2021学年2.2.1 函数的单调性教案设计

这是一份2021学年2.2.1 函数的单调性教案设计，共9页。

一．教学内容分析
函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分．一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题 ,而且常考常新.
在选择题和填空题中通常考查函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在：
1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象．
2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现．
3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查．
4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的．
5．涌现了一些函数新题型．
6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导．
7.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
复习中关注：
1．在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题.
2．在选择题与填空题中注意不等式的解法，建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题.
3．解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.
本课时函数的单调性是函数的重要性质，函数的单调性揭示了函数的基本特征，是研究函数的重要方面，几乎是每年必考的内容，例如判定或证明函数的单调性（或奇偶性），求解单调区间，利用单调性求最值，求参数的取值范围，利用单调性奇偶性解不等式等，高考试题中既有选择题、填空题，又有解答题。
二．教学目标：
（1）知识与技能：使学生加深对函数单调性的理解，掌握判别函数单调性
的方法，会求函数的单调区间；
（2）过程与方法：引导学生回顾函数单调性的概念和相关结论，应用图象、求导和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，
培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．
三．教学重点（1）结合定义、导数和函数图象判断与证明函数的单调性
（2）运用函数的单调性分析和解决问题
教学难点 函数单调性的综合应用
四．教学方法与教学手段：
1.遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体”启发式教学和问题探究式教学．
2.在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．
3．结合多媒体教学手段，有效提高教学效率和教学质量．
4．以反馈调控为手段，力求反馈的全而性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）．
五．教学的基本流程设计
六．教学过程：
从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值，都与函数性质相关联，因此函数性质是我们进一步研究函数的主线。而函数的单调性是函数的重要性质，函数的单调性揭示了函数的基本特征，是研究函数的重要方面，几乎是每年必考的内容，例如判定或证明函数的单调性（或奇偶性），求解单调区间，利用单调性求最值，求参数的取值范围，利用单调性奇偶性解不等式等，高考试题中既有选择题、填空题，又有解答题。
(一)、知识回顾：
函数单调性的定义；
（1）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
注意：
eq \\ac(○,1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
eq \\ac(○,2) 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2))；
③ 函数的单调区间是连续区间，若区间不连续，应分段考查；
④在单调区间上，增函数的图象自左向右看是上升的，减函数的图象自左向右看是下降的。
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
判断函数的单调性的方法；求函数的单调区间；
（1）、定义法：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
eq \\ac(○,1) 任取x1，x2∈D，且x1 eq \\ac(○,2) 作差f(x1)－f(x2)；
eq \\ac(○,3) 变形（通常是因式分解和配方）；
eq \\ac(○,4) 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
eq \\ac(○,5) 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
（2）、导数法：
一般地，设函数f(x)在某个区间(a,b)内可导：
(3)、利用图象
（4）、用已知函数的单调性；
复合函数单调性的判断．
注：同增异减
4基本函数的单调性
（1）一次函数：f(x)=kx+b
k>0时，f(x)在R上递增；k<0时，在R上递减。
次函数：f(x)=ax2+bx+c
由开口和对称轴决定
比例函数：f(x)=eq \f(a,x) (a≠0)
a>0时，f(x)在（-∞，0）和(0,+∞)上递减；
a<0时，f(x)在（-∞，0）和(0,+∞)上递增
指数函数： f(x)=ax (a>0且a≠1)
a>1时，f(x)在R上递增；
0对数函数： f(x)=lgax (a>0且a≠1)
a>1时，f(x)在(0,+∞)上递增；
05关于函数单调性还有以下一些常见结论：
①在公共定义域内，两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；
②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；
（设计说明：通过本环节的知识回顾，力图使学生回忆起以往所学的有关函数单调性的概念及相关的结论，并与后面所学的导数等知识能结合起来，为下一步运用知识解决问题做好相应的铺垫。本环节的内容使用PPT文件进行展示，以节省教学时间，提高教学的效率，并使学生能在较短的时间内回忆起更多的知识，同时也更为直观，使学生能从直观上把握函数的单调性。）
（二）、基础训练
函数y=2x+1在 单调递 ，函数y=-x2-2x-1的单调增区间为
函数y=x+eq \f(2,x)的单调减区间为 ，
2、函数y=eq \r(1-x)的单调 区间为
3、函数在上是减函数，则实数的取值范围是
（设计说明：本环节是对知识回顾后，对学生的掌握情况进行相应的反馈，在问题解决的过程中，激发学生的思维冲突，使学生更进一步的把握住问题的本质和关键所在，同时也培养了学生的反思能力。）
（三）、例题分析
证明函数f(x)=x2+eq \f(2,x)在(1,+∞)上递增
证明：（法一）任取，则


，即
∴f(x)=x2+eq \f(2,x)在(1,+∞)上递增
（法二）
∴f(x)=x2+eq \f(2,x)在(1,+∞)上递增
点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。
（变式） 讨论f(x)=x3+ax的单调性

