人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教案

2.2 直线的方程

1、直线方程的五种形式

2、直线与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，与y轴的交点的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距。截距不是距离

3、两直线平行的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).

4、两直线垂直的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

题型一 直线方程

例 1　求适合下列条件的直线方程：

经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；

经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．

【答案】（1）（2）或

【分析】

（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线．

（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.

【详解】

（1）已知，

直线方程为化简得

（2）由题意可知，所求直线的斜率为.

又过点，由点斜式得，

所求直线的方程为或

求下列直线方程：

(1)求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程.

(2)求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线方程.

(3)求过，两点的直线的方程.

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【分析】

（1）求出直线斜率，由点斜式方程即可得解；

（2）按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解；

（3）按照、分类，结合两点式方程即可得解.

【详解】

（1）设所求直线的斜率为，依题意，

又直线经过点，

∴所求直线方程为，即；

（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为，

将代入可得，解得，

∴直线方程为；

当直线过原点时，设直线方程为，

则，解得，

∴直线方程为，即；

故所求直线方程为或；

（3）①当时，直线的方程为；

②当时，直线的方程为，即，

∵时，代入方程，即为，

∴直线的方程为.

题型二 截距

例 2　已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数　　

A．1 B． C．或1 D．2或1

【答案】D

【分析】

根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．

【详解】

由题意，当，即时，直线化为，

此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；

当，即时，直线化为，

由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；

综上所述，实数或．

故选D．

直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为       

【答案】

【分析】

分别计算出直线的横截距和纵截距后可求三角形的面积.

【详解】

令可得；

令可得，

故所求三角形的面积为

题型三 两直线位置关系

例 3　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足：

（1）过点(－1,3)，且与l平行；

（2）过点(－1,3)，且与l垂直；

【答案】(1)3x＋4y－9＝0;  （2）4x-3y+13＝0.

【分析】

（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解；

（2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解.

【详解】

(1)∵l∥l′，∴l′的斜率为－

∴直线l′的方程为：y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.    

（2）l′的斜率为，

∴直线l′的方程为：y－3＝(x＋1)，即4x-3y+13＝0.

已知点和直线．求：

(1)过点与直线平行的直线方程；

(2)过点与直线垂直的直线方程．

【答案】（1）； （2）.

【分析】

(1) 由所求直线与直线平行，先设所求直线的方程是，再将点坐标代入即可求出结果；

(2)由所求直线与直线垂直，先设出所求直线方程为，再将点坐标代入即可求出结果.

【详解】

(1)设所求直线的方程是，

点在直线上，

，

，即所求直线方程是．

(2)设所求直线的方程是，

点在直线上，

∴，

，即所求直线方程是．

题型四 中线所在的直线

例 4　已知的三个顶点分别为，，，则过点B将的面积平分的直线方程为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由中点坐标公式先求的中点坐标为，再利用直线的点斜式方程求解即可.

【详解】

解：由，，则的中点坐标为，

则过点B将的面积平分的直线过点，

则所求直线方程为，

即 ，

故选D.

已知的三个顶点，，.

（1）求边所在直线的方程；

（2）求边上中线所在直线的方程.

【答案】（1）

（2）

【分析】

（1）由直线的两点式方程求解即可；

（2）先由中点坐标公式求出中点的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可.

【详解】

（1）因为，，

由直线的两点式方程可得：边所在直线的方程，

化简可得；

 （2）由，，

则中点，即，

则边上中线所在直线的方程为，

化简可得.

题型五 定点问题

例 5　直线方程kx－y+2－3k=0恒过定点（    ）

A．（3，2） B．（2，3） C．（－3，2） D．（－2，3）

【答案】A

 【分析】

将直线方程kx－y+2－3 k=0，转化为 求解.

 【详解】

因为直线方程kx－y+2－3 k=0，

即为

所以 ， 

解得，

所以直线恒过定点（3，2）.

故选：A

直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点         

【答案】

【解析】

【分析】

先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组即得直线所经过的定点.

【详解】

由题得（x-3）k+1-y=0，所以，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.

