高中苏教版2.2.1 函数的单调性教学设计及反思
展开本节课是人教版数学必修1第一章《集合与函数概念》§1.3.1函数的基本性质的第一课时,该课时主要学习增函数、减函数的定义,以及应用定义解决一些简单问题。函数的性质是研究函数的基石,函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质,也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念,为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。因此函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展,又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础。此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用,它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。
学情分析:
教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。同时学生的认知困难主要在两个方面:
(1)用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的;
(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。
教学目标:
知识与技能:使学生理解函数单调性的概念,掌握判别函数单调性的方法;
过程与方法:从实际生活问题出发,引导学生自主探索函数单调性的概念,应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题,让学生领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力;
情感态度价值观:让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能,培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质。
教法与学法
1、教法分析
(1)通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离,激发学生求知欲,调动学生主体参与的积极性。
(2)在运用定义解题的过程中,紧扣定义中的关键语句,通过学生的主体参与,逐个完成对各个难点的突破,以获得各类问题的解决。
(3)在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用.具体体现在设问、讲评和规范书写等方面,要教会学生清晰的思维、严谨的推理,并成功地完成书面表达。
(4)采用投影仪、多媒体等现代教学手段,增大教学容量和直观性。
2、学法分析
(1)让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用,培养学生发现问题、研究问题
和解决问题的能力。
(2)让学生利用图形直观启迪思维,并通过正、反例的构造,来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃
教学重难点
1、教学重点
函数单调性的概念,并运用函数单调性的定义判断、证明一些函数的单调性。
2、教学难点
形成增(减)函数概念的过程中,如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述,用定义证明函数的单调性。
七、教学过程:
(一).情景引入:
1.情景一:德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据:
将表中数据绘制在坐标系中连出草图,这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线,你能得出什么规律呢?由这个规律我们如何去高效学习?(学生回答)
这是一条衰减曲线,随着时间的推移,记忆的保持量逐渐减小。第一天遗忘的速度最快,一天之后遗忘的速度趋于缓慢。这一规律就提醒我们:在学习新知识的时候,一定要及时进行复习和巩固,以便加深理解和记忆。
2、情景二:一日气温变化图
学生问答:略
师:由这个温度与时间的函数图像,我们得出了从零时开始,气温先下降再上升,在下降的变化情况。深圳的调研小组可以由此合理的安排调研活动。
象这样,在生活中,我们关心很多数据的变化,了解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的。观察数据的方法往往是看:随着自变量的变化,函数值是如何变化的。这就是我们今天要研究的函数的单调性。
〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣.
(二).学习新课:
首先从我们熟悉的函数去入手研究 如我们初中学过的一次函数和二次函数。
问题1:观察下列函数的图象,回答当自变量x 的值增加时,函数值f(x)是如何变化的?
x
y
2
4
-2
1
1
-1
0
x
y
-1
1
1
学生回答:
(1)函数的图象从左到右上升,即当x增大时f(x) 随着增大,所以称函数在R上是增函数。
(2)函数在对称轴y轴的左侧下降、右侧上升,即在区间(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小,在区间(0,+∞)上当 x增大时f(x)随着增大。
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识.
问题2:我们通过从函数图像中获取的“上升、下降”的现象,如何用数学语言精准地讲这一现象描述出来呢?
在y轴的右侧,当x增大时,f(x)随着增大
当
时,
例如:考察函数在(0,+∞)上任取x1、x2 ,则,,对任意0
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ,当时,都有,那么就说函数f(x)在区间上是增函数。
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为第三阶段的学习做好铺垫.
问题3:同学们能否类似地得出减函数的定义?(学生讨论、回答)
学生回答:略
师生共同得出:
定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ,当时,都有,那么就说函数f(x)在区间上是减函数。
问题4:若将增函数定义条件中将“当时”变为“当时”,那么与是什么关系时,仍然也是增函数?如果改变减函数定义的条件呢? (学生讨论,回答)
增函数
减函数
如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数f(x)的单调区间.
〖设计意图〗让学生深层次理解单调性,完成对概念的第三次认识。了解等价形式进一步发展可以得到导数法,为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。
(三).概念应用:
3
2
-4
2
1
5
4
3
1
-1
-2
-1
-5
-3
-2
x
例1.如图是定义在闭区间[-5,5] 上的函数y=f(x)的图象,
根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,
函数是增函数还是减函数?(学生活动)
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2),[1,3)上是减函数;
在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。
问题5:函数在集合[-5, -2),[1,3)上是减函数;能否说函数在区间[-5, -2) [1,3)上是减函数?
学生讨论回答:略
师:就像刚刚有同学举的反例,集合的单调性是局部性质,将两个局部性质整合成一个区间,就不一定具有单调性。
注意:
(1)在书写时区间与区间之间用逗号隔开或用“和”连接,不能用集合中的“∪”连接。
(2)因为孤立的点没有单调性,所以区间端点处若有定义写开写闭均可。
〖设计意图〗掌握根据函数图像判断函数单调性的方法,并能更一步理解函数单调性的概念。
例2.证明函数 在 上是单调减函数。(学生分组讨论、分别演板展示)
师生共同总结得出:
总结证明函数单调性的步骤:
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且;
2.作差:差;
3.变形:变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等;
4.判号:确定的正负;
5.下结论:由定义得出函数的单调性。
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。
(四).课堂练习:
证明函数在区间(0,+∞)上是增函数。(学生演练)
〖设计意图〗进一步巩固利用定义证明函数单调性的方法,以及其方法的优越性。也培养学生分类讨论的思想。
(五).课堂小结
1.增函数、减函数的定义;
2.图象法判断函数的单调性:增函数的图象从左到右上升,减函数的图象从左到右下降.
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:设值、作差、变形、判号、下结论。
(六).布置作业
1.必做题:课本39页A组第1、2题。
2.选做题:由生活常识知道,在一碗糖水中,加入一定量的糖,糖加得越多糖水就越甜。
能运用今天所学的数学知识来解说这一现象吗?
〖设计意图〗必做题是对今天所学函数单调性的判断方法(图像法,定义法)的巩固。选做题是更深层次的函数单调性的应用!与现实生活中常识相联系,体验学习数学的成就感和学习的兴趣!
(七).板书设计
时间间隔
天数
记忆保持量
(百分数)
40
1 2 3 4 5 6
20
60
80
100
0
记忆保持量
刚刚记忆完毕
100%
20分钟之后
58.2%
1小时之后
44.2%
8-9小时之后
35.8%
1天后
33.7%
2天后
27.8%
6天后
25.4%
一个月后
21.1%
…
…
函数单调性
一、函数单调性
1、增函数定义:
2、减函数定义:
3、单调区间:
(主板书)
二、例题及解答
例2
(副板书)
议练活动
(辅助性板书)
高中数学苏教版必修12.2.1 函数的单调性教学设计: 这是一份高中数学苏教版必修12.2.1 函数的单调性教学设计,共3页。
2021学年2.2.1 函数的单调性教案: 这是一份2021学年2.2.1 函数的单调性教案,共4页。教案主要包含了课后作业,课堂反思等内容,欢迎下载使用。
数学2.2.1 函数的单调性教案: 这是一份数学2.2.1 函数的单调性教案,共1页。