（引申） f(x)=x3+ax在[2，+∞ ）上为增函数，求a的取值范围。
（设计说明：通过本例使学生回忆和巩固证明函数单调性的两种基本方法，并在此基础上，通过变式指导学生把前后的知识串联起来，使之融会贯通，形成体系；注重思想方法的引入和渗透，使学生对于知识能够活学活用，而不是机械记忆、死记硬背，从而发展学生的思维能力；克服思维定势，不能把学生的思维框的太死，应该是顺应学生的思维，在此基础上加深正确的理解，纠正错误的理解，使学生具有健全的、辨证的思维。）
已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，若f（1-3x)≥0，则x∈
解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f（x2-3x)≥f(2)。
又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞,0)上为减函数且f(－2)=f(2)=0。
∴不等式可化为 1-3x≥2或1-3x≤－2
由1-3x≥2，得，
由 1-3x≤－2，得
（变式）若为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为 ．
（设计说明：通过本例使学生对于单调性的运用能够和奇偶性、不等式、函数图象等内容结合起来，深化学生对单调性的理解。注意到数学问题的特性，通过变式来使学生区分题目之间的不同特性，提高学生的认识。给予学生充分的时间去思考题目间的不同特性，培养学生独立思考的能力，让学生充分的参与到教学活动中来，提高学生的参与度，同时引导学生积极反思、归纳总结，使学生的思维得到全面、充分的发展。）
（四）、回顾小结：
1． 讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数．
（设计说明：通过本环节，帮助学生进一步深化所学的内容，是知识系统化、网络化；通过学生的自我小结，使学生学会抽象、概括、反思，同时也是提高学生理性思维能力的一种手段。）
（五）、巩固提高
已知，，且，则
的值 （与0比较）
2、若奇函数在上是增函数，且最小值是，则在上是递 函数，且有最 值为
3、对于给定的函数，有下列结论：
①的图象关于原点对称； ②在定义域上是增函数；
③在区间上为减函数，且在上为增函数；
④有最小值为．
其中结论正确的题号是 ．
4、同时具有下列三个性质：①图象过点；②当时，函数单调递减③是偶函数，这样的函数可能是 （写出一个满足条件的函数即可）．
5、已知偶函数在内单调递减，若，，，则、、之间的大小关系是
（设计说明：通过课后的练习，使学生进一步巩固所学的知识，能熟练运用知识解决问题。）
七．教后反思
首先是学生的主体活动，在本人的课堂教学中还体现的不够充分，从形式、深度和广度上都还不够。引导学生观察和思考的力度应该加强，这些活动可以充分放手让学生来进行，教师不能给包办代替。在课堂中给予学生充分的活动，并及时进行调整，避免出现简单的重复，使学生的思维在相互的冲突中得到提高和升华，是提高我们的课堂教学的实际效果和效率，同时发展学生思维的一种有效的手段。在给予学生充分活动，使其思维的发散性得到有效发展的同时，教师也应该及时的给予反馈和总结，能够及时的收拢学生的思维，有发散也有收敛，这样就不至于产生拖课的现象。拖课是我们这次开课过程中，所暴露出的最大的问题，也是最值得思考的问题。
其次，教学过程的简洁、自然和朴素。这就要求我们首先要把握好课堂教学的度，包括对于本课时教学内容在课标中要求是什么（也即是教学要求的度），把握好复习的度（也即高考考到什么程度，考纲是如何要求的）。我们的课堂教学的内容和设计都不能超出这个度，否则就会出现，教师教的很累，学生学的很苦，实际效果却很差。
再次是课堂的气氛必须是民主与和谐的，不能把课堂的教学变成教师的一言堂。对于学生所犯的错误，我们应该着眼于发现其中的闪光点，用美的眼光去发现学生的错误是如何产生的，不能轻易放弃学生的错误。毕竟，教师和学生所处的知识层次和体系是不同的，对于知识的理解上也存在着很大的差别。学生的错误正是站在其自身的知识层次上的一种自然地想法，而且具有一定的普遍性，很可能代表了极大部分的同学观点。
最后，我们的课堂教学应该能够使得我们的学生获益匪浅，这种获益不光是在知识上的获益，还应该包括能力的发展、思维的发展以及德育目标的统一。在日常的教学活动中，以教师自己的严谨和科学去教育和引导学生，特别是在解题过程的严谨上来不得半点的马虎，书写的规范应能体现出教师的榜样作用，对自己严格要求；在讲解的过程中，用词要严密规范，不能随意；在展示活动中，要照顾到全体的学生，使每个学生都能感受到教师活动的科学严谨，使学生自觉去参照执行，养成科学规范的习惯。所有这些，都要求教师注意到自己课堂教学中的每一个细节，不放过其中的任何一点问题，认真思考自己的每一个教学环节和设计，力求科学严谨，无懈可击。在处理数学问题时，一方面要注意到数学问题的共性，另一方面更要注意到数学问题的特性，通过变式来使学生区分题目之间的不同特性，提高学生的认识。给予学生充分的时间去思考题目间的不同特性，培养学生独立思考的能力，让学生充分的参与到教学活动中来，提高学生的参与度，同时还应引导学生积极反思、归纳总结，使学生的思维得到全面、充分的发展。