题型六 对称问题

例 6　已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0,1＋)以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，求反射光线所在的直线方程．

【答案】x＋y－(1＋)＝0

【分析】

根据题意求出入射光线所在直线的方程，解方程组可得入射光线与直线的交点坐标Q(1,1)，然后根据反射原理得到点P关于直线y＝x（过Q与直线垂直的直线）的对称点P′(＋1,0)在反射光线所在直线上，最后根据两点式方程可得所求．

【详解】

如图，设入射光线与交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，

由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－ ，

又入射光线过点P(0,1＋)，

∴入射光线所在的直线方程为，

即x＋y－(1＋)＝0．

解方程组 得,

所以点Q的坐标为(1,1)．

过点Q作垂直于的直线l′，

显然l′的方程为y＝x．

由反射原理知，点P(0,1＋)关于l′的对称点P′(＋1,0)必在反射光线所在的直线上．

所以反射光线所在直线的方程为，

即x＋y－(1＋)＝0．

一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．

【详解】

由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.

1、若直线与直线平行，则（）

A． B． C．或2 D．或

【答案】B

【分析】

因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a的取值，再根据取值情况，检验是否重合.

【详解】

解：因为直线与直线平行，所以，解得：或，检验：当时，两直线重合，不成立，所以.

故答案为B.

2、经过点（，2），倾斜角为60°的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可

【详解】

由直线的倾斜角为，得到直线的斜率

又直线过点

则直线的方程为

故选

3、设直线在轴上截距为，在轴上的截距为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由截距的定义，分别求出直线在x轴和y轴的截距即可.

【详解】

由直线

令

令

即

故选B

4、下面说法正确的是（    ）.

A．经过定点的直线都可以用方程表示

B．不经过原点的直线都可以用方程表示

C．经过定点的直线都可以用方程表示

D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示

【答案】D

【分析】

根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.

【详解】

经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错；

不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错；

经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错；

当时，经过点的直线可以用方程即表示，

当时，经过点的直线可以用方程，即表示，

因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对；

故选：D

5、若直线和直线互相垂直，则(    )

A．或 B．3或1 C．或1 D．或3

【答案】C

【分析】

直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.

【详解】

因为直线和直线互相垂直，

所以，

解方程可得或，故选C.

6、（多选）下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点

B．直线在轴上的截距为

C．直线的倾斜角为60°

D．过点且垂直于直线的直线方程为

【答案】ABD

【分析】

将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.

【详解】

可化为，则直线必过定点，故A正确；

令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；

可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；

设过点且垂直于直线的直线的斜率为

因为直线的斜率为，所以，解得

则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；

故选：ABD

7、若直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数m的取值范围为________．

【答案】，或

【分析】

先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】

解：令,得，

令,得，

由直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，

则，

解得或，

故实数的取值范围为或.

8、倾斜角为直线的倾斜角的一半且经过点的直线方程为_____．

【答案】

【分析】

由直线的斜率可知倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，由点斜式可求得直线方程．

【详解】

直线y＝－x＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率为．

又直线过定点（-4，1），由点斜式可得直线方程为

9、已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点__________

【答案】.

【分析】

利用（ax+by+c）+λ（mx+ny+p）=0 过定点即ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点，解方程组求得定点的坐标．

【详解】

直线（3k﹣1）x+（k+2）y﹣k=0即﹣x+2y+k（3x+y﹣1）=0，

由，

得 x=，y=，

故定点的坐标为（，），

故答案为：（，）．

10、直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数______.

【答案】12

【分析】

求出横截距和纵截距，根据题设条件得到关于的方程，解方程后可得实数的值.

【详解】

令，则；令，则，

故，解得.

故答案为：.

11、设光线l从点出发，经过x轴反射后经过点，则光线l与x轴交点的横坐标为______，若该入射光线l经x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为______．

【答案】       

【分析】

首先，根据光线从点射向x轴，得到其关于x轴的对称点，然后根据反射光线的反向延长线经过和，得到直线，即得光线与x轴的交点.由入射角是60°可得折射角是30°，且光线经过，由直线的点斜式可得直线方程，以此得出纵截距.

【详解】

点关于x轴的对称点为，则直线 : 与x轴交于点 ，所以光线与x轴的交点为;由入射角是,得折射角是，且光线经过,得出折射光线所在直线方程为，所以纵截距为.

12、根据下列条件，求直线的一般方程：

（1）过点且与直线平行；

（2）与直线垂直，且在两坐标轴上的截距之和为.

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）根据平行关系可设直线为：，代入点可求得结果；（2）假设直线的截距式方程，根据垂直关系和截距之和可求得截距，整理可得直线一般式方程.

【详解】

（1）设所求直线方程为：

则   

所求直线方程为：

（2）设直线方程为：

由题意可得：，解得：

所求直线方程为：，即：