数学八年级上册22.2 分式的运算教案

分式的运算 （3）

15.2.2  分式的加减（1）

一、内容和内容解析

1．内容

分式的加减法法则．

2．内容解析

分式的加减法是分数的加减法的推广，它们的本质相同，因此，可以类比分数的加减法法则得出分式的加减法法则，即“同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减”.同分母分式的加减法是分式加减法的基础，异分母分式相加减必须先化为同分母分式相加减，再按同分母分式的加减法法则进行运算．

教科书通过对两个实际问题——工作效率问题、增长率问题，说明分式的加减法有着丰富的实际背景和广泛的应用，通过对这两个实际问题的数学化，潜移默化地向学生渗透数学模型思想．分式的加减法法则的引出，体现了类比的思想方法．将异分母分式的加减转化为同分母的分式加减，体现了化归的思想方法．

由以上分析，可以确定本节课的教学重点是：分式的加减法法则．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）类比分数的加减法运算法则，探究分式的加减法运算法则．

（2）能进行简单的分式加、减运算．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能类比分数的加减法法则得出分式的加减法法则，通过分数的加减法体会分式的加减法，能用文字语言和符号语言表示分式的加减法法则．

达成目标（2）的标志是：学生能对两个或三个分式进行加减运算（含整式与分式的加减运算），明确异分母分式必须化为同分母分式才能进行加减运算，体会化归思想在异分母分式加减运算中的作用．

三、教学问题诊断分析

教科书中的问题4是“年增长率”问题，由于学生没有这方面的生活经验，理解起来有一定困难．例如，有些学生不明白什么是2010（或2011）年增长率，将“2011年与2010年相比，增长率提高的数量”误以为是．教学时，关键是要引导学生明确“年增长率”的含义，并通过具体数据计算帮助学生了解其意义，然后再用字母表示.

在进行异分母分式加减运算时，通常要经历通分、加减、化简、约分这4个步骤，由于步骤多、运算量大、综合性强，学生很容易出错．教学时，教师要指导学生找准公分母.

本节课的教学难点是：异分母分式的加减运算.

四、教学过程设计

1.创设情境，引入课题

问题3  甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？

师生活动：教师提出问题，学生独立思考并写出答案．如果学生存在问题，教师可适时启发，具体问题如下：

（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？

    （2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？

（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？

学生回答：甲工程队一天完成这项工程的，乙工程队一天完成这项工程的，甲乙两队共同工作一天完成这项工程的()．

问题2  2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？

师生活动：教师提出问题，学生独立思考并写出答案．如果学生存在问题，教师可适时启发，让学生明确“年增长率”的含义，并通过具体数据计算帮助学生理解其意义，然后再进行字母表示．具体问题如下：

（1）什么是增长率？

    （2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？

（3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？

学生回答：增长率是本年的森林面积增长率等于本年与上年的森林面积之差再除以上年的森林面积；2010年的森林面积增长率是， 2011年的森林面积增长率是，        2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了．

设计意图：通过这两个实际问题，说明分式的加减法有着丰富的实际背景，为引出分式的加减法作铺垫．

2．类比探究，学习新知

思考 分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同.观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？

师生活动：学生回答问题，相互补充．在教师的指导下，学生给出分数的加减法法则，再通过类比得出分式的加减法法则：“同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减”．

追问：你能用式子表示分式的加减法法则吗？

师生活动：学生独立完成，并相互交流，得出，．

设计意图：从学生已有的数学经验出发，经历由特殊（分数）加减法法则到一般（分式）加减法法则的类比过程，感受数式通性，体会一般化方法、类比方法在解决数学问题时的重要价值.

3．学以致用，应用新知

例6  计算：

师生活动：师生共同分析、解答，教师板书（1），教师强调计算结果一定要化成最简分式，如要将（1）的结果化为最简分式．

在这里需要用到通分，我们先来回顾一下：1.什么叫通分吗？2.通分的关键是什么？3.什么叫最简公分母？完成下列练习.4.练习　通分：（1）与    （2）与

学生独立思考，回答：“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；关键是确定各分式的公分母；取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.”并能得出第（1）小题最简公分母为：，通分结果为：第（2）小题最简公分母为：，通分结果为：．

通过复习，学生确定（2）的最简公分母，教师强调要找准公分母后再通分，其结果也可以写成 ．

师生共同归纳解题步骤：

1.同分母分式相加减：（1）分母不变，把分子相加减；（2）化简分子；（3）约分．

2.异分母分式相加减：（1）通分；（2）化为同分母分式相加减；（3）化简分子；（4）约分．教师强调，若分母为多项式，通分时要先因式分解，再确定最简公分母；若分子为多项式，要适时添上括号．若分子分母是多项式，约分时，要先进行因式分解，然后再约分．

设计意图：运用分式的加减法法则进行简单计算，并规范分式的加减运算的步骤和格式. 在异分母分式加减时需要通分，通过练习让学生回忆起通分的概念及如何确定最简公分母.

4．基础训练，巩固新知

练习  计算：

师生活动：学生独立完成练习，教师指导、讲评．本练习是同分母分式的加减运算，直接应用法则即可．学生计算并得出结果为：（1）1；（2）0．

设计意图：通过练习使学生进一步理解分式的加减法法则，会运用它们进行简单的分式的加减运算．

练习  计算：

师生活动：学生独立完成练习，教师指导、讲评．本练习是异分母分式的加减运算，在计算（1）时，若将作为公分母，则通分后化简得结果与以为公分母的相同，结果为；（2）中参与运算的分式不是最简分式，应该先将其化为最简分式，再作减法计算，结果为；（3）中分子是多项式要注意适时添括号，结果为；（4）是分式与整式的加减运算，应将整式看作是分母为1的“分式”，再作计算，结果为．

设计意图：通过练习，使学生经历将异分母分式化归为同分母分式的过程,体会化归的作用．

练习  你能应用本节课所学的知识解决“问题3”和“问题4”吗?                               

师生活动：教师提问，学生在练习本上完成，教师巡视并指导，师生交流．

解：（1）

即两队共同工作一天完成这项工程的．

　　即2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了

设计意图：通过这个练习，让学生应用分式的加减法法则解决简单的实际问题，并在此过程中体会分式的加减法在解决实际问题时的重要作用．

5．小结归纳，自我完善

教师和学生一起回顾本节课所学内容：

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？

设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，体会类比方法在学习分式的加减法中的作用，进一步感悟数式通性，体会化归思想，积累解题经验.通过小结，使学生梳理本节课所学的内容．

6.课后作业

教科书第146页习题15.2的第4，5题．

五、目标检测设计

计算：

学生独立完成．

答案： （1）（2）（3）（4）

设计意图：（1）（2）考查学生对同分母分式的加减运算的掌握情况；（3）考察学生对异分母分式的加减运算的情况；（4）考查学生对整式与分式的加减运算的掌握情况.

说明：本课程结合了义务教育教科书数学八年级上册（人民教育出版社）第十五章第15.2节的内容，见教科书第139页至第141页．