高中数学苏教版必修12.2.1 函数的单调性教案设计

这是一份高中数学苏教版必修12.2.1 函数的单调性教案设计，共9页。教案主要包含了自主先学，小组讨论、交流展示，检测反馈，质疑拓展等内容，欢迎下载使用。

教学目标：
1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性；
2．理解单调性的概念，培养识图能力，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；
3．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；
4．通过函数的单调性的学习，让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．培养学生利用定义推理的逻辑思维能力.
教学内容分析：
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．
对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：
（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；
（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．
学情分析：
1.我校学生素质属于全县的三流水平，数学基础非常薄弱。
2.学生在初中已经学习了一次函数和二次函数的性质，这为进一步学习函数的单调性做好了铺垫。
教学重点：对函数的单调性的理解，能判断或证明一些简单函数的单调性.
教学难点：单调性定义的理解，函数单调性的证明与单调区间的书写，以及单调性的逆用.
教学方法：学讲方式、探究学习、教师启发讲授
教学手段： 计算机、投影仪
课前准备： 教学设计、PPT、学案
教学过程：
【自主先学】
（一）情景导入：
情境：如图，是气温关于时间t的函数，记为＝f (t)，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？
〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣，使学生从图形中直接感知函数的单调性。
【小组讨论、交流展示】
（二）知识形成:
问题1：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
答：在区间[4,14]上图中曲线当t的值增大，θ的值也随之增大.
问题2：对于任意的t1、t2∈[4,14]时，当t1答：图象在区间[4,14]上是上升的曲线，所以当t1问题3：(1)如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？
答：在给定区间上任取x1，x2且x1 (2)根据上面三个问题，我们能得到什么结论？
答：增函数与增区间：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1问题4：类比单调增函数的概念，你能给出单调减函数的概念吗？
答：如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，区间I称为y＝f(x)的单调减区间．
问题5：你能找出思考中气温图中的单调区间吗？
答：单调增区间：[4,14]，单调减区间：[0,4]，[14,24]．
问题6：函数的单调性与单调区间是怎样定义的？
答：如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数
y＝f(x)在区间I上具有单调性．
单调增区间与单调减区间统称为单调区间．
〖设计意图〗通过问题逐步体现由图形到函数的解析式的量化过程，进而引出函数的单调性的相关定义。
（三）例题探究:
【探究1】画出函数图像并说出下列函数的单调区间：
(1)y＝－x2＋2； (2)y＝＋1
解：
(1)函数图象如图(1)，从图中看出函数y＝－x2＋2的增区间为(－∞，0]，减区间为
[0，＋∞)．
(2)函数图象如图(2)，从图中看出函数y＝eq \f(1,x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
反思与感悟: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“∪”；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
〖设计意图〗通过学生的活动体现函数单调区间的写法，再次理解函数单调性的定义。
【检测反馈】
随堂训练1．如图，已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数.
〖设计意图〗从图象直观判断函数单调性，完成对函数单调性的认识。
随堂训练2 .函数的单调递增区间 ；单调递减区间 .
〖设计意图〗巩固单调区间的写法
【质疑拓展】
（1）判断函数单调性的方法有哪些？
（2）如何证明一个函数在某个区间上的单调性？具体方法和步骤是什么？
〖设计意图〗引出如何判断函数的单调性。
【小组讨论、交流展示】
【探究2】求证：函数f(x)＝ －eq \f(1,x)－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．
证明: 设x1、x2∈(－∞，0)内的任意两个值，且x1则x1－x2<0，x1x2>0.
因为f(x1)－f(x2)＝(－eq \f(1,x1)－1)－(－eq \f(1,x2)－1) ----作差
＝eq \f(1,x2)－eq \f(1,x1)＝eq \f(x1－x2,x1x2)， ----变形（通分）
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)＝－eq \f(1,x)－1在区间(－∞，0)上是单调增函数． ----结论
步骤 (1)取值：任取x1，x2∈D，且x1(2)作差：f(x1)－f(x2)；
(3)变形：通常通过因式分解、配方与通分等途径将结果化为积或商的形式；
(4)定号：判断差f(x1)－f(x2)的正负；
(5)小结：指出函数f(x)在给定区间D上的单调性．
反思与感悟:
运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且在x1〖设计意图〗通过教师的讲解与学生的合作，再结合函数的定义总结出判断函数单调性的方法和步骤，进一步加深对函数单调性的理解，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。
【检测反馈】
(1)求证：函数f(x)＝3x+1在区间(－∞，+∞)上是单调增函数.
证明: 设x1、x2∈(－∞，+∞)内的任意两个值，且x1则x1－x2<0，.
