中没有对应元素，且A中元素2在B中有两个元素5和6与之对应，故不是A到B的函数．]
[方法总结]
判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
[跟踪训练1] 对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；②对于不同的x值，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [①③正确，②是错误的，对于不同的x值，y的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来．]
探究二求函数定义域问题
求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)；
(2)y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；
(3)y＝eq \r(ax－3)(a为常数)．
解 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1，且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
(3)要使函数有意义，必须使ax－3≥0.
当a＞0时，原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≥\f(3,a)))))；
当a＜0时，原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≤\f(3,a)))))；
当a＝0时，ax－3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故此时不是函数．
[变式探究] 将本例(1)改为y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x2)，其定义域如何？
解由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x2≥0，))解得{x|－1＜x≤1}．
[方法总结]
求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[跟踪训练2] (1)设全集为R，函数f(x)＝eq \r(2－x)的定义域为M，则∁RM为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)[来源:Z*xx*k.Cm]
A [由2－x≥0，解得x≤2，所以M＝(－∞，2]，所以∁RM＝(2，＋∞)．]
(2)函数f(x)＝eq \f(\r(x),x－1)的定义域为________．
解析要使eq \f(\r(x),x－1)有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x－1≠0，))解得x≥0，且x≠1，故函数f(x)的定义域为{x|x≥0，且x≠1}．
答案 {x|x≥0，且x≠1}
探究三求函数值和函数值域问题
已知f(x)＝eq \f(1,1＋x) (x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域．
解 (1)∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
(3)f(x)＝eq \f(1,1＋x)的定义域为{x|x≠－1}，
∴值域是{y|y≠0}．
g(x)＝x2＋2的定义域为R，最小值为2，
∴值域是{y|y≥2}．
[方法总结]
求函数值域的原则及常用方法
(1)原则：①先确定相应的定义域；
②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．
(2)常用方法：
①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；
②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；
③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；
④换元法：对于形如y＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)的函数，求值域时常用换元法，令t＝eq \r(cx＋d)，将原函数转化为关于t的二次函数；
⑤分离常数法：对于形如y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)的函数，常用分离常数法求值域；
⑥图象法：对于易作图象的函数，可用此法，如y＝eq \f(1,x－1).
[跟踪训练3] 求下列函数的值域：
(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；
(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；
(3)y＝x＋eq \r(1－2x).
解 (1)(逐个求法)将x＝1,3,5,7依次代入解析式，得y＝2，8,14,20.∴函数的值域是{2,8,14,20}．
(2)(配方法)∵y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2≤2，
∴函数的值域是(－∞，2]．
(3)(换元法或配方法)令eq \r(1－2x)＝t，则x＝eq \f(1－t2,2)，
且t≥0，
∴原函数化为y＝eq \f(1－t2,2)＋t＝－eq \f(1,2)t2＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1≤1.
∴所求函数的值域是(－∞，1]．
探究四同一个函数的判定
下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号)
①f(x)＝eq \r(－2x3)与g(x)＝xeq \r(－2x)；
②f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0)；
③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
解析 ①f(x)＝－xeq \r(－2x)，g(x)＝xeq \r(－2x)，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一个函数；
②f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝eq \f(1,x0)＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；
③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数．
答案 ②③
[方法总结]
判断同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断函数是否相等的三个步骤．
(2)两个注意点．
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示变量无关．
[跟踪训练4] 下列各组中的两个函数是否为同一个函数？
(1)y1＝eq \f(x＋3x－5,x＋3)，y2＝x－5；
(2)y1＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)，y2＝eq \r(x＋1x－1).
解 (1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．
(2)y1＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)的定义域为{x|x≥1}，而y2＝eq \r(x＋1x－1)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，定义域不同，所以不是同一个函数．
[对应学生用书P29]
1．对函数概念的五点说明
(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．
(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而
f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．
(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．
2．求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．
3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．
课时作业(十一) 函数的概念
[见课时作业(十一)P147]
1．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1,1} D．{－1,0}
D [若集合A＝{－1,0}，则0∈A，但02＝0∉B.]