因为f(x1)－f(x2)＝(3x1+1)-(3x2+1) ----作差
＝3(x1-x2 ) ----变形
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)＝3x+1在区间(－∞，+∞)上是单调增函数. ----结论
（2）试讨论函数f(x)＝的单调性．
证明: 函数的定义域为(－∞，-1) (-1，+∞)
再把函数分解为f(x)＝1-
设x1、x2∈(－∞，-1)内的任意两个值，且x1则x1－x2<0，x1x2>0.
因为f(x1)－f(x2)＝（1-） -（1+） ----作差
＝-= ----变形（通分）
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)＝在区间(－∞，-1)上是单调增函数． ----结论
同理，函数f(x)＝在区间(-1，+∞)上是单调增函数．
(3)试讨论函数f(x)＝－x2＋2的单调性．
证明: 设x1、x2∈(－∞，+∞)内的任意两个值，且x1则x1－x2<0，x1x2>0.
因为f(x1)－f(x2)＝（－x2 1＋2）－（－x2 2＋2） ----作差
＝x2 2－x2 1 =（x 2－x 1）（x 2＋x 1） ----变形（因式分解）
当x∈(－∞，0)时，x 2－x 1 》0 x 2＋x 1《0
所以f(x1)－f(x2)》0，即f(x1)《f(x2)． ----定号
故f(x)＝－x2＋2在区间(－∞，0)上是单调增函数． ----结论
当x∈(0，+∞)时，x 2－x 1 》0 x 2＋x 1》0
所以f(x1)－f(x2)》0，即f(x1)》f(x2)． ----定号
故f(x)＝－x2＋2在区间(－∞，0)上是单调减函数． ----结论
〖设计意图〗进一步巩固函数的单调性的定义和运用定义解决问题的步骤。
（四）课堂小结:
(1)单调性是函数的本质属性，可根据图象写出判定函数的单调性；
(2)根据已知函数的单调性判定相关函数的单调性；
(3)写单调区间时，注意区间的端点；
(4)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区间不发生改变；左右平移时，单调区间相应平移；
(5)单调区间不能随便求并集．
（五）作业布置: 课本P44第7题
（六）课后反思:
通过本节课的教学，使我受益非浅。
为了使学生从知识、能力和思想上得到最大的认识和发展，我采用“学讲方式”、多媒体辅助教学等教学方式。
首先,通过“自主先学”创设情境，激发兴趣，引出新知。
在新课改的学讲模式下，以往以教师讲解为主的数学教学模式被打破，逐渐形成了以学生学为主的探究式教学模式，培养学生独立思考问题，解决问题的能力。
函数的单调性是函数的一个重要性质，函数的单调性，单调区间的概念掌握起来有一定困难，特别是增函数、减函数的定义很抽象，学生很难理解，不利于学生学习兴趣的激发。因此，为了激发学生的学习兴趣，从生活情境引入新课，使学生从图形中直接感知函数的单调性。
其次，通过“小组讨论、交流展示”等环节，形成新知并探究新知。
依据循序渐进原则，设计六个问题，使学生初步了解增减函数的定义。 学生各抒己见，教师及时对学生鼓励评价，激发学生探究知识的热情。通过分析函数图象的变化趋势，启发学生归纳总结出增、减函数中函数值与自变量之间的变化规律，使学生会熟练的通过函数的图象来判断一个函数是增函数，还是减函数。在此基础上，给出函数的单调性，函数单调区间的概念。课堂上重点训练了学生从函数图象上来判断函数单调区间，从学生的的课堂反应来看，学生能熟练的通过函数的图象来判断函数的单调性，然后用定义证明一个函数是增函数（减函数）。
再次，通过检测反馈、质疑拓展等环节，巩固新知。
不同层次的课堂练习的设计紧扣例题形式，及时反馈学生掌握情况，难度稍大的习题，供学有余力的同学完成。
在教学中，我深刻体会到学生的接受能力不强，数学基础不牢，思考问题的角度不广，做题的速度不快。但学生仍能积极配合，小组讨论充分，课堂氛围浓厚。整堂课下来，使学生通过函数图象来判断以及证明函数单调性、书写函数的单调区间的目标基本达成。
在以后的教学中多注意从学生的已有知识和生活经验出发,围绕目标展开新知出现的情境,突出基础知识的应用和基本技能的运用,强化知识目标,培养学生学习数学的情感,在知识应用方面,应强调数学走向生活,解决具有现实意义的生活问题,培养学生的数学建模能力.同时我也将再接再厉，让每一位学生皆有收获。