2．下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )
A [当x取值时，有很多y值与x对应，不满足函数的定义．]
3．下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．y＝eq \f(x2－3,x－3)与y＝x＋3(x≠3)
B．y＝eq \r(x2)－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
C [选项A，B及D中对应关系都不同，故都不是相等函数．]
4．若[a, 3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析若[a, 3a－1]为一确定区间，则a<3a－1，解得a>eq \f(1,2)，所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
5．设f(x)＝eq \f(1,1－x)，则f(f(a))＝________.
解析 f(f(a))＝eq \f(1,1－\f(1,1－a))＝eq \f(1,\f(1－a－1,1－a))＝eq \f(a－1,a)(a≠0，且a≠1)．
答案 eq \f(a－1,a)(a≠0，且a≠1)
6．函数y＝eq \f(\r(x＋2),\r(6－2x)－1)的定义域为_________．(用区间表示)
解析要使函数解析式有意义，需满足
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2≥0，,6－2x≥0，,6－2x≠1,))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－2，,x≤3，,x≠\f(5,2)))⇒－2≤x≤3，且x≠eq \f(5,2).
∴函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2， \f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2， \f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3))
7．已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x).
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
解 (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋eq \f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1).
8．若f(x)＝ax2－eq \r(2)，且f(f(eq \r(2)))＝－eq \r(2)，求a的值．
解因为f(eq \r(2))＝a(eq \r(2))2－eq \r(2)＝2a－eq \r(2)，所以
f(f(eq \r(2)))＝a(2a－eq \r(2))2－eq \r(2)＝－eq \r(2).于是a(2a－eq \r(2))2＝0，即2a－eq \r(2)＝0或a＝0.所以a＝eq \f(\r(2),2)或a＝0.
1．某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是( )
A．y是x的函数 B．z是y的函数
C．w是z的函数 D．x是z的函数
B [姓名不是数集，故A，D不成立，成绩w可能与多个身高z对应，不能构成函数. 学号集合到身高集合的对应是数集间的对应，且任一个学号都对应唯一一个身高，因此z是y的函数．]
2．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝eq \r(x) B．y＝eq \f(100,\r(x＋2))
C．y＝eq \f(16,x) D．y＝x2＋x＋1
B [A中y＝eq \r(x)的值域为[0，＋∞)；C中y＝eq \f(16,x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；D中y＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))；B中函数的值域为(0，＋∞)．]
3．(多选题)给出定义：若m－eq \f(1,2)＜x≤m＋eq \f(1,2)(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个结论，其中正确的是( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)
B．f(3.4)＝－0.4
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))
D．y＝f(x)的定义域为R，值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)， \f(1,2)))
AC [由题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－－1))＝eq \f(1,2)，A正确；f(3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，B错误；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)－\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)－0))＝eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－0))＝eq \f(1,4)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))，C正确；y＝f(x)的定义域为R，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0， \f(1,2)))，D错误．]
4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则从A到B的函数f(x)有________个．
解析抓住函数的“取元任意性，取值唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.
由表可知，这样的函数有8个．
答案 8
5．若函数f(x)＝eq \f(\r(3,x－1),mx2＋x＋3)的定义域为R，求m的取值范围．
解要使函数f(x)有意义，必须mx2＋x＋3≠0.
又因为函数的定义域为R，
故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．
当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，
与f(x)定义域为R矛盾，
所以m＝0不合题意．
当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，得m>eq \f(1,12).
综上可知m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(m＞\f(1,12))))).
6．(拓广探索)已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值；
(2)求证：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值；
(3)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 020)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))的值．
(1)解 ∵f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，
∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝1.
f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝1.
(2)证明 f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)
＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)
＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1.
(3)解由(2)知f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2 020)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝1.
∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 020)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝2 019.
课程标准
核心素养
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．
2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
通过对函数概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半闭半开区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
定义
区间
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
{x|x(－∞，b)
f(1)
4
4
4
4
5
5
5
5
f(2)
4
4
5
5
4
4
5
5
f(3)
4
5
4
5
4
5
4
5